Formula lui Moivre

Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:

${\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\frac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n},}$

pe care a reușit să o demonstreze pentru orice ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:

Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.

Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel în cazul inițial pentru ${\displaystyle n=1}$ formula este verificată.

Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru ${\displaystyle n=k}$ adică:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k}=r^{k}(\cos kx+i\sin kx),a=cosx,b=sinx}$

și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru ${\displaystyle n=k+1.}$

Într-adevăr, ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k+1}=(\cos x+i\sin x)^{k}\cdot (\cos x+i\sin x)=(\cos kx+i\sin kx)\cdot (\cos x+i\sin x)=}$

${\displaystyle =(\cos kx\cdot \cos x-\sin kx\cdot \sin x)+i(\sin kx\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos kx)=\cos(k+1)x+i\sin(k+1)x.}$

Formula lui Moivre este valabilă și pentru ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ întreg negativ. Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ și se ia ${\displaystyle x=2k\pi ,}$ se obține:

${\displaystyle 1^{1/n}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},}$

care are n valori diferite când k parcurge mulțimea ${\displaystyle \{0,1,2,\cdots ,n-1\}.}$ Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.