Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Wikipedia

Wahadło: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycja
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
→Równania krzywych parametrycznych: Wyprowadzenie warunków na mody ruchu wahadła w zależności od parametru k
 
(Nie pokazano 22 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 173:
Gdy w powyższych wzorach pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz [[#Przybliżenie małej amplitudy|wyżej]]). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego<ref>{{Cytuj stronę|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendl.html#c1|tytuł=Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy|autor=|opublikowany=|język=en|data dostępu=}}</ref>.
 
{{ show
| Wyprowadzenie wzoru na <u>okres drgań</u> wahadła dla dowolnych kątów z zasady zachowania energii
|
Linia 218:
co prowadzi do wzoru na okres drgań wyrażony przez szereg, podany wyżej.
}}
{{ show
|Wyprowadzenie <u>równania ruchu</u> wahadła z zasady zachowania energii mechanicznej
|
Linia 237:
}}
== Dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnych amplitud - ruch oscylacyjny ==
[[Plik:Pobrane_(1)_(15).png|mały|250x250px|Rozwiązania analityczne nieliniowego równania ruchu wahadła dla różnych amplitud kątowych za pomocą '''funkcji sinus amplitudy Jacobiego''' dla wahadła "sekundowego", tj. o długości 0.25 m i okresie małych drgań T= 1 s. Dla amplitudy 10° okres drgań niewiele odbiega od okresu dla małych drgań, a wykres jest sinusoidą. Dla amplitudy 133° okres T=1.5 s, czyli jest 50% dłuższy. Dla amplitudy 160° okres T=3 s, czyli jest 100% dłuższy. Dla 179.999° obliczenia numeryczne sugerują, iż wahadło wykazuje <u>ruch pełzający</u> -(jest okresto drgańefektem zmierzazaokrągleń donumerycznych, nieskończonościde facto drgania są oscylacyjne dla amplitud < 180°). Warunki początkowe ('''a'''). ]]Omówiony zostanie tu przypadek ruchu oscylacyjnego wahadła, tj. dla amplitud drgań <math>\theta_0<180^\circ </math>. (Przypadek ruchu o amplitudzie <math>\theta_0= 180^\circ </math>, tzw. ruch asymptotyczny, omówiono dalej.) Jawną zależności kąta wychylenia wahadła od czasu <math>\theta(t) </math> dla dowolnie dużych amplitud w ruchu oscylacyjnym uzyskuje się obliczając funkcję odwrotną do funkcji <math>t(\theta) </math> podaną w poprzednim rozdziale, przy czym wykorzystuje się funkcję [[Funkcje amplitudy|sinus amplitudy Jacobiego]]<ref name=":0">G. Białkowski, s. 244</ref>.
 
('''a''') Jeżeli zada się warunki początkowe <math> \theta(0)=0 </math>, <math> \Omega_0 = \tfrac{d \theta(t)}{dt}\big|_{t=0} \neq 0 </math> (tj. w chwili <math>t=0 </math> wahadło w pionie oraz posiada zadaną prędkość kątową), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję <u>sinus amplitudy Jacobiego</u> <math>\operatorname{sn}</math>{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=96}}<ref name=":0" />:
Linia 244:
</math>,'''
 
gdzie :
* <math>\omega_0 = \sqrt\tfrac{g}{l}</math>
* <math>k=\tfrac{\Omega_0}{2 \omega_0} <1</math>▼
 
▲<math>k=\tfrac{\Omega_0}{2 \omega_0} <1</math>
 
('''b''') Jeżeli zada się warunki początkowe <math> \theta(0)= \theta_0 </math>, <math> \Omega_0 = \tfrac{d \theta(t)}{dt}\big|_{t=0} = 0 </math> (tj. w chwili <math>t=0 </math> wahadło odchylone od pionu o maksymalny kąt <math> \theta_0 </math>), to rozwiązanie ogólne wyraża się przez funkcję <u>sinus amplitudy Jacobiego, ale trzeba dokonać przesunięcia wykresu "w tył" na osi czasu</u> {{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=96}}
Linia 266:
Ruch oscylacyjny zachodzi dla amplitud drgań <math>\theta_0<180^\circ </math>. Z zależności <math>k=\sin\tfrac{\theta_0}{2}</math> wynika, że dla ruchu oscylacyjnego <math>k<1</math>.
 
<u>'''Uwaga 2:'''</u>:
 
Zachodzi równość <math>k=\sin\tfrac{\theta_0}{2}=\tfrac{\Omega_0}{2\omega_0} </math>, jeżeli dla amplitudy drgań <math>\theta_0</math> prędkość kątowa wahadła wynosi <math>\Omega_0</math>, gdy przechodzi przez położenie równowagi. (Związek ten łatwo wyprowadzić z zasady zachowania energii.) Ma to znaczenie praktyczne: łatwiej zadać amplitudę drgań wahadła, niż jego prędkość kątową, a i tak ruch będzie poprawnie odtworzony przy założeniu warunków początkowych ('''a''').
Linia 273:
 
Warunki <math>\theta_0<180^\circ </math> oraz <math>\Omega_0<2\omega_0</math> określają, kiedy zachodzi ruch oscylacyjny dla przypadków ('''a''') i ('''b''') warunków początkowych. W ogólnosci warunki początkowe można zadać poprzez określenie dowolnego położenia kątowego <math>\theta(0) </math> i dowolnej prędkości kątowej <math>\Omega(0)</math> wahadła w chwili <math>t=0</math>. To, jaki rodzaj ruchu będzie wykonywać wahadło dla tych ogólnych warunków początkowych, można określić rozważając energię mechaniczną wahadła, co zostało omówione [[Wahadło#Całkowita energia mechaniczna a mody ruchu wahadła. Krzywe fazowe|dalej]].
 
'''<u>Uwaga 4</u>: Precyzja obliczeń numerycznych'''
 
Na zamieszczonych tu wykresach <math>\theta(t) </math> dla amplitudy <math>\theta_0 = 179.999^\circ </math> obliczenia numeryczne sugerują, iż wahadło wykazuje ruch pełzający, pomimo że rozwiązania analityczne wskazują, że wahadło wykonuje wtedy drgania oscylacyjne (jest tak dla amplitud dowolnie mniejszych od 180°). Otrzymany wynik numeryczny jest efektem zaokrągleń numerycznych (por. np. [[epsilon maszynowy]]). Zwiększenie precyzji obliczeń może być osiągnięte za pomocą oprogramowania współczesnej [[Duże liczby całkowite|arytmetyki dowolnej precyzji]], która pozwala prowadzić obliczenia z dokładnością do wielu tysięcy cyfr znaczących, a jedyne ograniczenie stanowi dostępna pomięć komputera.
 
=== Generowanie wykresów drgań z użyciem funkcji sinus amplitudy Jacobiego ===
Linia 312 ⟶ 316:
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=18)
plt.show()</syntaxhighlight>
 
== Analiza Fourierowska drgań wahadła ==
 
Linia 403 ⟶ 408:
'''<u>Uwagi:</u>'''
 
('''1''') Wartość całki eliptycznej we wzorze na okres ruchu oblicza się tu z odwrotnościdla modułu eliptycznego który jest odwrotnością parametru <math>k</math>, inaczej niż w przypadku ruchu oscylacyjnego. Musi tak być z tego m. in. względu, że całka eliptyczna <math>K(k')</math> ma wartości rzeczywiste tylko gdy <math>|k'|<0</math>, tu zaś <math>k > 1</math>.
 
('''2''') Starsze wydanie W. Rubinowicz, W. Królikowski, ''Mechanika'' ''teoretyczna'', omyłkowo podaje <math> T = \tfrac{4}{\Omega_0} K\left(k\right) </math>{{odn|Królikowski|Rubinowicz|1967|s=99}} . Z tego wzoru otrzymuje się liczbę zespoloną.
Linia 409 ⟶ 414:
== Całkowita energia mechaniczna a mody ruchu wahadła. Krzywe fazowe ==
[[Plik:Puit_potentiel_pendule.svg|link=https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Puit_potentiel_pendule.svg|mały|250x250px|Studnia energii potencjalnej wahadła.]]
[[Plik:Pendulum phase portrait.svg|thumb|('''a''') Wykres energii potencjalnej wahadła prostego podzielonej przez maksymalną energię <math> E_{p \,\text{max} }=2mgl </math> w zależności od kąta wychylenia (u góry) ('''b''') krzywe fazowe, tj. krzywe zależności współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).|253x253px]] Krzywe <u>zamknięte</u> dla <math>\theta<-\pi</math> oraz <math>\theta>\pi</math> nie mają sensu fizycznego.
 
Trajektorie otwarte przechodzące ponad i poniżej separatriksa odpowiadają odpowiednio obrotom w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
 
|253x253px]]
Jeżeli brak jest oporów ruchu (co tutaj zakładamy), to '''całkowita energia mechaniczna''' wahadła <math>E_{calkowita}</math> nie zmienia się; można ją przyjąć jako najogólniejszy parametr w analizie ruchu wahadła zamiast innych warunków początkowych{{odn|Landau|Lifszyc|2011|s=41–46}}. Od wielkości całkowitej energii mechanicznej zależy bowiem, jaki rodzaj ruchu ('''mod''') będzie wykonywać wahadło: ruch oscylacyjny, asymptotyczny czy rotacyjny.
 
Linia 420 ⟶ 429:
'''Wykresy fazowe''' pozwalają odróżnić poszczególne przypadki ruchu{{odn|Kittel|Knight|Ruderman|1993|s=256–257}}:
 
1) <math>E_{calkowita} <E_{\pi }</math> - wtedy wahadło wykonuje '''<u>ruch oscylacyjny</u>''' pomiędzy <u><math>-\theta_0</math></u> a <math>\theta_0</math>. Krzywe fazowe są <u>krzywymi zamkniętymi</u>; kształt krzywejkrzywych fazowejfazowych jest niezależny od warunków początkowych, zależy jedynie od energii całkowitej - im większa jest ta energia, tym dalej odsunięta jest krzywa od punktu <math>(0, 0)</math>.
 
2) <math>E_{calkowita}=E_{\pi }</math> - wtedy wahadło wykonuje <u>'''ruch asymptotyczny'''</u> i osiąga stan równowagi nietrwałej w punkcie <math>(-\pi, 0)</math>, gdy poruszało się w przeciwnie do założonego dodatniego kierunku obrotu lub w punkcie lub <math>(\pi, 0)</math>, gdy poruszało się zgodnie z nim; zależnie od tego mamy dwie otwarte krzywe fazowe; krzywe te <u>stykają się ze sobą</u> w punktach <math>(-\pi, 0)</math> oraz <math>(\pi, 0)</math>.
 
32) <math>E_{calkowita}>=E_{\pi }</math> - wtedy wahadło wykonuje <u>'''ruch obrotowyasymptotyczny'''</u> i osiąga stan równowagi nietrwałej w punkcie <math>(-\pi, co0)</math>, oznaczagdy żeporuszało kątsię obrotuprzeciwnie stałedo zwiększazałożonego swojądodatniego wartość.kierunku Krzyweobrotu fazowelub sąw punkcie lub <umath>krzywymi(\pi, otwartymi0)</umath>;, kształtgdy krzywejporuszało fazowejsię jestzgodnie niezależnyz odnim; warunkówzależnie początkowych,od zależytego jedyniemamy oddwie energiiotwarte całkowitejkrzywe -fazowe; imkrzywe większate jest<u>stykają tasię energia,ze tymsobą</u> dalejw odsuniętapunktach jest<math>(-\pi, krzywa0)</math> od punktuoraz <math>(0\pi, 0)</math>.
 
3) <math>E_{calkowita}>E_{\pi}</math> - wtedy wahadło wykonuje <u>'''ruch obrotowy'''</u>, co oznacza że kąt obrotu stałe zwiększa swoją wartość. Krzywe fazowe są <u>krzywymi otwartymi</u>; kształt krzywych fazowych jest niezależny od warunków początkowych, zależy jedynie od energii całkowitej - im większa jest ta energia, tym dalej odsunięta jest krzywa od punktu <math>(0, 0)</math>.
=== Równania krzywych parametrycznych ===▼
Jak powiedziano wyżej, kształt krzywych fazowych nie zależy od założonych warunków początkowych, a jedynie od energii całkowitej wahadła. Warunki początkowe mają jedynie wpływ na postać równań, opisujących krzywe.
 
