Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Wikipedia

Liczba: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
kod
Linia 4:
{{wikisłownik|liczba}}
 
'''Liczba''' – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w [[Matematyka|matematyce]]. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Liczba | id = 3932346 | data dostępu = 2021-07-23 }}</ref> ([[liczby naturalne]]), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.
 
W matematyce określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą [[aksjomaty i konstrukcje liczb|aksjomatów]] lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, jak [[zbiór]], czy typy liczb prostsze od konstruowanego.
 
== Zastosowania ==
Najprostsze rodzaje liczb, jak [[liczby naturalne]] czy [[liczby rzeczywiste|rzeczywiste]], są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej [[jednostka miary|jednostki miary]] (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako [[Znak (semiotyka)|identyfikatory]], np. [[numer telefonu|numery telefonów]], dróg, [[PESEL]], [[InternationalMiędzynarodowy Standardznormalizowany Booknumer Numberksiążki|ISBN]].
 
W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone z poznawanych w szkole podstawowej liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych na takie abstrakcje, jak [[liczby zespolone]], [[liczby p-adyczne|p-adyczne]], [[kwaterniony]], czy [[sedeniony]]. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od [[grafika komputerowa|grafiki komputerowej]]<ref group="uwaga">Np. [[fraktal]]e.</ref>, przez [[elektronika|elektronikę]]<ref group="uwaga">Zob. [[zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych]], ponadto stosowane są one również w [[Przetwarzanie sygnałów|teorii sygnałów]].</ref>, [[mechanika płynów|teorię płynów]], aż do [[Mechanika kwantowa|fizyki kwantowej]]<ref group="uwaga">Np. [[funkcja falowa]].</ref> i [[teoria względności|teorii względności]]. Kwaterniony znalazły zastosowanie w [[Grafika 3D|grafice trójwymiarowej]] do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. [[współrzędne jednorodne]]). [[Liczby p-adyczne]] znalazły zastosowanie w [[Kryptologia|kryptografii]].
Linia 20:
Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:
* Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to <math>0,1,2,3,4,\dots</math>). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności [[zbiór pusty|zbioru pustego]].
* Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie<ref>{{cytuj stronę |url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html |tytuł = A history of Zero |archiwum = https://web.archive.org/web/20170828121346/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html |data dostępuzarchiwizowano = 20082017-0408-1928 |zarchiwizowanodata dostępu = 20172008-0804-2819}}</ref>, być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.
 
Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.
Linia 26:
=== Liczby całkowite ===
{{Osobny artykuł|liczby całkowite}}
[[Znak liczby|Liczby ujemne]] to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną -100–100. Liczby naturalne <math>1, 2, 3, \dots,</math> zero oraz [[Liczba przeciwna|liczby przeciwne]] do naturalnych <math>-1,-2,-3,\dots</math> znane są właśnie jako liczby całkowite.
 
=== Liczby wymierne ===
Linia 68:
[[Element nilpotentny|Nilpotent]] <math>\epsilon</math> to taki element, że <math>\epsilon^2=0.</math>
 
Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta. Mają one postać <math>z=a+b\epsilon,</math> gdzie ''<math>a''</math> i ''<math>b''</math> to liczby rzeczywiste.
 
=== Liczby podwójne ===
Linia 74:
Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostki <math>\jmath</math> niebędącej liczbą rzeczywistą. Różni się ona od jednostki urojonej <math>i</math> w tym, że <math>\jmath^2 = +1.</math>
 
Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostki <math>\jmath.</math> Mają one postać <math>z = a + b\jmath,</math> gdzie ''<math>a''</math> i ''<math>b''</math> to liczby rzeczywiste.
 
Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dla <math>b=0.</math> Liczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów).
Linia 81:
W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych.
 
: {| class="wikitable" style="text-align: center; padding: 0pt0 5pt"
! Zbiór
! Oznaczenie „szkolne”
! Oznaczenie standardowe
! Uwagi
|-
|align=left| Liczby naturalne bez zera
| <math>\mathbf N_+</math>
| <math>\mathbb N,</math> czasem <math>\mathbb N_+</math>
|align=left| rzadziej używane oznaczenia: <math>\mathbb N_1, \mathbb N^+, \mathbb N_{>0}</math>
|-
|align=left| Liczby naturalne z zerem
| <math>\mathbf N_0,</math> czasem <math>\mathbf N</math>
| <math>\mathbb N_0,</math> czasem <math>\mathbb N</math>
|align=left| w [[teoria mnogości|teorii mnogości]] <math>\omega</math>
|-
|align=left| Liczby całkowite
| <math>\mathbf C</math>
| <math>\mathbb Z</math>
|align=left| od [[język niemiecki|niem.]] ''Zahlen'' – liczby
|-
|align=left| Liczby wymierne
| <math>\mathbf W</math>
| <math>\mathbb Q</math>
|align=left| od [[język niemiecki|niem.]] ''Quotient'' – iloraz<ref>{{MathWorld|adres=RationalNumber |tytuł=Rational Number |data dostępu=12 kwietnia 2007}}</ref>
|-
|align=left| Liczby niewymierne
| czasem <math>\mathbf N\mathbf W</math>
| <math>\mathbb R \setminus \mathbb Q</math>
|
|-
|align=left| Liczby rzeczywiste
| <math>\mathbf R</math>
| <math>\mathbb R</math>
|align=left| od ang. ''real numbers''
|-
|align=left| Liczby algebraiczne
|
| czasem <math>\mathbb A</math>
|
|-
|align=left| Liczby zespolone
| <math>\mathbf Z</math>
| <math>\mathbb C</math>
|align=left| od ang. ''complex numbers''
|-
|align=left| Kwaterniony
|
| <math>\mathbb H</math>
|align=left| od ang. ''Hamilton numbers'' – liczby Hamiltona
|-
|align=left| Oktoniony
|
| <math>\mathbb O</math>
|align=left| znane również jako oktawy Cayleya
|-
|align=left| Sedeniony
|
| <math>\mathbb S</math>
|
|-
|align=left| Liczby p-adyczne
|
| <math>\mathbb Q_p</math>
Linia 153:
Liczby na ogół definiowane są krok po kroku. Rozpoczyna się od liczb naturalnych, następnie rozszerza ich algebrę na liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone…
 
[[Algebra ogólna|Struktury algebraiczne]] liczb całkowitych i wymiernych rozszerzają kolejno strukturę liczb naturalnych tak, aby najprostsze [[działania arytmetyczne]] dawały się w nich wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z wyjątkiem [[dzielenie przez zero|dzielenia przez zero]]). Działania takie nazywa się [[Działanie algebraiczne|działaniami wewnętrznymi]] danego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jest ''zamknięty ze względu na'' dane ''działanie''. Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę algebraiczną o dalsze interesujące właściwości.
Działania takie nazywa się [[Działanie algebraiczne|działaniami wewnętrznymi]] danego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jest ''zamknięty ze względu na'' dane ''działanie''. Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę algebraiczną o dalsze interesujące właściwości.
 
* Dla '''liczb naturalnych''' (z zerem lub bez niego) działaniami wewnętrznymi są np. dodawanie i mnożenie. Dodanie lub pomnożenie przez siebie dwóch liczb naturalnych daje zawsze liczbę naturalną. Dla dodawania i mnożenia można skonstruować działania odwrotne – odejmowanie i dzielenie. Jednak odejmowanie większej liczby od mniejszej nie daje się wykonać w zbiorze liczb naturalnych, odejmowanie nie jest zatem działaniem wewnętrznym tego zbioru. Podobnie jest z dzieleniem.
Linia 165 ⟶ 164:
Odpowiednie własności działań w podstawowych zbiorach liczbowych zostały ujęte w tabeli (niżej legenda, oznaczenia wprowadzono wyłącznie na potrzeby artykułu):
 
: {| class="wikitable" style="text-align: center; padding: 0pt0 5pt"
! Zbiór liczbowy
! Dodawanie
! Odejmowanie
! Mnożenie
! Dzielenie
|-
|align=left| Liczby naturalne bez zera
| <math>_\mathbf{WPL--}</math>
| <math>_\mathbf{-----}</math>
Linia 178 ⟶ 177:
| <math>_\mathbf{---no}</math>
|-
|align=left| Liczby naturalne z zerem
| <math>_\mathbf{WPLN-}</math>
| <math>_\mathbf{---nO}</math>
Linia 184 ⟶ 183:
| <math>_\mathbf{---no}</math>
|-
|align=left| Liczby całkowite
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
Linia 190 ⟶ 189:
| <math>_\mathbf{---no}</math>
|-
|align=left| Liczby wymierne
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
Linia 196 ⟶ 195:
| <math>_\mathbf{w--no}</math>
|-
|align=left| Liczby rzeczywiste
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
Linia 202 ⟶ 201:
| <math>_\mathbf{w--no}</math>
|-
|align=left| Liczby zespolone
| <math>_\mathbf{WPLNO}</math>
| <math>_\mathbf{W--nO}</math>
Linia 209 ⟶ 208:
|}
 
: {| class="wikitable" style="padding: 0pt0 5pt"
|-
!Symbol
Linia 260 ⟶ 259:
* Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych bez zera z mnożeniem tworzą grupę przemienną.
* Zbiór liczb rzeczywistych tworzy [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] nad ciałem liczb wymiernych.
* Ciało liczb rzeczywistych (i każde jego podciało) jest ''[[ciało (formalnie) rzeczywiste|ciałem formalnie rzeczywistym]]'', tj. element przeciwny jedynki nie jest sumą kwadratów niezerowych elementów ciała: <math>\bigwedge_{x_1,\dots, x_n\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}x_1^2+\cdotsldots +x_n^2\neq -1.</math>
* Ciało <math>\mathbb R</math> liczb rzeczywistych i ciało <math>\mathbb A\cap \mathbb R</math> liczb rzeczywistych algebraicznych są ciałami ''[[Ciało (formalnie) rzeczywiste|rzeczywiście domkniętymi]]'':, tj. są ciałami formalnie rzeczywistymi, które nie posiadają rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem formalnie rzeczywistym.
* Zbiór liczb zespolonych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Linia 267 ⟶ 266:
== Ścisłe definicje liczb ==
{{główny artykuł|Aksjomaty i konstrukcje liczb}}
 
<!--Proszę nic nie dopisywać do tej sekcji i wszelkie zmiany wykonywać w artykule [[Aksjomaty i konstrukcje liczb]]-->
 
Linia 282 ⟶ 280:
{{Osobny artykuł|system liczbowy}}
System liczbowy to zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb. Generalnie systemy liczbowe można podzielić na '''pozycyjne''' i '''addytywne'''.
[[Plik:Maya.svg|thumb|250px|System zapisu liczb prekolumbijskich [[Majowie|Majów]] opierał się na systemie piątkowym dla liczb 0-190–19. Większe liczby zapisywano używając potęg dwudziestki i powyższych symboli jako cyfr systemu dwudziestkowego]]
 
=== Pozycyjne systemy liczbowe ===
Linia 296 ⟶ 294:
 
W pozycyjnych systemach liczbowych o podstawie <math>k</math> każda nieujemna liczba rzeczywista <math>x</math> może być rozwinięta przy pomocy szeregu:
: <math>x=c_nk^n+c_{n-1}k^{n-1}+\dotsldots+c_1k+c_0+c_{-1}k^{-1}+c_{-2}k^{-2}+\dotsldots</math>
 
gdzie <math>c_i</math> to cyfry będące liczbami naturalnymi z przedziału od 0 do <math>k-1.</math>
 
Skrótowo liczbę nieujemną zapisuje się jako <math>c_nc_{n-1}\dotsldots c_1c_0,c_{-1}c_{-2}\dots.ldots</math> W krajach anglosaskich zamiast przecinka zarezerwowanego do oddzielania tysięcy używana jest kropka. Dla liczb ujemnych zapisujemy ich [[Wartość bezwzględna|moduł]], dodając z przodu znak <math>-,</math> np. <math>-25,4</math><ref group="uwaga">Typografia wyróżnia cztery różne znaki: &#x002D; ([[dywiz|dywiz, łącznik]]), &#x2013; ([[Pauza i półpauza|półpauza]]), &#x2014; ([[Pauza i półpauza|pauza]]) oraz &#x2212; ([[Plus i minus|minus]]), który od półpauzy różni się wyglądem oraz położeniem (zgodnym z innymi znakami matematycznymi).</ref>. Przez analogię dla liczb dodatnich można dodać z przodu znak <math>+.</math> W księgowości stosuje się też inne notacje, na przykład liczby ujemne ujmuje się w nawiasy.
 
