Ciało algebraicznie domknięte

Ciało algebraicznie domknięte ${\displaystyle F}$ – takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w ${\displaystyle F.}$^[1]

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że ${\displaystyle K}$ jest rozszerzeniem algebraicznym ${\displaystyle F,}$ wynika, że ${\displaystyle K=F.}$

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Rozszerzenie ciała ${\displaystyle F,}$ które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała ${\displaystyle F.}$ Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian ${\displaystyle w(x)=x^{2}+1}$ nie ma pierwiastków w tym ciele. Domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest jednak ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są ${\displaystyle i}$ oraz ${\displaystyle -i}$).

Ponieważ dla każdego ciała ${\displaystyle F}$ istnieje jego rozszerzenie ${\displaystyle K}$ będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad ${\displaystyle F}$ należących do ${\displaystyle K}$ jest rozszerzeniem algebraicznym ${\displaystyle F}$ oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli ${\displaystyle F}$ jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych ${\displaystyle n,m}$ i dla dowolnych wielomianów ${\displaystyle f_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}),\dots ,f_{m}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ o współczynnikach z ciała ${\displaystyle F}$ następujące warunki są równoważne:

• układ równań ${\displaystyle f_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=0,\dots ,f_{m}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=0}$ ma rozwiązanie w ${\displaystyle F;}$

• ideał ${\displaystyle (f_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}),\dots ,f_{m}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}))}$ jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów ${\displaystyle F[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}].}$

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany ${\displaystyle g_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}),\dots ,g_{m}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ o współczynnikach z ciała ${\displaystyle F}$ takie, że

${\displaystyle g_{1}\cdot f_{1}+\ldots +g_{m}\cdot f_{m}=1.}$

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała ${\displaystyle GF(3)=\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}{:}}$

Dla każdego ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ istnieje jedyne ciało ${\displaystyle GF(3^{k})}$ o ${\displaystyle 3^{k}}$ elementach. Na przykład ciało ${\displaystyle GF(3^{2})}$ można reprezentować jako ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}({\sqrt {2}})=\{0,1,2,\;\alpha ,\,\alpha +1,\,\alpha +2,\;2\alpha ,\,2\alpha +1,\,2\alpha +2\},}$ gdzie ${\displaystyle \alpha ^{2}=2.}$

Dla każdego ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle GF(3^{m})\subseteq GF(3^{n})}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle m}$ jest dzielnikiem liczby ${\displaystyle n.}$ Więc dla każdego ${\displaystyle m,n}$ można znaleźć skończone ciało ${\displaystyle C}$ zawierające ${\displaystyle GF(3^{m})}$ i ${\displaystyle GF(3^{n}),}$ np ciało ${\displaystyle GF(3^{mn}).}$ Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał ${\displaystyle GF(3^{n})}$ jest znowu ciałem, które oznaczamy ${\displaystyle \mathbb {\overline {Z}} _{3}.}$

Każdy wielomian ze współczynnikami w ciele ${\displaystyle \mathbb {\overline {Z}} _{3}}$ ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym ${\displaystyle GF(3^{n}),}$ więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała ${\displaystyle GF(3^{n});}$ to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem ${\displaystyle GF(3^{n'})\subseteq \mathbb {\overline {Z}} _{3}.}$

Więc ciało ${\displaystyle \mathbb {\overline {Z}} _{3}}$ (zbiór nieskończony, ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$ ciała liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$ nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało ${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$ jest przeliczalne, a ciała ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle \mathbb {C} }$ są nieprzeliczalne. Dowód Cantora, używający metod z zapoczątkowanej przez niego teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Ciało ${\displaystyle F}$ jest ciałem algebraicznie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi nieprzywiedlnymi w nim wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego^[2].

• J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Brak numerów stron w książce