Тетраэдральное число: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
LGB (обсуждение | вклад) м LGB переименовал страницу Тетраэдральные числа в Тетраэдральное число поверх перенаправления: так по правилам Википедии и в аналогичных статьях |
|||
(не показано 8 промежуточных версий 6 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Pyramid of 35 spheres animation.gif|thumb|Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти [[Треугольное число|треугольных чисел]] |
[[Файл:Pyramid of 35 spheres animation.gif|thumb|Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти [[Треугольное число|треугольных чисел]]]] |
||
'''Тетраэдра́льные числа''', называемые также '''треугольными [[Пирамидальное число|пирамидальными числами]]''' — это [[фигурные числа]], представляющие [[Пирамида (геометрия)|пирамиду]], в основании которой лежит [[правильный треугольник]]. |
'''Тетраэдра́льные числа''', называемые также '''треугольными [[Пирамидальное число|пирамидальными числами]]''' — это [[фигурные числа]], представляющие [[Пирамида (геометрия)|пирамиду]], в основании которой лежит [[правильный треугольник]]. <math>n</math>-е по порядку тетраэдра́льное число <math>\Delta_n</math> определяется как сумма <math>n</math> первых [[Треугольное число|треугольных чисел]] : |
||
: <math>\Delta_n = T_1 + T_2 + \dots +T_n</math> |
|||
Начало последовательности тетраэдральных чисел: |
Начало последовательности тетраэдральных чисел: |
||
: 1, {{nums|link=nrl|4|10|20|35|56|84|120|165|220|286|364|455|560|680|816|969}}, … ({{OEIS|A000292}}). |
: 1, {{nums|link=nrl|4|10|20|35|56|84|120|165|220|286|364|455|560|680|816|969}}, … ({{OEIS|A000292}}). |
||
== Формула == |
== Формула == |
||
Общая формула для <math>n</math>-го тетраэдрального числа: |
Общая формула для <math>n</math>-го тетраэдрального числа: |
||
:<math> |
:<math>\Delta_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.</math> |
||
Также формула может быть выражена через [[Биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]]: |
Также формула может быть выражена через [[Биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]]: |
||
: <math> |
: <math>\Delta_n = C^3_{n+2} = \binom{n+2}{3}.</math> |
||
⚫ | |||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
⚫ | |||
* {{mvar|n}}-е тетраэдральное число представляет собой сумму первых {{mvar|n}} [[Треугольное число|треугольных чисел]]. |
|||
Только три тетраэдральных числа являются [[Квадратное число|квадратными числами]]: |
|||
*: ''T''<sub>1</sub> = {{power|1|2}} = 1, |
|||
: <math>\Delta_1 = 1^2 = 1</math>, |
|||
: <math>\Delta_2 = 2^2 = 4</math>, |
|||
*: ''T''<sub>48</sub> = {{power|{{num1|140}}|2}} = {{num1|link=nrl|19600}}. |
|||
: <math>\Delta_{48} = 140^2= 19600</math>. |
|||
⚫ | |||
*: ''Te''<sub>1</sub> = ''Tr''<sub>1</sub> = 1, |
|||
⚫ | |||
*: ''Te''<sub>3</sub> = ''Tr''<sub>4</sub> = {{num1|10}}, |
|||
: <math>\Delta_1 = T_1 = 1</math>, |
|||
*: ''Te''<sub>8</sub> = ''Tr''<sub>15</sub> = {{num1|120}}, |
|||
: <math>\Delta_3 = T_4 = 10</math>, |
|||
*: ''Te''<sub>20</sub> = ''Tr''<sub>55</sub> = {{num1|link=nrl|1540}}, |
|||
: <math>\Delta_6 = T_{15} = 120</math>, |
|||
*: ''Te''<sub>34</sub> = ''Tr''<sub>119</sub> = {{num1|link=nrl|7140}}. |
|||
: <math>\Delta_{20} = T_{55} = 1540</math>, |
|||
⚫ | |||
: <math>\Delta_{34} = T_{119} = 7140</math>, |
|||
⚫ | |||
*: ''T''<sub>5</sub> = ''T''<sub>4</sub> + ''T''<sub>3</sub> + ''T''<sub>2</sub> + ''T''<sub>1</sub>. |
|||
⚫ | |||
* Бесконечная сумма [[обратная величина|обратных величин]] к тетраэдральным числам равна 3/2, что может быть получено с помощью [[Телескопический ряд|телескопического ряда]]: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>\Delta_5 = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 + \Delta_4</math> |
|||
Ряд из обратных тетраэдральных чисел является [[Телескопический ряд|телескопическим]] и поэтому сходится: |
|||
⚫ | |||
⚫ | Одна из «[[Гипотезы Поллока|гипотез Поллока]]» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=239}}<ref>{{статья |заглавие=On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders |издание=Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London |том=5 |страницы=922—924 |jstor=111069 |язык=en |тип=journal |автор=Frederick Pollock |год=1850}}</ref>. |
||
== Многомерное обобщение == |
== Многомерное обобщение == |
||
Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в <math>d</math>-мерном пространстве служат «[[симплекс]]ные числа», называемые также '''гипертетраэдральными'''{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=126—134|name=DD126}}: |
|||
В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдральных чисел может рассматриваться количество <math>k</math>-мерных сфер, которые могут быть упакованы в <math>k</math>-мерный [[симплекс]]. Для <math>k</math>-мерного пространства <math>n</math>-е число может быть вычислено по следующей формуле: |
|||
: <math> |
: <math>S^{[d]}_n = \frac{(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!} = \frac{\prod_{k=0}^{d-1} (n+k)} {d!}.</math>. |
||
Их частным случаем выступают: |
|||
* <math>S^{[2]}_n</math> — [[треугольные числа]]. |
|||
* <math>S^{[3]}_n</math> — [[тетраэдральные числа]]. |
|||
* <math>S^{[4]}_n</math> — [[пентатопные числа]]. |
|||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
Строка 41: | Строка 50: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* {{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |ref=За страницами учебника математики |
* {{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |ref=За страницами учебника математики |
||
|заглавие=За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия |isbn=5-09-006575-6 |
|заглавие=За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия |ссылка=https://archive.org/details/isbn_5090065756 |isbn=5-09-006575-6 |
||
|место=М. |издательство=Просвещение |год=1996 |страницы=30 |страниц=320}} |
|место=М. |издательство=Просвещение |год=1996 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_5090065756/page/n31 30] |страниц=320}} |
||
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |заглавие=История математики в школе |
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |заглавие=История математики в школе |
||
|ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm |
|ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm |
Текущая версия от 13:26, 25 марта 2022
Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. -е по порядку тетраэдра́льное число определяется как сумма первых треугольных чисел :
Начало последовательности тетраэдральных чисел:
- 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).
Формула
[править | править код]Общая формула для -го тетраэдрального числа:
Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:
Свойства
[править | править код]Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.
Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:
- ,
- ,
- .
Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
Можно заметить, что:
Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов[1][2].
Многомерное обобщение
[править | править код]Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в -мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными[3]:
- .
Их частным случаем выступают:
Примечания
[править | править код]- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
- ↑ Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — .
- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.
Литература
[править | править код]- Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
Ссылки
[править | править код]- Фигурные числа
- Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
- On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà