Wahadło

W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 Marin Mersenne wyznaczył długość wahadła sekundowego (o okresie 2 sekund). Współczesny mu Stanisław Pudłowski proponował oprzeć miarę długości na zjawisku wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego (p. Jean Richer). W 1687 Isaac Newton w pracy Principia zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego. W 1737 Pierre Bouguer wykonał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego (ta wcześniejszą metoda wymagała zmieniania długości wahadła tak, by otrzymać okres drgań równy 1 s). Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 Charles Marie de La Condamine prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiary przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar^[3]. W latach 1825/27 Bessel udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 Henry Kater skonstruował wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 Francis Baily skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni^[3].

 

Wahadłem matematycznym nazywa się punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym^[1]. Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia^[4]:

• rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici,
• nić jest nieważka,
• nić jest nierozciągliwa,
• wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej,
• na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej)^[4].

Równanie ruchu wahadła określa wzór^[1][4]

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)=0,}$ 

gdzie:

${\displaystyle \theta (t)}$  – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili ${\displaystyle t,}$  przy czym kąt ten przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo,

${\displaystyle g}$  – przyspieszenie ziemskie,

${\displaystyle \ell }$  – długość nici.

 

Równanie ruchu wahadła jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, nieliniowym. Dokładne rozwiązanie takiego równania jest niełatwe. Tu podano pierwszy sposób znalezienia rozwiązania przybliżonego, przy założeniu że wahadło wykonuje drgania o niewielkiej amplitudzie kątowej. Przy takim założeniu funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (wzór Maclaurina)^[b][1]:

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$ 

wówczas równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta (t)=0.}$ 

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych.

(1) Rozwiązaniem powyższego równania jest zależność kąta wahań od czasu dana wzorem^[5]:

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega _{0}t+\varphi ),}$ 

gdzie:

${\displaystyle \theta _{0}}$  – amplituda drgań,

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}}$  – częstotliwość kołowa małych drgań,

${\displaystyle \varphi }$  – faza początkowa drgań.

(2) Dla warunków początkowych ${\displaystyle \theta (0)=0}$  (tj. w chwili ${\displaystyle t=0}$  wahadło przechodzi przez położenie równowagi) otrzyma się rozwiązanie:

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega _{0}t)}$ 

(3) Okres drgań jest związany z częstotliwością kołową wzorem

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.}$ 

Stąd otrzymuje się^[4]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$ 

Z otrzymanych rozwiązań wynika, że gdy wahadło wykonuje małe drgania, to:

• zależność kąta wychylenia wahadła od czasu jest funkcją harmoniczną,
• okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Izochronizm wahadła odkrył już Galileusz w XVI w., własność ta jest słuszna dla małych drgań.

Na wykresie pokazano rozwiązania ruchu wahadła dla małych amplitud drgań obliczone z dokładnego równania wahadła. Wyniki są zgodne z wnioskami, wyprowadzonymi tu z równania przybliżonego dla małych amplitud drgań.

 

 

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać dla dużych amplitud drgań w sposób przybliżony, przybliżając funkcję sinus do dwóch początkowych wyrazów szeregu Maclaurina: ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}}$ . Wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać^[6]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\left(\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}\right)=0.}$ 

Rozwiązanie tego równania ma postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu) - przy założeniu warunków początkowych ${\displaystyle \theta (0)=0}$  (tj. w chwili ${\displaystyle t=0}$  wahadło przechodziło przez położenie równowagi):

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{1}\sin \omega t+\theta _{3}\sin(3\omega t),}$ 

gdzie:

${\displaystyle \theta _{3}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\theta _{0}}{4}}\right)^{3}}$  – amplituda drgań o częstotliwości ${\displaystyle 3\omega ,}$ 

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{0}+\theta _{3}}$  – amplituda drgań o częstotliwości ${\displaystyle \omega ,}$ 

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$  - częstotliwość małych drgań

${\displaystyle \omega =\omega _{0}\left(1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right)}$  - częstotliwość drgań wahadła o dużej amplitudzie; ${\displaystyle \omega <\omega _{0}}$ 

Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:

• ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości ${\displaystyle \omega }$  oraz ${\displaystyle 3\omega }$  i amplitudy odpowiednio równe ${\displaystyle \theta _{1}}$  oraz ${\displaystyle \theta _{3}}$ 
• częstotliwość drgań ${\displaystyle \omega }$  zależy od amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}}$  (nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud)
• częstotliwość drgań jest mniejsza niż dla drgań o małej amplitudzie; częstotliwość ta maleje wraz ze wzrostem amplitudy
• amplituda ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{3}}$  składowych harmonicznych zależą od trzeciej potęgi amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}.}$ 

Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości ${\displaystyle \theta _{0}}$  częstotliwość drgań ${\displaystyle \omega }$  zbliża się do wartości ${\displaystyle \omega _{0},}$  a amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie ${\displaystyle \theta _{0}}$  i częstotliwości ${\displaystyle \omega _{0},}$  która nie zależy od amplitudy.

Uwagi:

1. Powyższe rozwiązanie przybliżone daje częstotliwość drgań nie odbiegającą od częstotliwości rozwiązania dokładnego o więcej niż 3% dla amplitud drgań ${\displaystyle <160^{\circ }.}$  Zależności te ilustruje wykres.
2. Jednak błąd średniokwadratowy pomiędzy przybliżonym rozwiązaniem na zależność kąta od czasu a rozwiązaniem dokładnym jest znacznie większy niż ten sam błąd obliczony dla sumy częściowej szeregu Fouriera, np. wziętej tylko dla trzech początkowych wyrazów szeregu (np. dla amplitudy ${\displaystyle 160^{\circ }}$  błąd ten jest ponad 170 razy większy).
3. Rozwiązanie przybliżone daje dokładność zadowalającą dla amplitud ${\displaystyle <140^{\circ }.}$ 
4. Dokładniejsze przybliżenie uzyska się, jeśli zamiast ${\displaystyle \omega =\omega _{0}(1-{\tfrac {\theta _{0}^{2}}{16}})}$  przyjąć ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$ , gdzie ${\displaystyle T(\theta _{0})=4{\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\,\cdot K(\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}})}$  - okres drgań rozwiązania ścisłego, słusznego dla dowolnych amplitud, co omówiono niżej.
5. Wtedy rozwiązanie przybliżone można traktować jako rozwiązanie analogiczne do sumy częściowej rozwinięcia w szereg Fouriera rozwiązania dokładnego ${\displaystyle \theta (t)}$ , ograniczonej do trzech wyrazów rozwinięcia w funkcje sinusoidalne i kosinusoidalne. Ponownie jednak przybliżenie za pomocą sumy częściowej trzech wyrazów szeregu Fouriera daje znacznie mniejszy błąd średniokwadratowy aproksymacji.
6. Jest to ogólna prawidłowość, stanowiąca treść jednego z twierdzeń analizy Fourierowskiej: spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy aproksymacji uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera (por. Dokładności aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera).

 

Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}}$  można podać w postaci uwikłanej^[7]:

${\displaystyle dt={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$ 

(wyprowadzenie tego wzoru pokazano dalej - w części Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów). Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do ${\displaystyle \theta }$  otrzymuje się zależność czasu ${\displaystyle t}$  od kąta wychylenia wahadła:

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta }{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$ 

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju.

Przyjmując w powyższym wzorze wartość kąta ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$  w granicy górnej całki i mnożąc go przez 4 otrzyma się wzór na okres drgań wahadła o dowolnej amplitudzie drgań^[8]:

${\displaystyle T(\theta _{0})=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,\cdot K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),}$ 

gdzie ${\displaystyle K}$  jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju.

Z własności całek eliptycznych wynika, że wartość dla ${\displaystyle K\left(\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}$  rośnie ze wzrostem argumentu ${\displaystyle \sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}}$ . Okres drgań zależy więc od amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}}$  i rośnie wraz z jej wzrostem (aż do nieskończoności dla amplitudy drgań ${\displaystyle \theta _{0}=180^{\circ }}$ , gdy wahadło dąży do górnego położenia w pionie). Zależność tę pokazuje wykres. Częstotliwość drgań zaś maleje od częstotliwości małych drgań ${\displaystyle \omega _{0}}$  do 0 (por. wykres w poprzednim rozdziale).

Całki eliptyczne są stablicowane (patrz np. Tabela wartości całek eliptycznych); obliczanie wartości tych całek jest także zaimplementowane w językach programowania; np. Python używa biblioteki funkcji specjalnych poprzez wywołanie instrukcji:

from scipy.special import ellipk

zaś instrukcja licząca okres drgań ma postać

T = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k**2)/T_0 # Period of the pendulum

gdzie ${\displaystyle k=\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}}$  - tzw. moduł całki eliptycznej.

Uwaga:

W Python należy liczyć wartość całki eliptycznej z ${\displaystyle m=k*k}$  (tzw. parametr całki eliptycznej), nie z samej wartości ${\displaystyle k}$ .

(1) Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w szereg Taylora względem ${\displaystyle k=\sin {\Big (}{\tfrac {\theta _{0}}{2}}{\Big )}}$ , co prowadzi do wzoru^[8][9]

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\theta _{0})&=2\pi {\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left[\left({\tfrac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]\\&=2\pi {\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\left[1+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\cdot \sin ^{4}\left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\cdot \sin ^{6}\left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)+\ldots \right]\end{aligned}}}$ 

(2) Dokładniejsze przybliżenie uzyskuje się rozwijając całkę eliptyczną w szereg Maclaurina względem ${\displaystyle \theta _{0}}$  (przy czym całka winna być najpierw wyrażona w bazie wielomianów Legendre'a)^[10]

${\displaystyle T(\theta _{0})=2\pi {\sqrt {\tfrac {l}{g}}}\left(1+{\tfrac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\tfrac {11}{3\ 072}}\theta _{0}^{4}+{\tfrac {173}{737\ 280}}\theta _{0}^{6}+{\tfrac {22\ 931}{1\ 321\ 205\ 760}}\theta _{0}^{8}+\ldots \right).}$ 

Gdy w powyższych wzorach pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego^[11].

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów z zasady zachowania energii

 

Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii mechanicznej wahadła. Energia ta jest zachowana, gdy na wahadło działają jedynie siły zachowawcze, a opory ruchu nie występują, co tutaj zakłada się.

Jeżeli wahadło znajdowało się początkowo w położeniu ${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}}$  i opadło do położenia ${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta }$  (por. rysunek), to nastąpiła zmiana jego wysokości o wielkość ${\displaystyle h}$  daną wzorem^[12]

${\displaystyle h=\ell \cos \theta -\ell \cos \theta _{0}}$ 

Zmiana wysokości wahadła powoduje ubytek jego energii potencjalnej grawitacji oraz równy mu przyrost energii kinetycznej,

${\displaystyle \Delta E_{p}=\Delta E_{k}}$ 

czyli

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mgh,}$ 

gdzie ${\displaystyle v}$  - prędkość, jaką uzyskało wahadło. Stąd mamy

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$ 

Ponieważ

${\displaystyle v=\ell {\frac {d\theta }{dt}},}$ 

gdzie ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}}$  jest prędkością kątowa wahadła, mierzoną względem jego punktu zamocowania, to z porównania powyższych wzorów otrzymuje się

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {1}{\ell }}{\sqrt {2gh}}}$ 

Wstawiając do powyższego wzoru wyprowadzoną wcześniej zależność ${\displaystyle h=\ell \cos \theta -\ell \cos \theta _{0}}$  otrzymuje się^[12]

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}$ 

Stąd

${\displaystyle dt={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$ 

Okres wahań ${\displaystyle T}$  otrzyma się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do ${\displaystyle \theta _{0}}$  i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach)^[13]:

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$ 

Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci Legendre’a, którą używa się standardowo w tablicach wartości tych całek (por. niżej) oraz w językach programowania (np. w Python, C++), wprowadza się nową zmienną ${\displaystyle u}$ , taką że ${\displaystyle \sin {u}={\tfrac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}};}$  ostatecznie otrzymuje się wzór na okres drgań wahadła^[13][14]

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,{\text{K}}{\Big (}\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}{\Big )}}$ 

gdzie ${\displaystyle K}$  jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju zdefiniowaną wzorem:

${\displaystyle {\text{K}}(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du}$ 

przy czym

${\displaystyle k=\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}}$  - tzw. moduł całki eliptycznej.

Całkę ${\displaystyle K(k)}$  można rozwinąć w szereg względem modułu eliptycznego ${\displaystyle k}$ ^[13]

${\displaystyle {\text{K}}(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot k^{2n}\right]\right\},}$ 

co prowadzi do wzoru na okres drgań wyrażony przez szereg, podany wyżej.

 

Omówiony zostanie tu przypadek ruchu oscylacyjnego wahadła, tj. dla amplitud drgań ${\displaystyle \theta _{0}<180^{\circ }}$ . (Przypadek ruchu o amplitudzie ${\displaystyle \theta _{0}=180^{\circ }}$ , tzw. ruch asymptotyczny, omówiono dalej.) Jawną zależności kąta wychylenia wahadła od czasu ${\displaystyle \theta (t)}$  dla dowolnie dużych amplitud w ruchu oscylacyjnym uzyskuje się obliczając funkcję odwrotną do funkcji ${\displaystyle t(\theta )}$  podaną w poprzednim rozdziale, przy czym wykorzystuje się funkcję sinus amplitudy Jacobiego^[9].

(a) Jeżeli zada się warunki początkowe ${\displaystyle \theta (0)=0}$ , ${\displaystyle {\tfrac {d\theta (t)}{dt}}{\big |}_{t=0}=\Omega _{0}\neq 0}$  (tj. w chwili ${\displaystyle t=0}$  wahadło w pionie oraz posiada zadaną prędkość kątową), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję sinus amplitudy Jacobiego ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ^[15][9]:

${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin {\Big [}k\cdot \operatorname {sn} {\Big (}k;\omega _{0}t{\Big )}{\Big ]}}$ ,

gdzie : ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {g}{l}}}}$ 

${\displaystyle k={\tfrac {\Omega _{0}}{2\omega _{0}}}<1}$ 

(b) Jeżeli zada się warunki początkowe ${\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}}$ , ${\displaystyle {\tfrac {d\theta (t)}{dt}}{\big |}_{t=0}=\Omega _{0}=0}$  (tj. w chwili ${\displaystyle t=0}$  wahadło odchylone od pionu o maksymalny kąt ${\displaystyle \theta _{0}}$ ), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję sinus amplitudy Jacobiego, ale trzeba dokonać przesunięcia wykresu "w tył" na osi czasu ^[15]

${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin {\Big [}k\cdot \operatorname {sn} {\Big (}k;\omega _{0}(t+T/4){\Big )}{\Big ]}}$ 

 

gdzie:

• ${\displaystyle k=\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}}$ 
• ${\displaystyle T(\theta _{0})=4T_{0}\,\cdot K(k)}$  - okres drgań wahadła

Uwaga 1:

Ruch oscylacyjny zachodzi dla amplitud drgań ${\displaystyle \theta _{0}<180^{\circ }}$ . Z zależności ${\displaystyle k=\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}}$  wynika, że dla ruchu oscylacyjnego ${\displaystyle k<1}$ .

Uwaga 2:

Zachodzi równość ${\displaystyle k=\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}={\tfrac {\Omega _{0}}{2\omega _{0}}}}$ , jeżeli dla amplitudy drgań ${\displaystyle \theta _{0}}$  prędkość kątowa wahadła wynosi ${\displaystyle \Omega _{0}}$ , gdy przechodzi przez położenie równowagi. (Związek ten łatwo wyprowadzić z zasady zachowania energii.) Ma to znaczenie praktyczne: łatwiej zadać amplitudę drgań wahadła, niż jego prędkość kątową, a i tak ruch będzie poprawnie odtworzony przy założeniu warunków początkowych (a).

Uwaga 3: Ogólne warunki początkowe a ruch oscylacyjny wahadła

Warunki ${\displaystyle \theta _{0}<180^{\circ }}$  oraz ${\displaystyle \Omega _{0}<2\omega _{0}}$  określają, kiedy zachodzi ruch oscylacyjny dla przypadków (a) i (b) warunków początkowych. W ogólnosci warunki początkowe można zadać poprzez określenie dowolnego położenia kątowego ${\displaystyle \theta (0)}$  i dowolnej prędkości kątowej ${\displaystyle \Omega (0)}$  wahadła w chwili ${\displaystyle t=0}$ . To, jaki rodzaj ruchu będzie wykonywać wahadło dla tych ogólnych warunków początkowych, można określić rozważając energię mechaniczną wahadła, co zostało omówione dalej.

Zamieszczony tu program w języku Python generuje wykresy ${\displaystyle \theta (t)}$  dla dowolnych amplitud ${\displaystyle \theta _{0}\in <0,180)}$ ; program korzysta m.in. z biblioteki scipy.special do liczenia całek eliptycznych oraz funkcji sn amplitudy Jacobiego. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import ellipk, ellipj

# Constants (can be changed)  ---------------------
theta_0_deg_list = [10, 133, 160, 179.99999] # List of amplitudes in degrees
time_max = 3.2    # Time range in seconds
time_steps = 1000
plt.figure(figsize=(10, 10)) # Size of a plot
g = 9.81          # Acceleration due to gravity (m/s^2)
L = 0.25          # Length of the pendulum (m)
T_0 = 4 * np.sqrt(L / g) * ellipk(0)      # Period for small amplitudes
# Calculations  ---------------------
t = np.linspace(0, time_max, time_steps)  # Time array
for theta_0_deg in theta_0_deg_list:      # Loop through each amplitude theta_0
    theta_0 = np.radians(theta_0_deg)     # Convert to radians
    k = np.sin(theta_0 / 2)               # Elliptic modulus
    T = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k**2)/T_0 # Period of the pendulum
    t_0 = 0 #T/4                          # Time shift (can be changed)
    u = np.sqrt(g/L) * (t+t_0)            # Time parameter for theta_0
    sn, cn, dn, ph = ellipj(u, k**2)      # The Jacobi elliptic functions
    theta = 2 * np.arcsin(k * sn)         # Theta as a function of time
    # Plotting the result for theta_0
    plt.plot(t/T_0, np.degrees(theta), label=r'$\theta_0 = {}^\circ$'.format(theta_0_deg))

# Plot customization
plt.xlabel('time (s)', fontsize=20)
plt.ylabel('θ(t) [${}^\circ$]', fontsize=20)
plt.title('Nonlinear pendulum solutions for different amplitudes', fontsize=20)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=18)
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=18)
plt.show()

 

 

 

Znając zależność kąta wychylenia od czasu ${\displaystyle \theta (t)}$  można rozwinąć ją w szereg Fouriera:

${\displaystyle \theta (t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)],}$ 

gdzie:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\theta (t)\cos \left(\omega \,nt\right)dt,\quad n=0,1,2,3,\dots ,}$ 

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\theta (t)\sin \left(\omega \,nt\right)dt,\quad n=1,2,3,\dots }$ 

${\displaystyle T}$  - okres drgań wahadła (dla dowolnej amplitudy drgań),

${\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}}}$  - podstawowa częstotliwość kołowa w rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera

Załóżmy, że wahadło zaczyna ruch od najniższego położenia pionowego i wykonuje oscylacje o dużej amplitudzie ${\displaystyle \theta _{0}=179.99^{\circ }}$ . Na rysunkach pokazano wykres zależności kąta wahadła od czasu, widmo Fouriera oraz przybliżenie sumą częściową szeregu Fouriera zawierającą wyrazy o indeksach ${\displaystyle n=0,1,\dots ,14}$ :

${\displaystyle \theta (t)\approx S_{14}(t)=\sum _{n=0}^{14}[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)]}$ 

Z analizy Fouriera widać, że wszystkie współczynniki ${\displaystyle a_{n}}$  zerują się (co oznacza, że widmo Fouriera nie ma składowych kosinusoidalnych), zaś niezerowe współczynniki ${\displaystyle b_{n}}$  mają indeksy nieparzyste. Dla drgań o bardzo dużej amplitudzie zależność kąta wahadła od czasu zawiera więc wiele składowych harmonicznych - w tym wypadku składowych sinusoidalnych ${\displaystyle \sin n\omega }$  o częstotliwościach ${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$  razy większych od częstotliwości podstawowej ${\displaystyle \omega }$ . W ogólności mamy

${\displaystyle \theta (t)=\sum _{n\geq 1\,nieparzyste}^{\infty }b_{n}\sin(n\omega t)}$ 

Wynik ten oznacza, iż dla wahadła rozpoczynającego ruch w chwili ${\displaystyle t=0}$  od położenia równowagi zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest nieparzystą funkcją czasu, tj. ${\displaystyle \theta (-t)=-\theta (t).}$  Ponadto, dla dużych amplitud drgań częstotliwość podstawowa ${\displaystyle \omega }$  jest mniejsza niż dla małych drgań, gdyż rośnie okres drgań ${\displaystyle T}$  ze wzrostem amplitudy, więc częstotliwość maleje. Własności te uwidaczniają wykresy.

Dla wahadła rozpoczynającego ruch w chwili ${\displaystyle t=0}$  od maksymalnego wychylenia kątowego, zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest parzystą funkcją czasu, tj. ${\displaystyle \theta (-t)=\theta (t)}$  i dlatego współczynniki ${\displaystyle b_{n}}$  w szeregu Fouriera są równe zero. Ponadto, współczynniki ${\displaystyle a_{n}}$  o parzystych indeksach zerują się, w tym składowa ${\displaystyle a_{0}}$ . Stąd otrzymuje się

${\displaystyle \theta (t)=\sum _{n\geq 1\,nieparzyste}^{\infty }a_{n}\cos(n\,\omega t)}$ 

tj. w widmie Fouriera takiego ruchu wahadła występują składowe harmoniczne ${\displaystyle \cos n\omega }$  o częstotliwościach ${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$  razy większych od częstotliwości podstawowej ${\displaystyle \omega }$ .

Z analizy Fourierowskiej wynika, że dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła zawiera nie jedną harmoniczną (jaką otrzymuje się w przybliżeniu funkcji sinus jednym wyrazem szeregu Maclaurina, tj. przyjmując ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$  - przy założeniu małych drgań), nie dwie harmoniczne (co otrzymuje się w rozwinięciu Maclaurina dwoma wyrazami, tj. przyjmując ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}}$ ), ale w ogólności składowych harmonicznych jest nieskończenie wiele. Amplitudy wyższych harmonicznych są określone przez współczynniki szeregu Fouriera. Wyższe harmoniczne mają coraz mniejsze amplitudy.

 

Niezwykle dokładne rozwiązanie ${\displaystyle \theta (t)}$  równania wahadła otrzymuje się za pomocą szeregu Fouriera, w którym współczynniki całkowe ${\displaystyle a_{n}}$  i ${\displaystyle b_{n}}$  Fouriera przybliża się za pomocą tzw. nomu eliptycznego. Dla warunków początkowych (b) szereg ten ma postać^[16][17]

${\displaystyle \theta (t)=\sum _{n\geq 1{\text{ nieparzyste}}}8\cdot {\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$ 

gdzie:

• ${\displaystyle \theta _{0}}$  - amplituda drgań wahadła
• ${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2)}$  - moduł
• ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}}),K(k)}$  - całki eliptyczne zupełne 1. rzędu
• ${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}}){\big /}K(k)}\right)}$  - tzw. nom eliptyczny
• ${\displaystyle T=4{\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\,\cdot K(k)}$  - okres drgań (zależny od amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}}$  poprzez moduł k), ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$  - częstotliwość drgań
• [n/2] oznacza tu dzielenie całkowite liczby n; np. dla liczb nieparzystych ${\displaystyle n=1,3,5}$  mamy:${\displaystyle [1/2]=0,[3/2]=1,[5/2]=2.}$ 

Definiując

${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$ 

${\displaystyle q}$  można przybliżyć wyrażeniem

${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$ 

Ponieważ ${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$  dla ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ , dlatego przybliżenie to jest znakomite nawet dla ekstremalnie dużych amplitud, bliskich ${\displaystyle \pi [{\text{rad}}]=180^{\circ }.}$  Przykładową dokładności tej metody pokazuje wykres, gdzie uzyskano wynik obliczeń dla kąta ${\displaystyle \theta (t)}$ =179.999998 stopni.

Uwaga: Takiej dokładności obliczeń jak tu pokazanych nie da się uzyskać za pomocą funkcji eliptycznej sn Jacobiego z biblioteki funkcji specjalnych języka Python (por. wykresy wyżej pokazane).

 

Załóżmy, że wahadłu o długości ${\displaystyle l}$ , wiszącemu w pozycji pionowej, nadano energię kinetyczną ${\displaystyle E_{k0}={\tfrac {mv_{0}^{2}}{2}}}$  równą energii potencjalnej ${\displaystyle E_{p\,{\text{max}}}=2mgl}$ , jaką ma wahadło w pozycji odwróconej, w górnym położeniu; z porównania obu wzorów wynika, że prędkość początkowa wahadła ${\displaystyle v_{0}}$  ma wartość

${\displaystyle v_{0}=2{\sqrt {gl}}}$ 

Prędkość kątową początkową wahadła określa wzór ${\displaystyle \Omega _{0}=v_{0}/l}$ ; stąd

${\displaystyle \Omega _{0}=2\omega _{0}}$ 

Rozwiązanie równania ruchu wahadła w takiej sytuacji przyjmuje postać ^[18]

${\displaystyle \theta (t)=4\arctan \,[e^{\omega _{0}t}]-\pi }$ 

gdzie ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {g}{l}}}}$ .

Z równania tego wynika, że dla czasu ${\displaystyle t}$  dążącego do nieskończoności kąt odchylenia wahadła ${\displaystyle \theta (t)}$  będzie asymptotycznie zbliżać się do wartości ${\displaystyle \pi }$  [rad]${\displaystyle =180^{\circ }}$ , w której wahadło będzie w odwróconej pozycji; z faktu, iż ruch ten będzie trwał nieskończenie długo wynika, że ruch ten będzie odbywał się z coraz mniejszą prędkością. Ruch taki nazywa się ruchem asymptotycznym lub pełzającym. Jak widać, ruch ten jest aperiodyczny^[18] .

 

W przypadku ruchu obrotowego wahadła jego położenie kątowe ${\displaystyle \theta (t)}$  opisuje funkcja ^[18]

${\displaystyle \theta (t)=2\cdot \mathrm {am} \left({\frac {1}{k}},{\frac {\Omega _{0}}{2}}t\right)}$ 

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {am} ()}$  - funkcja amplitudy Jakobiego,

${\displaystyle \Omega _{0}}$  - prędkość kątowa wahadła w chwili, gdy było w dolnym położeniu,

${\displaystyle k={\frac {\Omega _{0}}{2\omega _{0}}}>1}$  - moduł.

Moduł ${\displaystyle k}$  musi spełniać warunek ${\displaystyle k>1}$ , co oznacza, że ruch obrotowy odbywa się przy odpowiednio dużej energii całkowitej, większej niż energia potencjalna wahadła, gdy jest w górnym, najwyższym położeniu. (Zależność tę łatwo wyprowadzić na podstawie rozważań z poprzedniego rozdziału.)

Z wykresu widać, że położenie kątowe wahadła rośnie z upływem czasu - ruch bowiem odbywa się stale w tę samą stronę, przeciwnie niż ma to miejsce w przypadku oscylacji.

Okres ruchu obrotowego wahadła wyraża się wzorem ^[19]

${\displaystyle T={\frac {4}{\Omega _{0}}}K\left({\frac {1}{k}}\right)}$ 

gdzie ${\displaystyle K}$  to całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju. Przez okres ruchu rozumie się w tym przypadku wykonanie przez wahadło pełnego obrotu wokół punktu zamocowania.

Uwagi:

(1) Wartość całki eliptycznej we wzorze na okres ruchu oblicza się tu z odwrotności modułu ${\displaystyle k}$ , inaczej niż w przypadku ruchu oscylacyjnego. Musi tak być z tego m. in. względu, że całka eliptyczna ${\displaystyle K(k')}$  ma wartości rzeczywiste tylko gdy ${\displaystyle |k'|<0}$ , tu zaś ${\displaystyle k>1}$ .

(2) Starsze wydanie W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika teoretyczna, błędnie podaje ${\displaystyle T={\tfrac {4}{\Omega _{0}}}K\left(k\right)}$ ^[20] . Z tego wzoru otrzymuje się liczbę zespoloną.

 

 

Jeżeli brak jest oporów ruchu (co tutaj zakładamy), to całkowita energia mechaniczna wahadła ${\displaystyle E_{calkowita}}$  nie zmienia się; można ją przyjąć jako najogólniejszy parametr w analizie ruchu wahadła zamiast innych warunków początkowych^[7]. Od wielkości całkowitej energii mechanicznej zależy bowiem, jaki rodzaj ruchu (mod) będzie wykonywać wahadło: ruch oscylacyjny, asymptotyczny czy rotacyjny.

Innym sposobem analizy układów nieliniowych, do których należy wahadło, jest analiza krzywych fazowych. Krzywe fazowe są to krzywe, przedstawiające zależność prędkości układu dynamicznego od jego położenia. W przypadku wahadła krzywe fazowe przedstawiają zależność prędkości kątowej wahadła od jego położenia kątowego.

Niech ${\displaystyle E_{\pi }=2mgl}$  oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z dolnego położenia równowagi do położenia górnego w pionie, tj. do odchylenia o kąt ${\displaystyle \pi [rad]=180^{\circ },}$  gdzie ${\displaystyle \ell }$  - długość wahadła.

Wykresy fazowe pozwalają odróżnić poszczególne przypadki ruchu^[13] (por. wykres obok):

1) gdy ${\displaystyle E_{calkowita}<E_{\pi }}$  to krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi, gdyż wtedy wahadło wykonuje ruch oscylacyjny pomiędzy ${\displaystyle -\theta _{0}}$  a ${\displaystyle \theta _{0}}$ .

2) gdy ${\displaystyle E_{calkowita}=E_{\pi },}$  to krzywe fazowe tworzą stykające się ze sobą linie w punktach ${\displaystyle (-\pi ,0)}$  oraz ${\displaystyle (\pi ,0)}$  - wtedy wahadło wykonuje ruch asymptotyczny i osiąga punkt równowagi nietrwałej w tych punktach.

3) gdy ${\displaystyle E_{calkowita}>E_{\pi },}$  to krzywe fazowe są liniami otwartymi, gdyż wtedy wahadło wykonuje ruch rotacyjny, co oznacza że np. kąt obrotu stałe zwiększa swoją wartość

•  
  Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.
•  
  Kąt początkowy 45°
•  
  Kąt początkowy 90°
•  
  Kąt początkowy 135°
•  
  Kąt początkowy 170°
•  
  Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.
•  
  Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.
•  
  Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

Równanie ruchu wahadła jest uniwersalne - jest słuszne nie tylko dla drgań na Ziemi, ale dla drgań na dowolnym ciele niebieskim (jeśli takie wahadło można by tam zainstalować); np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi, identyczne wahadło miałoby ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$  razy dłuższy okres drgań.

Jest też słuszne np. w windzie, spadającej z przyspieszeniem w kierunku Ziemi. Gdyby winda poruszała się z przyspieszeniem ziemskim, to przedmioty znajdujące się w niej byłyby w stanie nieważkości. Wyjaśnienie tego jest następujące: do opisu ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z windą, który z racji ruchu przyspieszonego względem Ziemi jest układem nieinercjalnym, trzeba wprowadzić oprócz siły grawitacji siłę bezwładności - jeżeli winda poruszałaby się z przyspieszeniem ziemskim, to siła ciężkości ciała byłaby równoważona przez siłę bezwładności, działającej na to ciało - ciało byłoby się w stanie nieważkości. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywałoby (było w równowadze trwałej) albo poruszało się ruchem jednostajnym po okręgu^[21].

W równaniu ruchu wahadła współczynnik ${\displaystyle g}$  należy więc rozumieć jako przyspieszenie ciał swobodnie spadających, mierzone w układzie nieruchomym względem punktu zamocowania nici wahadła. Łatwo pokazać zgodność powyższych efektów (obserwowanych np. w stacjach krążących wokół Ziemi) z opisem matematycznym: Z równania ogólnego ruchu wahadła dla ${\displaystyle g=0}$  otrzymamy proste równanie różniczkowe

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}=0,}$ 

z którego natychmiast wynika rozwiązanie:

${\displaystyle \theta (t)=\omega _{0}t+\theta _{0}}$ ,

gdzie: ${\displaystyle \theta _{0}}$  - położenie kątowe początkowe wahadła, ${\displaystyle \omega _{0}}$  - początkowa prędkość kątowa, nadana wahadłu.

Gdy ${\displaystyle \omega _{0}=0}$ , to wahadło będzie w pozycji nieruchomej; w przeciwnym razie będzie wykonywać ruch jednostajny po okręgu.

Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez więzy do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór^[22]

${\displaystyle F_{r}=-{\frac {mv}{\ell }}^{2},}$ 

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta ${\displaystyle \theta }$  można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje^[22]

${\displaystyle v^{2}=2g\ell (\cos \theta -\cos \theta _{0}),}$ 

gdzie ${\displaystyle \theta _{0}}$  – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór^[22]

${\displaystyle T(\theta )=F_{r}-mg\cos \theta =-mg(3\cos \theta -2\cos \theta _{0}).}$ 

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.

W ramach mechaniki Lagrange'a wyprowadza się równanie ruchu wahadła matematycznego (pomijamy to tutaj). Jednak metoda Lagrange'a, która zrodziła się w rozwiazywaniu problemów klasycznej fizyki, znajduje znacznie poważniejsze zastosowania we współczesnej teorii pola (w fizyce cząstek elementarnych), gdzie równania ruchu cząstek wyprowadza się poprzez konstrukcję odpowiedniego Lagranżjanu.

Okresy drgań ${\displaystyle T(\theta _{0})}$  wahadła matematycznego w zależności od amplitudy ${\displaystyle \theta _{0},}$  dzielone przez okres małych drgań ${\displaystyle T_{0}}$ 

${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$	${\displaystyle \theta _{0}}$	${\displaystyle T/T_{0}}$
2°	1.0001	22°	1.0093	42°	1.0347	62°	1.0785	82°	1.1454	102°	1.2439	122°	1.3905	142°	1.6238	162°	2.0724
4°	1.0003	24°	1.0111	44°	1.0382	64°	1.0841	84°	1.1537	104°	1.2560	124°	1.4090	144°	1.6551	164°	2.1453
6°	1.0007	26°	1.0130	46°	1.0418	66°	1.0898	86°	1.1622	106°	1.2686	126°	1.4283	146°	1.6884	166°	2.2284
8°	1.0012	28°	1.0151	48°	1.0457	68°	1.0959	88°	1.1711	108°	1.2817	128°	1.4485	148°	1.7240	168°	2.3248
10°	1.0019	30°	1.0174	50°	1.0498	70°	1.1021	90°	1.1803	110°	1.2953	130°	1.4698	150°	1.7622	170°	2.4394
12°	1.0027	32°	1.0199	52°	1.0540	72°	1.1087	92°	1.1899	112°	1.3096	132°	1.4922	152°	1.8033	172°	2.5801
14°	1.0037	34°	1.0225	54°	1.0585	74°	1.1155	94°	1.1999	114°	1.3244	134°	1.5157	154°	1.8478	174°	2.7621
16°	1.0049	36°	1.0252	56°	1.0632	76°	1.1225	96°	1.2103	116°	1.3399	136°	1.5405	156°	1.8962	176°	3.0193
18°	1.0062	38°	1.0282	58°	1.0681	78°	1.1299	98°	1.2210	118°	1.3560	138°	1.5667	158°	1.9492	178°	3.4600
20°	1.0077	40°	1.0313	60°	1.0732	80°	1.1375	100°	1.2322	120°	1.3729	140°	1.5944	160°	2.0075	180°	${\displaystyle \infty }$

