Moduł ilorazowy

Niech dany będzie (lewostronny) moduł ${\displaystyle M}$  nad pierścieniem ${\displaystyle R}$  oraz podmoduł ${\displaystyle N}$  tego modułu. Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle M/N}$  zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:

${\displaystyle m\sim n}$  wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle m-n\in N}$ 

dla dowolnych ${\displaystyle m,n\in M.}$  Elementami ${\displaystyle M/N}$  są klasy abstrakcji postaci

${\displaystyle [m]=\{m+n\colon n\in N\}.}$ 

Działanie dodawania w ${\displaystyle M/N}$  określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z ${\displaystyle R.}$  Tym sposobem przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle M/N}$  sama staje się modułem nad ${\displaystyle R}$  nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:

${\displaystyle [m]+[n]=[m+n]}$  i

${\displaystyle r[m]=[rm]}$ 

dla dowolnych ${\displaystyle m,n\in M}$  oraz ${\displaystyle r\in R.}$ 

Dla modułu ${\displaystyle M}$  i podmodułu ${\displaystyle N\subseteq M}$ 

Moduł ilorazowy to przestrzeń klas abstrakcji ${\displaystyle M/N}$  z działaniami określonymi powyżej.

Niech dany będzie pierścień ${\displaystyle \mathbb {R} }$  liczb rzeczywistych i ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -moduł ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$  czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$ 

modułu ${\displaystyle A,}$  to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez ${\displaystyle X^{2}+1.}$  Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest

${\displaystyle P(X)\sim Q(X)}$  wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle P(X)}$  oraz ${\displaystyle Q(X)}$  dają tę samą resztę z dzielenia przez ${\displaystyle X^{2}+1.}$ 

Dlatego w module ilorazowym ${\displaystyle A/B}$  wielomian ${\displaystyle X^{2}+1}$  będzie tym samym co ${\displaystyle 0}$  i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$  przez utożsamienie ${\displaystyle X^{2}+1=0.}$  Moduł ilorazowy ${\displaystyle A/B}$  jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 

 

Tę sekcję należy dopracować:

własności/twierdzenia nie są jasno sformułowane i nie wiadomo o co w nich chodzi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

• Moduł ilorazowy ${\displaystyle M/N}$  jest obrazem homomorficznym modułu ${\displaystyle M}$  przez homomorfizm o jądrze ${\displaystyle N}$  dany wzorem

${\displaystyle \pi :M\longrightarrow M/N:m\mapsto m+N.}$ 

Odwzorowanie ${\displaystyle \pi }$  jest nazywane projekcją modułu ${\displaystyle M}$  na moduł ilorazowy ${\displaystyle M/N}$ .

• Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów ${\displaystyle M,N}$  modułu ${\displaystyle Q}$  prawdziwe jest

  ${\displaystyle M/(M\cap N)\simeq (M+S)/N.}$ 

dla podmodułu ${\displaystyle N\subseteq Q\subseteq P}$  zachodzi

${\displaystyle (P/N)/(Q/N)\simeq P/Q.}$ 

• Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w ${\displaystyle M}$  a klasą izomorfizmów epimorfizmów z ${\displaystyle M;}$  monomorfizm ${\displaystyle I\colon N\to M}$  odpowiada modułowi ilorazowemu ${\displaystyle M/i(N),}$  a epimorfizm ${\displaystyle P\colon M\to Q}$  odpowiada podmodułowi ${\displaystyle \ker P.}$ 
• Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
• Jeżeli ${\displaystyle B}$  jest ${\displaystyle A}$ -algebrą (łączną, z jedynką), to

  ${\displaystyle B\otimes _{A}(M/N)\simeq (B\otimes _{A}M)/U,}$ 

gdzie ${\displaystyle U}$  jest obrazem ${\displaystyle B\otimes _{A}N}$  w ${\displaystyle B\otimes _{A}M.}$ 

• Jeżeli ${\displaystyle I}$  jest (obustronnym) ideałem w ${\displaystyle A,}$  to moduł ilorazowy ${\displaystyle A/I}$  jest tym samym co pierścień ilorazowy ${\displaystyle A/I.}$