Liczby rzeczywiste często wymagają nieskończenie wielu cyfr do swego zapisu. Zapis liczb wymiernych zawsze wykazuje okresowość, to znaczy od pewnego momentu ciąg cyfr zaczyna się cyklicznie powtarzać. Liczby naturalne są zapisywane skończoną liczbą cyfr, gdyż wszystkie cyfry <math>c_i</math> dla <math>i<0</math> są zerami, więc ich zapis można pominąć.
Linia 313 ⟶ 312:
[[Typ danych|Typ]] obejmujący przedział liczb naturalnych z zerem zwany jest w informatyce '''liczbami bez znaku''' (ang. ''unsigned integers''). W informatyce zawsze zalicza się zero do liczb bez znaku i – w odróżnieniu od matematyki – elementy [[ciąg (matematyka)|ciągu]], zwanego tu [[Tablica (informatyka)|tablicą jednowymiarową]], w najpopularniejszych [[język programowania|językach]] numeruje się konsekwentnie od zera<ref group=uwaga>Na przykład w [[C (język programowania)|C]], [[C++]], [[Java]], [[JavaScript]], [[C#]], w [[asembler]]ach, [[PHP]] (przy wywołaniu funkcji <code>array</code> z domyślnymi parametrami), [[Perl]], choć istnieją starsze języki w których numeruje się je od jedynki (wiele dialektów [[BASIC|Basica]], [[Fortran]]), lub zakres numeracji można samodzielnie zdefiniować ([[Pascal (język programowania)|Pascal]], [[SAS 4GL]], [[ALGOL|Algol]], [[Ada (język programowania)|Ada]]).</ref>.
 
Liczby naturalne z przedziału 0-2550–255 można po prostu zakodować jako wartość jednego bajta.
 
Na dwóch bajtach można już zapisać liczby naturalne z przedziału 0-655350–65&nbsp;535 (mamy do dyspozycji <math>6553665\ 536=256^2</math> stanów). Każdą taką liczbę można zapisać w postaci <math>x=256h+l,</math> gdzie <math>h</math> oraz <math>l</math> to wartości tzw. '''starszego bajta''' i '''młodszego bajta''', z przedziału od 0 do 255 każda. Wartości te można zapisać w pamięci na dwa sposoby: albo pierwszy jest starszy bajt, a drugi młodszy (tzw. notacja ''[[Kolejność bajtów|big endian]]''), albo odwrotnie (''[[Kolejność bajtów|little endian]]''). W procesorach kompatybilnych z architekturą [[Intel]]a (czyli np. w komputerach [[Komputer osobisty|PC]]) stosowana jest notacja ''little endian'', a w wielu innych procesorach (np. na większości rozwiązań serwerowych) ''big endian''. Istnieją także procesory, w których kolejność bajtów można zmieniać. Jednak kolejność ta nie ma większego znaczenia, dopóki nie zapiszemy liczby do pliku albo nie prześlemy jej siecią i nie przeniesiemy w ten sposób na komputer stosujący inny standard. Z tego powodu np. maszyny wirtualne [[Java]] wykorzystują w plikach format ''big endian'' niezależnie od procesora.
 
Na czterech bajtach można zapisać liczby z przedziału od 0&nbsp;do&nbsp;4&nbsp;294&nbsp;967&nbsp;295. Analogicznie jak poprzednio, przedstawienie danej liczby w systemie 256-kowym pozycyjnym jako <math>x = 256^3 a_3 + 256^2 a_2 + 256 a_1 + a_0</math> uzyskuje się cztery bajty <math>a_3, a_2, a_1, a_0.</math> Kolejność ich zapisu w pamięci, tak jak poprzednio, zależy od procesora – w przypadku ''little endian'' od bajta <math>a_0</math> do <math>a_3,</math> w przypadku ''big endian'' – odwrotnie.
Linia 329 ⟶ 328:
Stosuje się tu tzw. [[kod uzupełnień do dwóch]] (ZU2). Liczba <math>x,</math> która ma zostać zapisana w postaci <math>n</math> bajtów jest przekształcana w następujący sposób:
: <math>x' = \begin{cases} x & \text{dla } x \geqslant 0 \\ 256^n + x & \text{dla } x < 0\end{cases}</math>
 