Okresy drgań wahadła matematycznego nietłumionego w zależność od amplitudy, zamieszczone w tabeli, obliczono korzystając ze wzoru^[8]:

${\displaystyle T(\theta _{0})=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,\cdot K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right).}$ 

Dla ${\displaystyle \theta _{0}=0}$  mamy ${\displaystyle T_{0}\equiv T(0)=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,K(0).}$  Dzieląc stronami oba wzory otrzyma się formułę, z której łatwo wyznaczyć szukane wielkości:

${\displaystyle T(\theta _{0})/T_{0}=K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)/K(0)}$ 

Wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju ${\displaystyle K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),K(0)}$  są stabelaryzowane (patrz tu – należy odszukać kąt ${\displaystyle \alpha =\theta _{0}/2}$  i odczytać wartość całki ${\displaystyle K}$ ).

Na podstawie tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o zadanej długości ${\displaystyle \ell }$  mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$ 

Tabela może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch^[23].

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa na nie siła wymuszająca ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony)^[24]. Rozwiązanie tych równań w ogólnym przypadku jest niezwykle złożone. Z pomocą przychodzą metody numeryczne, niżej omówione.

 

Równanie ogólne drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu. Jest to ponadto równanie nieliniowe – nie da się go rozwiązać analitycznie. Można jednak rozwiązać je efektywnie metodami numerycznymi, np. stosując metody Rungego-Kutty. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną ${\displaystyle \omega =\theta (t)'}$  (która de facto ma sens prędkości kątowej wahadła) równanie to sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d\theta (t)}{dt}}=\omega (t),\\{\frac {d\omega (t)}{dt}}=-{\frac {g}{\ell }}\cdot \sin \theta ,\end{cases}}}$ 

a następnie układ tych równań rozwiązuje się iteracyjnie, znajdując np. zależność kata odchylenia wahadła ${\displaystyle \theta (t_{n})}$  w zależności od dyskretnych chwil czasu ${\displaystyle t_{n}}$  czy też okres drgań ${\displaystyle T(\theta _{0}).}$  (Przykład kodu programu w C++ podano tutaj)

Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z tłumieniem i z siłą wymuszającą ma postać

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {d\theta (t)}{dt}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)=F(t)}$ 

gdzie:

${\displaystyle \beta }$  – współczynnik tłumienia,

${\displaystyle F(t)}$  – siła wymuszająca, zależna dowolnie od czasu.

Wprowadzając nową zmienną ${\displaystyle \omega =\theta (t)'}$  powyższe równanie sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d\theta (t)}{dt}}=\omega (t)\\{\frac {d\omega (t)}{dt}}=-2\beta \omega (t)-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)+F(t)\end{cases}}}$ 

Układ ten rozwiązuje się iteracyjnie, np. metodą Rungego-Kutty, co prowadzi do znalezienia dyskretnych wartości ${\displaystyle \theta (t_{n}),\omega (t_{n})}$  w zależności od dyskretnych chwil czasu ${\displaystyle t_{n}}$  w zadanym przedziale całkowania równań. (Przykład kodu programu w języku python, wraz z generowaniem wykresów drgań, podano tutaj).

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym, która wykonuje drgania polegające na obrotach wokół tej osi raz w jedną, raz w drugą stronę. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły^[1]:

${\displaystyle M=mgd\sin \theta .}$ 

Stąd, korzystając z II zasady dynamiki ruchu obrotowego, otrzymuje się równanie ruchu wahadła fizycznego

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {mgd}{I}}\sin \theta (t)=0.}$ 

gdzie:

• ${\displaystyle d}$  – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości bryły,
• ${\displaystyle g}$  – przyspieszenie ziemskie,
• ${\displaystyle I}$  – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,
• ${\displaystyle m}$  – masa wahadła.

Podstawiając do powyższego równania tzw. długość zredukowaną

${\displaystyle \ell _{f}={\frac {I}{md}}}$ 

równanie ruchu wahadła fizycznego przyjmie identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań wahadła fizycznego dany jest wzorem^[1]:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell _{f}}{g}}}}$ 

czyli wzorem, jakie miałoby wahadło matematyczne o długości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego.

Ze względu na powyższą równoważność:

Opis ruchu wahadła matematycznego jest wystarczający do określenia ruchu wszystkich typów wahadeł fizycznych.

Z drugiej strony wahadło matematyczne, które jest masą punktową zawieszoną na nieważkiej nici, może być traktowane jako szczególna bryła sztywna, ma bowiem ściele określony moment bezwładności i odległość od środka obrotu do środka masy, danych oczywistymi wzorami:^[1]

${\displaystyle I=m\ell ^{2},}$ 

${\displaystyle d=\ell .}$