Miara kąta

Miara kąta – wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.

Jest to długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej nazywamy radianem.

W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzieli się na 360 stopni kątowych (symbol: °), każdy z nich na 60 minut kątowych (symbol: ′), a każdą z nich na 60 sekund kątowych (symbol: ″). Ułamki sekund kątowych podawane są już dziesiętnie.

Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: ^g), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: ^c), a każdy z nich na 100 myriogradów (symbol: ^cc). Podział taki ułatwia ręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, ponieważ przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania na 60 i 90 jednostek.

W pomiarach nachylenia nawierzchni używa się miary procentowej (np. przy określeniu nachylenia nawierzchni drogi). Przykładowo 1% oznacza zmianę wysokości o 1 cm na 100 cm długości. Oblicza się to według wzoru:

Nachylenie={\frac {H}{L}}\cdot 100,

gdzie L to długość danego fragmentu stoku, a H wysokość tego fragmentu.

Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.

Przykłady zapisu miary kąta
W mierze...	Zapis	Czytamy
stopniowej	10°23′45″76	10 stopni, 23 minuty, 45 i 76 setnych sekundy
gradowej	87^g65^c43^cc21	87 gradów, 65 ce, 43 i 21 setnych cece co oznacza 87,654321 grada

Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1 km wycina łuk o długości 1 m. Tysięczna rzeczywista jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje:

tysięczna artyleryjska: 1 m_a = 1/6400 kąta pełnego
tysięczna Rimailho: 1 m_R = 1/6000 kąta pełnego

zatem na kilometrowym okręgu:

kątowi	odpowiada łuk
1/1000 rad	100 cm
1 m_a	105 cm
1 m_R	98 cm

Dla porównania:

kątowi	odpowiada łuk
1′	29,09 cm
1^c	15,71 cm

Porównanie miar

Argumenty funkcji trygonometrycznych dla liczb rzeczywistych można zinterpretować jako miarę kąta. Matematycy używają jednak praktycznie wyłącznie radianów. Miara stopniowa jest dość popularna, jednak w stosunku do radianów powoduje pewne komplikacje przy obliczeniach trygonometrycznych:

Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (czyli kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla $x=0$ wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla $x=0.$ Okazuje się, że ogólnie:

\sin 'x=\cos x

\sin ''x=-\sin x

\sin '''x=-\cos x

\sin ''''x=\sin x

Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach (miara łukowa).

Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez $\sin _{\deg }x=\sin {\tfrac {\pi }{180}}x$ oraz $\cos _{\deg }x=\cos {\tfrac {\pi }{180}}x.$

Teraz:

\sin _{\deg }'x={\tfrac {\pi }{180}}\cos _{\deg }x

\sin _{\deg }''x=-{\tfrac {\pi ^{2}}{180^{2}}}\sin _{\deg }x

\sin _{\deg }'''x=-{\tfrac {\pi ^{3}}{180^{3}}}\cos _{\deg }x

\sin _{\deg }''''x={\tfrac {\pi ^{4}}{180^{4}}}\sin _{\deg }x

We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej (radianów). Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.

Ponadto miara łukowa ma prostą interpretację geometryczną: jest to długość części okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta zawartej w danym kącie.

Miara łukowa jest więc w pewnym sensie wyróżniona wśród wszelkich możliwych miar kątów i najbardziej naturalna, dlatego powszechnie stosuje się ją w matematyce i do niej dostosowane są definicje funkcji trygonometrycznych.

Zobacz też

pochylenie poziome trasy