Тетраэдральное число
Тетраэдрические числа — это фигурное число, которое представляет пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS)
Формула
Формула для -го тетраэдрического числа:
Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:
Тетраэдрические числа находятся на 4-ой позиции в треугольнике Паскаля.
Свойства
- -е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых треугольных чисел.
- Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:
- T1 = 1² = 1
- T2 = 2² = 4
- T48 = 140² = 19600.
- Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
- Te1 = Tr1 = 1
- Te3 = Tr4 = 10
- Te8 = Tr15 = 120
- Te20 = Tr55 = 1540
- Te34 = Tr119 = 7140
- Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
- Можно заметить, что:
- T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
- Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
- On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà