Transformação multilinear

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Em álgebra linear, uma transformação multilinear é uma função de várias variáveis que é linear separadamente em cada variável. Mais precisamente, uma transformação multilinear é uma função

$${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$$

onde ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ e ${\displaystyle W}$ são espaços vetoriais (ou módulos sobre um anel comutativo), com a seguinte propriedade: para cada ${\displaystyle i,}$ se todas as variáveis, exceto ${\displaystyle v_{i}}$ são mantidas constantes, então ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ é uma função linear de ${\displaystyle v_{i}.}$ ^[1]

Uma transformação multilinear de uma variável é uma transformação linear, e uma de duas variáveis é uma transformação bilinear. Mais genericamente, uma transformação multilinear de k variáveis é chamada uma transformação k-linear. Se o codomínio de uma transformação multilinear é o corpo de escalares, ele é chamado de uma forma multilinear. Transformações multilineares e formas multilineares são objetos de estudo fundamentais em álgebra multilinear.

Se todas as variáveis pertencem ao mesmo espaço, podem ser consideradas transformações k-lineares simétricas, antissimétricas e alternadas. As duas últimas coincidem, se a característica do anel (ou corpo) subjacente for diferente de dois, caso contrário as duas primeiras coincidem.