Rotație

În matematică, noțiunea de rotație are un caracter teoretic, general. Astfel, în spațiul bidimensional, un punct de coordonate ${\displaystyle x,y,}$  în urma unei rotații de unghi ${\displaystyle \phi }$  în sens trigonometric (antiorar), ajunge în punctul de coordonate:

${\displaystyle x'=x\cos \phi -y\sin \phi }$ 

${\displaystyle y'=x\sin \phi +y\cos \phi .}$ 

Se poate spune că o rotație este o funcție, ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{2},}$  ce asociază fiecărui vector ${\displaystyle {\vec {U}}(x,y)}$  un vector ${\displaystyle V(x',y')}$  după legea:

${\displaystyle {\vec {V}}={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}*{\vec {U}},}$ 

unde matricea ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}}$  se numește matrice de rotație.

Formula anterioară mai poate fi scrisă și cu ajutorul numerelor complexe:

${\displaystyle x'+iy'=(x+iy)\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )}$ 

sau:

${\displaystyle z'=x'+iy'=(x+iy)\cdot e^{i\phi }=z\cdot e^{i\phi }.}$ 

În fizică, mișcarea de rotație este carcterizată de mărimi legate de timp ca: perioadă, frecvență, viteză unghiulară, accelerație unghiulară.

Mișcare de translație	Mișcare de rotație
Vector de poziție: ${\displaystyle {\vec {r}}}$	Unghi de rotație ${\displaystyle \varphi }$  resp. matrice de rotație: ${\displaystyle A}$
Viteză: ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}$	Viteză unghiulară: ${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {\mathbf {u} }}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{3}}$
Accelerație: ${\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}}$	Accelerație unghiulară: ${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}}$

In fizică si mecanica teoretică si analitică, mișcarea de rotație este studiată într-un sistem de referință rotativ neinerțial.
In mod general, mișcarea de rotație este o mișcare olonomă, având constrângeri prin legături si reonomă, depinzând in mod explicit de timp. (^[1] pag. 518)

Descriind mișcarea de rotație pe un cerc cu raza constantă r într-un sistem de referință inerțial:

- într-un sistem de coordonate ortogonale {x, y} avem:

${\displaystyle r(x,y)=x^{2}+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}=const}$ 

- într-un sistem de coordonate polare:

${\displaystyle r(\phi (t),t)=r_{0}=const}$ 

${\displaystyle \phi (t)=\phi _{0}+\phi '(t)*t+\phi ''(t)*t^{2}/2}$ 

Descriind mișcarea de rotație într-un sistem de referință inerțial cu un vector de poziție al punctului care descrie traiectoria mișcării:

- într-un sistem vectorial de coordonate ortogonale cu versorii {${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}}$ } avem:

${\displaystyle {\vec {r}}(\phi (t),t)=r(t)*(cos(\phi (t))*{\vec {i}}+y*sin(\phi (t))*{\vec {j}})}$ 

- într-un sistem vectorial de coordonate polare tridimensional, cu versorii unitar:

${\displaystyle {\vec {e}}_{R}}$  - versorul vectorului de poziție dat

${\displaystyle {\vec {e}}_{T}=1/\omega *d{\vec {e}}_{R}(\phi )/dt}$ 

${\displaystyle {\vec {e}}_{\omega }={\vec {e}}_{R}\times {\vec {e}}_{T}}$ 

- se obține:

${\displaystyle {\vec {r}}(r(t),\phi (t),\phi '(t))=r(t)*{\vec {u}}_{r}(\phi (t))}$ 

${\displaystyle \phi (t)=\phi _{0}+\phi '(t)*t+\phi ''(t)*t^{2}/2}$ 

Parametri cinematici ale mișcării, viteza radială, viteza tangențială la traiectoria mișcării, viteza unghiulară si accelerația unghiulară,
se obțin prin derivare vectorială matematică a Vectorului de poziție a punctului care descrie traiectoria mișcării.
Folosind regulile de derivare a Vectorilor pentru versori, cu: ${\displaystyle {\vec {e}}_{R},{\vec {e}}_{T},d\phi /dt=\omega }$ 

${\displaystyle d{\vec {e}}_{R}(\phi )/dt=\omega *{\vec {e}}_{T}(\phi )}$ 

${\displaystyle d{\vec {e}}_{T}/dt(\phi )=-\omega *{\vec {e}}_{R}(\phi )}$ 

- se obțin ecuațiile:

${\displaystyle {\vec {r}}=r(t)*{\vec {e}}_{R}(\phi )}$  - vectorul variabil de poziție rotativ cu viteza unghiulară ${\displaystyle \omega =d\phi /dt}$ 

${\displaystyle {\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=dr/dt*{\vec {e}}_{R}+\omega *r*{\vec {e}}_{T}={\vec {v}}_{R}+{\vec {v}}_{T}}$  - viteza

${\displaystyle {\vec {a}}=d^{2}{\vec {r}}/dt^{2}=(d^{2}r/dt^{2}-r*\omega ^{2})*{\vec {e}}_{R}+r*d\omega /dt*{\vec {e}}_{T}+2*\omega *dr/dt*{\vec {e}}_{T}={\vec {a}}_{R}+{\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{c}}$  - accelerația

- se obțin parametrii cinematici:

${\displaystyle {\vec {\omega }}}$  - vitezei unghiulară vectorială

${\displaystyle {\vec {v}}_{R}}$  - viteza radială

${\displaystyle {\vec {v}}_{T}}$  - viteza tangențială la traiectoria mișcării

${\displaystyle {\vec {a}}_{R}}$  - accelerația radială

${\displaystyle {\vec {a}}_{T}}$  - accelerația tangențială la traiectoria mișcării

${\displaystyle {\vec {a}}_{c}}$  - accelerația Coriolis

Aceste ecuații sânt condițiile necesare si suficiente pentru ca mișcarea să fie determinată.
Necesare, pentru ca punctul material sau corpul să descrie traiectoria impusă.
Suficiente, pentru a deduce din ele univoc ecuația traiectoriei de mișcare, când sânt date in Problema Cauchy de integrare, condițiile inițiale.

Parametrii dinamici definiți in mecanică sânt:

${\displaystyle m}$  - masa corpului, întotdeauna o mărime scalară

${\displaystyle J=J_{0}+m*r^{2}}$  - momentul de inerție al masei, la raza r

${\displaystyle {\vec {p}}=m*{\vec {v}}}$  - impulsul

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=J*{\vec {\omega }}=m*\omega *r^{2}*{\vec {e}}_{\omega }}$  - momentul cinetic

Forțele și momentele în sistemul de referință rotativ se obțin corespunzătoare accelerațiilor conform legilor lui Newton, ca:

- în sistemul de referință rotativ:

${\displaystyle {\vec {F}}_{cp}=-m*r*\omega ^{2}*{\vec {e}}_{R}}$  - Forța centripetă, de atracție

${\displaystyle {\vec {F}}_{cf}=m*r*\omega ^{2}*{\vec {e}}_{R}}$  - Forța centrifugă

${\displaystyle {\vec {F}}_{c}=-2*m*\omega *dr/dt*{\vec {e}}_{T}}$  - Forța Coriolis

- în sistemul de referință inerțial:

${\displaystyle {\vec {F}}_{T}=m*r*d\omega /dt*{\vec {e}}_{T}}$  - Forța tangențială

${\displaystyle {\vec {M}}=m*{\vec {r}}\times {\vec {a}}=d{\vec {L}}/dt}$  - momentul forței

Parametrizarea vectorului forței centrifuge generează un câmp vectorial centrifug.

