Tensor misto

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Em análise tensorial, um tensor misto é um tensor que não é nem estritamente covariante nem estritamente contravariante; pelo menos um dos índices de um tensor misto será um subscrito (covariante) e, pelo menos, um dos índices será um sobrescrito (contravariante).

Um tensor misto de tipo ou valência ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {M}{N}}}$, também escrito "tipo (M, N)", com tanto M > 0 e N > 0, é um tensor o qual tem índices contravariantes M e índices covariantes N. Tal tensor pode ser definido como uma função linear que mapeia um (M + N)-toplo de M formas-um e N vetores a um escalar.

Ver artigo principal: Elevação e abaixamento de índices em tensores

Considere o seguinte octeto de tensores relacionados:

${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }}$.

O primeiro é covariante, o último é contravariante, e os restantes são mistos. Do ponto de vista de notação, esses tensores diferem umas dos outros pela covariância/contravariância de seus índices. Um dado índice contravariante de um tensor pode ser reduzido usando-se o tensor métrico g_μν, e um dado índice covariante pode ser elevado usando-se o tensor métrico inverso g^μν. Então, g_μν poderia ser chamado operador de redução de índice e g^μν operador de elevação de índice.