Тетраэдральное число

Тетраэдрические числа — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).

Формула для ${\displaystyle n}$-го тетраэдрического числа:

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle T_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции в треугольнике Паскаля.

• n-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых n треугольных чисел.
• Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:

  T₁ = 1² = 1,

  T₂ = 2² = 4,

  T₄₈ = 140² = 19 600.

• Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

  Te₁ = Tr₁ = 1,

  Te₃ = Tr₄ = 10,

  Te₈ = Tr₁₅ = 120,

  Te₂₀ = Tr₅₅ = 1540,

  Te₃₄ = Tr₁₁₉ = 7140.

• Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
• Можно заметить, что:

  T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁.

• Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:

  ${\displaystyle \!\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдрических чисел может рассматриваться количество ${\displaystyle k}$-мерных сфер, которые могут быть упакованы в ${\displaystyle k}$-мерный симплекс. Для ${\displaystyle k}$-мерного пространства ${\displaystyle n}$-е число может быть вычислено по следующей формуле:

${\displaystyle T_{n}(k)={\frac {\prod _{i=0}^{k-1}(n+i)}{k!}}.}$

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà