Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Wikipedia

Wahadło: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycja
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
EmptyBot (dyskusja | edycje)
Boty
699 381 edycji
dr. tech.
 
(Nie pokazano 5 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 276:
'''<u>Uwaga 4</u>: Precyzja obliczeń numerycznych'''
 
Na zamieszczonych tu wykresach podano,<math>\theta(t) iż</math> dla amplitudy <math>\theta_0 = 179.999^\circ </math> obliczenia numeryczne sugerują, iż wahadło wykazuje ruch pełzający. Jest to efektem zaokrągleń numerycznych (por. np. [[epsilon maszynowy]]) , gdyżpomimo de facto podane tuże rozwiązania analityczne pokazująwskazują, że wahadło wykonuje wtedy drgania oscylacyjne (jest tak dla amplitud dowolnie mniejszych od 180°). ProblemOtrzymany zwiększeniawynik precyzjinumeryczny obliczeńjest efektem zaokrągleń numerycznych (por. np. [[epsilon maszynowy]]). Zwiększenie precyzji obliczeń może być rozważanyosiągnięte wza ramachpomocą algebryoprogramowania komputerowejwspółczesnej [[Duże liczby całkowite|arytmetyki dowolnej precyzji]], która pozwala prowadzić obliczenia z dokładnością nawet do wielu tysięcy cyfr znaczących, a jedyne ograniczenie stanowi dostępna pomięć komputera.
 
=== Generowanie wykresów drgań z użyciem funkcji sinus amplitudy Jacobiego ===
Linia 408:
'''<u>Uwagi:</u>'''
 
('''1''') Wartość całki eliptycznej we wzorze na okres ruchu oblicza się tu dla modułu eliptycznego który jest odwrotnością parametru <math>k</math>, inaczej niż w przypadku ruchu oscylacyjnego. Musi tak być z tego m. in. względu, że całka eliptyczna <math>K(k')</math> ma wartości rzeczywiste tylko gdy <math>|k'|<0</math>, tu zaś <math>k > 1</math>.
 
('''2''') Starsze wydanie W. Rubinowicz, W. Królikowski, ''Mechanika'' ''teoretyczna'', omyłkowo podaje <math> T = \tfrac{4}{\Omega_0} K\left(k\right) </math>{{odn|Królikowski|Rubinowicz|1967|s=99}} . Z tego wzoru otrzymuje się liczbę zespoloną.
Linia 559:
| 18° || 1.0062 || 38° || 1.0282 || 58° || 1.0681 || 78° || 1.1299 || 98° || 1.2210 || 118° || 1.3560 || 138° || 1.5667 || 158° || 1.9492 || 178° || 3.4600
|-
| '''20°''' || 1.0077 || '''40°''' || 1.0313 || '''60°''' || 1.0732 || '''80°''' || 1.1375 || '''100°''' || 1.2322 || '''120°''' || 1.3729 || 140° || 1.5944 || '''160°''' || 2.0075 || '''180°''' || <math>\infty</math>.
|}
 
OkresyW powyższej tabeli zamieszczono wartości względne <math>T(\theta_0)/T_0</math> okresów drgań wahadła matematycznego nietłumionego w zależność od amplitudy, zamieszczone wdrgań tabeli<math>\theta_0</math>, obliczonogdzie korzystając<math>T_0</math> ze- wzoru{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}okres małych drgań:
 
: <math>T(\theta_0)/T_0
= 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)./K(0)</math>
 
przy czym <math> K(0) =\tfrac{\pi}{2}</math>. Powyższy wzór wynika z zależności{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}
Dla <math>\theta_0= 0</math> mamy <math>T_0\equiv T(0) = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,K(0).</math> Dzieląc stronami oba wzory otrzyma się formułę, z której łatwo wyznaczyć szukane wielkości:
 
: <math>T(\theta_0)/T_0 = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)/K(0)</math>
 
skąd w szczególności dla <math>\theta_0= 0</math> mamy <math>T_0\equiv T(0) = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,K(0). </math>
Wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju <math>K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right), K(0)</math> są stabelaryzowane ([[Całki eliptyczne|patrz tu]] – należy odszukać kąt <math>\alpha =\theta_0/2</math> i odczytać wartość całki <math>K</math>).▼
 
▲WartościPotrzebne w obliczeniach tabeli wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju <math>K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right), K(0)</math> są stabelaryzowane ([[Całki eliptyczne|patrz tu]] – należy odszukać kąt <math>\alpha =\theta_0/2</math> i odczytać wartość całki <math>K</math>).
Na podstawie tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o zadanej długości <math>\ell</math> mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez
 
Na podstawie pokazanej tu tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o amplitudzie <math>\theta_0</math> i długości <math>\ell</math> mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez <math>T_0 = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,K(0)=2\pi \sqrt\tfrac{\ell}{g}</math> (gdyż <math> K(0) =\tfrac{\pi}{2}</math>). Tabela ta może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.
: <math>T_0 = 2\pi \sqrt\frac{\ell}{g}.</math>
 
Tabela może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.
 
== Drgania tłumione i wymuszone wahadła matematycznego ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Wahadło”