Liczba idealna

Liczba idealna – dywizor pierścienia liczb całkowitych ${\displaystyle A}$ pewnego ciała liczb algebraicznych nazywane często „dywizorami całkowitymi” pierścienia ${\displaystyle A.}$ Wspomniane dywizory tworzą półgrupę wolną z jedynką, a jej wolne generatory to tzw. pierwsze liczby idealne. Liczby idealne można utożsamiać z ideałami pierścienia ${\displaystyle A}$^[1].

Liczby idealne zostały wprowadzone w celu usunięcia braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w pierścieniach całkowitych liczb pierwszych (zob. pierścień z jednoznacznością rozkładu). Dla każdego ${\displaystyle a\in A}$ rozkład odpowiedniego dywizora ${\displaystyle \varphi (a)}$ na iloczyn pierwszych liczb idealnych można rozpatrywać jako zamianę jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w przypadku, gdy w pierścieniu ${\displaystyle A}$ tej jednoznaczności rozkładu nie ma.

Pierścień ${\displaystyle A}$ wszystkich liczb całkowitych ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$ składa się ze wszystkich takich liczb ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}},}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} .}$ W pierścieniu tym liczba 6 ma dwa różne rozkłady na czynniki:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})\cdot (1+{\sqrt {-5}}),}$

przy czym liczby ${\displaystyle 2,3,1-{\sqrt {-5}},1+{\sqrt {-5}}}$ są różnymi liczbami pierwszymi pierścienia ${\displaystyle A.}$ Zatem rozkład na czynniki pierwsze w ${\displaystyle A}$ jest niejednoznaczny. Jednak w półgrupie dywizorów ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ elementy ${\displaystyle \varphi (2),\varphi (3),\varphi (1-{\sqrt {-5}}),\varphi (1+{\sqrt {-5}})}$ nie są proste, a mianowicie:

${\displaystyle \varphi (2)={\mathfrak {p}}_{1}^{2},\varphi (3)={\mathfrak {p}}_{2}{\mathfrak {p}}_{3},\varphi (1-{\sqrt {-5}})={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2},\varphi (1+{\sqrt {-5}})={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{3},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},{\mathfrak {p}}_{2},{\mathfrak {p}}_{3}}$ są pierwszymi liczbami idealnymi w ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ W taki sposób oba rozkłady liczby 6 na iloczyn czynników pierwszych w pierścieniu ${\displaystyle A}$ odpowiadają w półgrupie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ jednoznacznemu rozkładowi ${\displaystyle \varphi (6)={\mathfrak {p}}_{1}^{2}{\mathfrak {p}}_{2}{\mathfrak {p}}_{3}.}$

Na podstawie encyklopedii matematycznej pod redakcją Winogradowa^[2].

Pojęcie liczb idealnych zostało wprowadzone^[3] przez Ernsta Kummera przy badaniu arytmetyki ciał podziału koła^[4][5]. Niech ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta )}$ będzie ciałem podziału koła na ${\displaystyle p}$ części (gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą całkowitą), a ${\displaystyle A=\mathbb {Z} (\zeta )}$ niech będzie pierścieniem liczb całkowitych pierścienia ${\displaystyle K.}$ Liczbami idealnymi u Kummera były iloczyny idealnych liczb pierwszych. Natomiast idealne liczby pierwsze dzielące daną pierwszą liczbę naturalną ${\displaystyle q\neq p}$ otrzymuje się, używając twierdzenia Kummera. Wykorzystując fakt, że ${\displaystyle A}$ ma bazę ${\displaystyle 1,\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{p-2}}$ nad ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ Kummer rozpatrywał rozkład wielomianu podziału koła ${\displaystyle F_{p}(X)}$ w ${\displaystyle \mathbb {Z} _{q}[X].}$ Liczbami idealnymi dzielącymi liczbę ${\displaystyle q}$ są elementy znajdujące się we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z nieprzywiedlnymi czynnikami rozkładu wielomianu ${\displaystyle F_{p}(X).}$ Analogiczną metodą można opracować teorię podzielności w ciałach postaci ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta ,{\sqrt[{p}]{m}}),}$ gdzie ${\displaystyle m\in \mathbb {Q} (\zeta ).}$

Rozszerzenia teorii liczb idealnych na przypadek dowolnego ciała liczb algebraicznych dokonali Leopold Kronecker i Richard Dedekind. Prace Kroneckera rozwijały teorię dywizorów, a Dedekind każdej liczbie idealnej przyporządkowywał „ideał” pierścienia ${\displaystyle A,}$ przez który rozumiał podzbiór ${\displaystyle A,}$ składający się z 0 i wszystkich takich ${\displaystyle a,}$ które są podzielne przez daną liczbę idealną. Później pojęcie ideału zostało uogólnione na dowolne pierścienie. Pierścień, w którym pojęcia ideału i dywizora są identyczne nazywa się pierścieniem Dedekinda.

Stan prac nad liczbami idealnymi do roku 1985 opisano w monografii Borewicza i Szafarewicza^[6].

• Ernst Kummer. „J. reine und angew. Math.”. 35, s. 319–367, 1847. 
• Ernst Kummer. „J. math. pures et appl.”. 16, s. 377–498, 1851. 
• Bourbaki N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann, 1961-1965, seria: Éléments de matématique. Brak numerów stron w książce
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Теория чисел. Москва: Наука, 1985. (ros.). Brak numerów stron w książce
• И.М. Виноградов: Математическая Энциклопедия. Wyd. 1. Cz. 2 Д – Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.). Brak numerów stron w książce