${\displaystyle {\vec {F}}_{cf}(r(t),\phi (t))=m*r*\omega ^{2}*{\vec {e}}_{R}}$ 

Se arată in matematică, când câmpul vectorial al forței provine dintr-un gradient al unui câmp scalar, rotorul câmpului vectorial este egal cu zero,
deoarece pentru orice câmpul vectorial:

${\displaystyle rot\;{\vec {\nabla U}}=0}$ 

În mod reciproc, datotită simetriei de rotație, rotorul câmpului vectorial al forței centrifuge este egal cu zero:

${\displaystyle rot\;{\vec {F}}_{cf}=\nabla \times {\vec {F}}_{cf}=0}$ 

există atunci un câmp scalar, câmpul potențial scalar, a cărui gradient generează forța:

${\displaystyle {\vec {F}}_{cf}=-{\vec {\nabla U}}}$ 

Câmpul vectorial centrifug posedă așadar un potențial scalar ^[2] :

${\displaystyle U_{cf}(r(t),\omega (t))=-1/2*r^{2}*\omega ^{2}=-1/2*(L/m)^{2}*1/r^{2}}$ 

Energia potențială se determină ca:

${\displaystyle E_{pot}=m*(U(R)-U(r))}$  cu ${\displaystyle R>r}$ 

Energia cinetică a mișcării de rotație se determină ca:

${\displaystyle E_{rot}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}={\frac {1}{2}}L\omega }$ 

Din această relație, energia cinetică este constantă când momentul cinetic si viteza unghiulară sunt constante și în mecanica corpului rigid când momentul de inerție este contant, putând concluziona aparent, că energia cinetică a mișcării de rotație nu se conservată în general.^{[3]cap. 19-7}
Privind însă variația temporală a energiei cinetice in raport cu raza, la o viteză unghiulară constantă, cu ${\displaystyle \omega '=0}$ :

${\displaystyle {\frac {dE_{rot}}{dt}}=m\omega r(\omega r+\omega r')}$ 

se observă că mai există și un aport a variației energiei cinetice in dependență cu viteza radială ${\displaystyle r'=v_{radial}}$ , deși momemtul cinetic rămâne constant, adicä:

${\displaystyle {\frac {{\vec {d}}L}{dt}}={\vec {M}}=0}$ 

neexistând deci un moment de antrenare, deoarece produsul cartezian a doi vectori coliniar est egal cu zero:

${\displaystyle {\vec {L}}(r')={\vec {r}}\times {\vec {v}}_{radial}=0}$ 

Energia cinetică a mișcării de rotație se poate modifica si fără existența unui moment de antrenare, atunci când există o viteză radială diferită de zero, la o mișcare cu viteză unghiulară constantă. Această modificare a energiei cinetice de rotație la variația razei se datorează forței Coriolis, fiind deci responsabilă pentru acumularea uriașă a energiei cinetice de rotație in fenomene meteorologice cum ar fi uragane, unde variația razei datorită vitezei radiale este produsă de gradientul radial simetric a presiunii atmosferice crescând de la margine la centru, chiar atunci când momentul cinetic nu se modifică, neexistând un moment de antrenare. Modificarea energie cinetice de rotație la variația razei se produce in contextul conservării energie totale, crescând energia cinetică in detrimentul scăderii energie potențiale centrifuge, așa încât energia totală a sistemului este conservată, in deplină concordanță cu legile naturii.

Energia totală a mișcării de rotație este:

${\displaystyle W=E_{kin}+E_{pot}}$ 

Energia totală este o mărime importantă in Ecuația Euler-Lagrange aplicată in metoda Formalismul Lagrange simplificând in multe cazuri speciale găsirea ecuațiilor traiectoriei de mișcare.

Ecuația Euler-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial W}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial W}{\partial q}}=0}$ 

• M. Rădoi, E. Deciu: Mecanica / Editura didactică si pedagogică, București 1977, cap. 8.2.3, pag. 183
• S.E.Friș, A.V.Timoreva: Curs de fizică generală / Editura Tehnică 1965
• V. Vălcovici, R. Bălan, R. Voinea: Mecanica Teoretică / Editura Tehnică 1968
• E. Rebhan: Theoretische Physik / Spektrum Akademischer Verlag 1999, ISBN 3-8274-0246-8
• R.P. Feynman: Fizica Modernă, Vol.I / Editura Tehnică 1970
• R.P. Feynman, R.B Leighton, M. Sands: Lectures on Physics / Adison and Wesley 1963
• V. Postelnicu, S. Coatu: Mică enciclopedie matematică / Editura tehnică
• S. Gottwald: Kleine Enzyklopädie der Mathematik / Meyers Lexikonverlage, Wien 1995

Portal Fizică