▲=== Uniwersalny parametr ''k''. Równania krzywych parametrycznych ===
Jak powiedziano wyżej, kształt krzywych fazowych nie zależy od założonych warunków początkowych, a jedynie od energii całkowitej wahadła. Warunki początkowe mają jedynie wpływ na postać równań, opisujących krzywe. Poniżej zestawiono równania parametryczne krzywych fazowych przy założeniu, iż w chwili początkowej <math>t=0</math> wahadło przechodziło z pewną prędkością kątową <math>\Omega_0</math> przez położenie równowagi. W równaniach użyto parametru <math>k= \tfrac{\Omega_0}{2\omega_0}</math>, gdzie <math> \omega_0= \sqrt{\tfrac{g}{l}} </math>. Parametr ten powalajest wygodniebezwymiarowy, co powala opisać mody ruchu wahadła w sposób uniwersalny (niezależnie od rozmiaru wahadła):
 
a) ruch oscylacyjny: <math>E_{calkowita} <E_{\pi } \Leftrightarrow</math> <math>k<1</math>
Linia 448 ⟶ 455:
 
1) '''Ruch oscylacyjny <math>k<1</math>'''
[[File:PhaseCurvesPendulum.png|thumb|Krzywe fazowe wahadła "sekundowego" - ruch oscylacyjny i asymptotyczny, wykreślony dla czasu '''<math>t\in<0, 1></math>''', zaczynającego się od dolnego położenia pionowego z różnymi prędkościami kątowymi. Widać, że im większa amplituda drgań, tym mniejszy fragment krzywej fazowej zakreśla wahadło w ciągu czasu t= 1 sekunda. Wykres dla k=1 przedstawia ruch asymptotyczny - większość trajektorii została zakreślona w czasie 1 sekundy, pomimo to ruch trwa nieskończenie długo.|250x250px]]
 
Równania parametryczne krzywych fazowych:
Linia 455 ⟶ 463:
\omega(t)=2k \omega_0 \operatorname{cn}(k;\omega_0 t)
\end{cases}</math>
 
gdzie: '''<math>\mathrm{arcsin }()</math>''' - [[Funkcje cyklometryczne|arcus sinus]], '''<math>\mathrm{sn}(),\mathrm{cn}()</math>''' - funkcje eliptyczne <u>sinus</u> i <u>cosinus</u> Jacobiego
 
2) '''Ruch asymptotyczny <math>k=1</math>'''
Linia 463 ⟶ 473:
\omega(t)=2\omega_0/\cosh(\omega_0t)
\end{cases}</math>
gdzie: '''<math>\mathrm{arctan }()</math>''' - [[Funkcje cyklometryczne|arcus tangens]], '''<math>\mathrm{cosh}()</math>''' - [[Funkcje hiperboliczne|cosinus hiperboliczny]]
 
3) '''Ruch rotacyjny <math>k >1</math>'''
 
Linia 470 ⟶ 482:
\omega(t)=2k \omega_0 \,\mathrm{dn}\big(\tfrac{1}{k}; k\omega_0 t\big)
\end{cases} </math>
gdzie: '''<math>\mathrm{am}()</math>''' - funkcja eliptyczna amplitudy Jacobiego, '''<math>\mathrm{dn}()</math>''' - funkcja eliptyczna <u>delta</u> Jacobiego
 
 
=== Symulacje ruchu wahadła i odpowiadające im krzywe fazowe ===
Linia 545 ⟶ 559:
| 18° || 1.0062 || 38° || 1.0282 || 58° || 1.0681 || 78° || 1.1299 || 98° || 1.2210 || 118° || 1.3560 || 138° || 1.5667 || 158° || 1.9492 || 178° || 3.4600
|-
| '''20°''' || 1.0077 || '''40°''' || 1.0313 || '''60°''' || 1.0732 || '''80°''' || 1.1375 || '''100°''' || 1.2322 || '''120°''' || 1.3729 || 140° || 1.5944 || '''160°''' || 2.0075 || '''180°''' || <math>\infty</math>.
|}
 
OkresyW powyższej tabeli zamieszczono wartości względne <math>T(\theta_0)/T_0</math> okresów drgań wahadła matematycznego nietłumionego w zależność od amplitudy, zamieszczone wdrgań tabeli<math>\theta_0</math>, obliczonogdzie korzystając<math>T_0</math> ze- wzoru{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}okres małych drgań:
 
: <math>T(\theta_0)/T_0
= 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)./K(0)</math>
 
przy czym <math> K(0) =\tfrac{\pi}{2}</math>. Powyższy wzór wynika z zależności{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}
Dla <math>\theta_0= 0</math> mamy <math>T_0\equiv T(0) = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,K(0).</math> Dzieląc stronami oba wzory otrzyma się formułę, z której łatwo wyznaczyć szukane wielkości:
 