Następnie liczba <math>x'</math> jest zapisywana jako liczba naturalna. W ten sposób na jednym bajcie można zapisywać liczby z przedziału od <math>-128</math> do <math>127,</math> na dwóch od <math>-32\,768</math> do <math>32\,767,</math> i ogólnie na <math>n</math> bajtach liczby od <math>-2^{8n-1}</math> do <math>2^{8n-1}-1</math> włącznie.
 
Linia 342:
Powszechnie stosuje się zmiennoprzecinkowy zapis liczby rzeczywistej w standardzie [[IEEE 754]]. Przybliżenie liczby rzeczywistej jest zapisywane w postaci <math>x=s\cdot 2^w\cdot m,</math> gdzie <math>s\in \{1,-1\}</math> jest nazywany '''znakiem''', <math>w</math> – '''wykładnikiem''', a <math>m\in[0,1)</math> – '''mantysą'''. Zero, które można by zakodować na wiele sposobów jest kodowane jako <math>s=+1, w=0, m=0</math>
: [[Plik:Reprezentacja bitowa.svg|300px]]
 
Znak jest zapisywany jako jeden bit, równy 0 dla <math>s=+1</math> i 1 dla <math>s= -1.</math> Wykładnik jest zapisywany jak każda inna liczba całkowita w kodzie uzupełnień do dwóch. Mantysa jest mnożona przez <math>2^f,</math> gdzie <math>f</math> to liczba bitów przeznaczona na nią i zapisywana jako liczba naturalna.
 
Linia 363 ⟶ 364:
'''liczby'''
{| cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" width="100%"
| width="50%" valign="top"|
* [[liczby algebraiczne|algebraiczne]]
* [[liczby automorficzne|automorficzne]]
Linia 380 ⟶ 381:
* [[liczby p-adyczne|p-adyczne]]
* [[parzystość liczb|parzyste i nieparzyste]]
| width="50%" valign="top"|
* [[liczba pierwsza|pierwsze]]
* [[liczby piramidalne|piramidalne]]
Linia 410 ⟶ 411:
 
== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę | nazwisko = Klukowski | imię = Jerzy | nazwisko2 = Nabiałek | imię2 = I. | tytuł = Algebra dla studentów | rok = 2004 | wydanie = 4 | isbn = 83-204-3124-7 | wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Leja | imię = Franciszek | autor link = Franciszek Leja | tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy | miejsce = Warszawa | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | rok = 1976 }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Maurin | imię = Krzysztof | autor link = Krzysztof Maurin | tytuł = Analiza – Część I – Elementy | miejsce = Warszawa | wydawca = PWN | rok = 1976 }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Musielak | imię = Helena | nazwisko2 = Musielak |imię2 imię2= Julian | tytuł = Analiza matematyczna | miejsce = Poznań | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe UAM]] | rok = 2000 | isbn = 83-232-1049-7 }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Reinhardt | imię = Fritz | nazwisko2 = Soeder | imię2 = Heinrich | tytuł = Atlas matematyki | wydawca = [[Prószyński i S-ka]] | rok = 2003 | isbn = 83-7469-189-1 }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Rutkowski | imię = Jerzy | tytuł = Algebra abstrakcyjna w zadaniach | rok = 2006 | wydanie = 5 | wydawca = PWN | isbn = 83-01-14388-6 }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Widomski | imię = J. | tytuł = Ontologia liczby | miejsce = Kraków | rok = 1996 }}
 
Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce:
* {{cytuj książkę | nazwisko = Miś | imię = Bogdan | autor link = Bogdan Miś | tytuł = Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki | wydawca = Wydawnictwa Naukowo-Techniczne | miejsce = Warszawa | rok = 1989 }}
 
{{Kontrola autorytatywna}}
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba”