Transformação linear

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Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre o mesmo corpo ${\displaystyle K.}$

Diz-se que uma função ${\displaystyle T:V\rightarrow {W}}$ é uma transformação linear se, para quaisquer ${\displaystyle u,v\in {V}}$ e ${\displaystyle \alpha \in {K},}$valem as relações:^[1]

• ${\displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}$
• ${\displaystyle T(\alpha v)=\alpha T(v).}$

• a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle K}$ definida por ${\displaystyle T(x)=3x;}$
• a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K^{2}}$ em ${\displaystyle K}$ definida por ${\displaystyle T(x,y)=x+y;}$
• a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K^{2}}$ em ${\displaystyle K^{2}}$ definida por ${\displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}$
• se ${\displaystyle D}$ for o espaço das funções deriváveis de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e se ${\displaystyle F}$ for o espaço de todas as funções de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, então a derivação (isto é, a função de ${\displaystyle D}$ em ${\displaystyle C}$ que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se ${\displaystyle a\in K-\{0\}}$, então a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle K}$ definida por ${\displaystyle T(x)=x+a}$ não é uma transformação linear.

Se ${\displaystyle T}$ for uma função de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ num espaço vetorial ${\displaystyle W,}$ então afirmar que ${\displaystyle T}$ é linear equivale a afirmar que ${\displaystyle T}$ preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ∈ ${\displaystyle V}$ e dois escalares ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ ∈ ${\displaystyle K:}$

$${\displaystyle T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})}$$

Para qualquer aplicação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W}$, tem-se:

• ${\displaystyle T(0)=0,}$ pois ${\displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}$
• se ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V,}$ então ${\displaystyle T(-v)=-T(v),}$ pois ${\displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}$

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

• Aditividade:

$${\displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}$$

• Homogeneidade:

$${\displaystyle f(ax)=af(x).}$$ Em suma:

${\displaystyle f(ax+bx')=af(x)+bf(x')}$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma ${\displaystyle y=ax,}$ em que ${\displaystyle a}$ é um número real.

• ${\displaystyle y}$ é a variável dependente e ${\displaystyle x}$ a variável independente;
• ${\displaystyle a}$ é o coeficiente angular.

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma ${\displaystyle y=mx+b}$ uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando ${\displaystyle b}$ é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam ${\displaystyle (V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times ){\mbox{ e }}(W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )}$ espaços vetoriais. Uma função ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• ${\displaystyle \forall x,y\in V\ (f(x\oplus _{V}y)=f(x)\oplus _{W}f(y))}$
• ${\displaystyle \forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\otimes _{V}v)=a\otimes _{W}f(v))}$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• ${\displaystyle \forall x,y\in V\ (f(x+y)=f(x)+f(y))}$
• ${\displaystyle \forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\ v)=a\ f(v))}$

O núcleo de uma transformação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W,}$ denotado por ${\displaystyle \ker(T),}$ é o conjunto ${\displaystyle \{v\in V\,|\,T(v)=0\},}$ em que ${\displaystyle 0}$ é o vetor nulo de ${\displaystyle W.}$

Exemplo: O núcleo da função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K^{3}}$ em ${\displaystyle K^{3}}$ definida por ${\displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)}$ é: $${\displaystyle \ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4\right\}}$$

O conjunto ${\displaystyle \ker(T)}$ é um subespaço vetorial de V, pois se ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ∈ ${\displaystyle \ker(T)}$ e se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ ∈ ${\displaystyle K,}$ então ${\displaystyle T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})=0,}$ ou seja, ${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}}$ ∈ ${\displaystyle \ker(T).}$

Se uma aplicação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W}$ for injectiva, então ${\displaystyle \ker(T)=\{0\},}$ pois ${\displaystyle T(0)=0}$ e, portanto, pela injectividade de ${\displaystyle T,}$ o único vector ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V}$ tal que ${\displaystyle T(v)=0}$ é ${\displaystyle 0.}$ Reciprocamente, se ${\displaystyle \ker(T)=\{0\},}$ então ${\displaystyle T}$ é injectiva, pois, dados ${\displaystyle v,w}$ ∈ ${\displaystyle V:}$ $${\displaystyle T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in \ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w}$$

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle K.}$ A imagem de uma transformação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W}$ é o conjunto: $${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}}$$

Sejam ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ dois elementos da imagem de ${\displaystyle T}$ e sejam ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in K.}$ Então, como ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ estão na imagem de ${\displaystyle T,}$ há vectores ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ tais que ${\displaystyle w_{1}=T(v_{1})}$ e que ${\displaystyle w_{2}=T(v_{2}),}$ pelo que: $${\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})=T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})\in \mathop {\mathrm {Im} } (T)}$$ Logo, ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)}$ é um subespaço vetorial de ${\displaystyle W.}$

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle K,}$ sendo ${\displaystyle V}$ de dimensão finita, e seja ${\displaystyle T}$ uma transformação linear de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W.}$ Então $${\displaystyle \dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname {Im} (T)).}$$ Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja ${\displaystyle n=\dim(\ker(T))}$ e seja ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},}$ …${\displaystyle ,v_{n}\}}$ uma base de ${\displaystyle \ker(T).}$ Como ${\displaystyle \ker(T)}$ é um subespaço de ${\displaystyle V,}$ pode-se completar essa base até obtermos uma base de ${\displaystyle V.}$ Sejam então ${\displaystyle w_{1},w_{2},}$  … ${\displaystyle ,w_{m}}$ ∈ ${\displaystyle V}$ tais que ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},}$ …${\displaystyle ,v_{n},w_{1},w_{2},}$ …${\displaystyle ,w_{m}\}}$ seja uma base de ${\displaystyle V;}$ em particular, ${\displaystyle \dim(V)=n+m.}$ Vai-se provar que ${\displaystyle \{T(w_{1}),}$ …${\displaystyle ,T(w_{m})\}}$ é uma base de Im${\displaystyle (T),}$ de onde resultará que $${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(T)).}$$ Se ${\displaystyle w}$ ∈ Im${\displaystyle (T),}$ então ${\displaystyle w=T(v)}$ para algum ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle v}$ pode ser escrito sob a forma $${\displaystyle v=\alpha _{1}v_{1}+\cdots \alpha _{n}v_{n}+\beta _{1}w_{1}+\cdots +\beta _{m}w_{m},}$$ pelo que $${\displaystyle T(v)=\beta _{1}T(w_{1})+\cdots +\beta _{m}T(w_{m}),}$$ visto que ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ ∈ ${\displaystyle \ker(T).}$ Isto prova que ${\displaystyle \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{m})\}}$ gera ${\displaystyle \operatorname {Im} (T).}$ Por outro lado, os vetores ${\displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),\ldots ,T(w_{m})}$ são linearmente independentes, pois se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ ∈ ${\displaystyle K}$ forem tais que $${\displaystyle \alpha _{1}T(w_{1})+\alpha _{2}T(w_{2})+\cdots +\alpha _{m}T(w_{m})=0,}$$ então $${\displaystyle T{\bigl (}\alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\cdots +\alpha _{m}w_{m}{\bigr )}=0\Rightarrow \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\cdots +\alpha _{m}w_{m}\in \ker(T),}$$ de onde resulta que ${\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\ldots +\alpha _{m}w_{m}}$ é uma combinação linear dos vetores ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},}$ o que é só é possível se ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{m}=0,}$ pois o conjunto ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}\}}$ é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se ${\displaystyle T}$ for um endomorfismo de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ de dimensão finita, então são condições^[3] equivalentes:

1. ${\displaystyle T}$ é injetivo;
2. ${\displaystyle T}$ é sobrejetivo;
3. ${\displaystyle T}$ é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se ${\displaystyle T}$ for sobrejetivo, então $${\displaystyle \dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))=\dim(V)-\dim(\ker(T)),}$$ pelo que ${\displaystyle \dim(\ker(T))=0}$ e, portanto, ${\displaystyle \ker(T)=\{0\},}$ pelo que ${\displaystyle T}$ é injetivo. Por outro lado, se ${\displaystyle T}$ for injetivo, então $${\displaystyle 0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname {Im} (T)),}$$ pelo que ${\displaystyle \dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))}$ e, portanto, ${\displaystyle V=\operatorname {Im} (T),}$ ou seja, ${\displaystyle T}$ é sobrejetivo.