: <math>T(\theta_0)/T_0 = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right)/K(0)</math>
 
skąd w szczególności dla <math>\theta_0= 0</math> mamy <math>T_0\equiv T(0) = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,K(0). </math>
Wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju <math>K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right), K(0)</math> są stabelaryzowane ([[Całki eliptyczne|patrz tu]] – należy odszukać kąt <math>\alpha =\theta_0/2</math> i odczytać wartość całki <math>K</math>).▼
 
▲WartościPotrzebne w obliczeniach tabeli wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju <math>K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right), K(0)</math> są stabelaryzowane ([[Całki eliptyczne|patrz tu]] – należy odszukać kąt <math>\alpha =\theta_0/2</math> i odczytać wartość całki <math>K</math>).
Na podstawie tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o zadanej długości <math>\ell</math> mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez
 
Na podstawie pokazanej tu tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o amplitudzie <math>\theta_0</math> i długości <math>\ell</math> mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez <math>T_0 = 4\sqrt\tfrac{\ell}{g}\,K(0)=2\pi \sqrt\tfrac{\ell}{g}</math> (gdyż <math> K(0) =\tfrac{\pi}{2}</math>). Tabela ta może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.
: <math>T_0 = 2\pi \sqrt\frac{\ell}{g}.</math>
 
Tabela może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.
 
== Drgania tłumione i wymuszone wahadła matematycznego ==
Linia 571 ⟶ 584:
== Całkowanie numeryczne równań ruchu wahadła matematycznego ==
=== Wahadło nietłumione ===
[[Plik:Pend-ampl.png|mały|Zależności kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, mających różne amplitudy kątowe drgań: 0,25π =45° (szary) oraz 0,99π =178° (czarny), wyprowadzone z ogólnego równania ruchu wahadła|250x250px]]
Równanie ogólne drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest [[Równanie różniczkowe zwyczajne|równaniem różniczkowym zwyczajnym]] drugiego rzędu. JestPokazane towyżej ponadtometody równanieanalityczne nieliniowerozwiązania –tego nierównania daodwołują się godo rozwiązaćfunkcji eliptycznych Jacobiego, które są [[Funkcje elementarne|funkcjami analitycznienieelementarnymi.]] Można

Równanie jednakto rozwiązaćmożna jetakże rozwiązać efektywnie [[Metoda numeryczna|metodami numerycznymi]], np. stosując [[Algorytm Rungego-Kutty|metody Rungego-Kutty]]. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną <math>\omega=\theta(t)'</math> (która de facto ma sens [[Prędkość kątowa|prędkości kątowej]] wahadła) równanie to sprowadza się do [[Układ równań|układu]] dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu
 
: <math>\begin{cases} \frac{d\theta(t)}{dt} = \omega(t), \\
Linia 581 ⟶ 596:
 
=== Wahadło tłumione, z siłą wymuszającą ===
[[Plik:DampedPendulum.png|mały|250x250px|Zależności kąta wychylenia od czasu dla wahadła o amplitudzie drgań swobodnych 179° dla różnych współczynników tłumienia <math>\beta = c/2
</math> (obliczenia uzyskane metodą Rungego-Kutty).]]
Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z [[tłumienie]]m i z siłą wymuszającą ma postać
 
Linia 650 ⟶ 667:
* [[wahadło podwójne]] – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
 
* [[wahadło elastyczne]] (z rozciągliwą nicią,)
* [[tautochrona (fizyka)|tautochrona]] (wahadło cykloidalne) – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań<ref name="81v_cycloid">{{Cytuj stronę |url = http://www.antique-horology.org/piggott/rh/images/81v_cycloid.pdf |tytuł = Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid |autor = Alan Emmerson |data dostępu = 2015-04-25}}</ref><ref>{{MathWorld|adres=TautochroneProblem |tytuł=Tautochrone Problem |data dostępu=2015-04-25}}</ref> (niżej omówione),[[Plik:Isochronous_cycloidal_pendula.gif|mały|Pięć izochronicznych (o tym samym okresie) cykloidalnych wahadeł o różnych amplitudach.]]
* wahadło Foucaulta (niżej omówione)
Linia 685 ⟶ 702:
* [[oscylator Duffinga]] - silnie nieliniowy
* [[oscylator harmoniczny]]
* [[oscylator van der Pola]]
* [[kwantowy oscylator harmoniczny|oscylator harmoniczny kwantowy]]
* [[drgania nieliniowe]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Wahadło”