Alguns casos especiais de transformações lineares^[4] do espaço R² são bastante elucidativas:

• rotação de 90 graus no sentido anti-horário: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$$
• rotação por ${\displaystyle \theta }$ graus no sentido anti-horário: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\mathrm {sen} \,(\theta )\\\mathrm {sen} \,(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$$
• reflexão em torno do eixo x: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$
• reflexão em torno do eixo y: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$
• projeção sobre o eixo y: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre o corpo ${\displaystyle K.}$ Seja ${\displaystyle L(V,W)}$ definido como o conjunto de todas transformações lineares de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W.}$ Como funções, para quaisquer operadores ${\displaystyle T}$ e ${\displaystyle U}$ e qualquer escalar ${\displaystyle a,}$ podemos definir ${\displaystyle T+U}$ e ${\displaystyle aT}$ por: $${\displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}$$ $${\displaystyle (aT)(v)=aT(v)}$$

É imediato provar que ${\displaystyle T+U}$ e ${\displaystyle aT}$ também são transformações lineares de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W,}$ e que ${\displaystyle L(V,W)}$ com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre ${\displaystyle K.}$

Pelo fato de que, dadas bases de ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W,}$ temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle m,}$ concluímos que a dimensão de ${\displaystyle L(V,W)}$ é ${\displaystyle nm}$ (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Um caso particular importante é o espaço ${\displaystyle L(V,V),}$ das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear ${\displaystyle T,}$ podem-se definir as potências ${\displaystyle T^{2},T^{3},}$ ou, de modo geral, ${\displaystyle T^{n},\forall n\in \mathbb {Z^{+}} .}$ Portanto, se ${\displaystyle p(x)}$ é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir ${\displaystyle p(T):}$ $${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+\ldots +a_{n}T^{n},}$$ em que ${\displaystyle I_{V}}$ é o operador identidade em ${\displaystyle V.}$

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

• Se ${\displaystyle p(x)}$ e ${\displaystyle q(x)}$ são polinômios, então ${\displaystyle p(T)+q(T)=(p+q)(T)}$ e ${\displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}$

Se o espaço ${\displaystyle V}$ tem dimensão finita ${\displaystyle n,}$ então ${\displaystyle L(V,V)}$ também tem dimensão finita ${\displaystyle n^{2}.}$ Portanto, o conjunto de ${\displaystyle n^{2}+1}$ operadores ${\displaystyle \{I_{V},T,\ldots ,T^{n^{2}}\}}$ é linearmente dependente. Logo, existem escalares ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots a_{n^{2}},}$ não todos nulos, tais que ${\displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+\ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.}$ Ou seja, existe um polinômio não-nulo ${\displaystyle p(x)}$ tal que ${\displaystyle p(T)=0}$.

Se existe um polinômio não-nulo ${\displaystyle f(x)}$ tal que ${\displaystyle f(T)=0}$, então o conjunto não-vazio dos polinômio ${\displaystyle q(x)}$ tais que ${\displaystyle q(T)=0}$ forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico ${\displaystyle p(x)}$ tal que ${\displaystyle p(T)=0}$. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de ${\displaystyle T.}$

Seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial sobre um corpo ${\displaystyle K.}$ O espaço dual de ${\displaystyle V,}$ representado por ${\displaystyle V^{*},}$ é o espaço vetorial ${\displaystyle L(V,K)}$ das transformações lineares de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle K.}$

• Função linear
• Função afim
• Função polinomial de primeiro grau

Referências

1. ↑ Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207 
2. ↑ «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
3. ↑ «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
4. ↑ «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 

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