Edytujesz Twierdzenie Ptolemeusza

To jest stara wersja tej strony, edytowana przez Ignasiak (dyskusja | edycje) o 09:38, 8 kwi 2019. Może się ona znacząco różnić od aktualnej wersji.

(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)

Edytujesz wersję strony starszą niż bieżąca. Sprawdź, czy nie gubisz w ten sposób wartościowych informacji z późniejszych wersji.

Zmiany dokonywane przez osoby niemające statusu redaktora są widoczne dla czytelników po przejrzeniu przez jednego z redaktorów.

Edytujesz stronę anonimowo. Jeżeli zapiszesz edycję, twój adres IP będzie publicznie widoczny w historii strony. Jeżeli zalogujesz się albo założysz konto, twoje edycje będą przypisywane do nazwy użytkownika. Zobacz inne zalety założenia konta. Artykuły Wikipedii edytujemy zgodnie z przyjętymi zasadami. Jeśli potrzebujesz pomocy w edytowaniu, skontaktuj się z jednym z przewodników.

{{spis treści}}
'''Twierdzenie Ptolemeusza''' – twierdzenie w geometrii klasycznej opisujące zależność pomiędzy bokami a przekątnymi [[czworokąt]]a [[okrąg opisany na wielokącie|wpisanego w okrąg]]. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się [[Klaudiusz Ptolemeusz|Klaudiuszowi Ptolemeuszowi]]; pojawia się ono w jego dziele zatytułowanym „[[Almagest]]”{{odn|Ptolemeusz}}.

== Twierdzenie ==
: W dowolnym [[czworokąt|czworokącie]] <math>ABCD</math> [[Okrąg opisany na wielokącie|wpisanym]] w [[okrąg]] iloczyn długości [[przekątna|przekątnych]] równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków{{odn|Coxeter|Greitzer|1967|s=42}}{{odn|Bottema|2008|s=104}}:
:: {{wzór|<math>|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|.</math>|1}}

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:
: Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

== Dowody ==
=== Dowód geometryczny ===
[[Plik:Ptolemy's theorem.svg|centruj]]
Niech dany będzie czworokąt <math>ABCD</math> wpisany w okrąg oraz punkt <math>K</math> leżący na przekątnej <math>AC</math> tak, by [[półprosta]] <math>BK</math> przecinała przekątną <math>AC</math> przy zachowaniu równości kątów <math>\sphericalangle ABD = \sphericalangle KBC.</math> Wówczas otrzymuje się trójkąty <math>\triangle ABD</math> i <math>\triangle KBC.</math>

Z konstrukcji wynika, że <math>\sphericalangle ABD = \sphericalangle KBC</math> oraz <math>\sphericalangle ADB = \sphericalangle KCB,</math> ponieważ kąty te są [[kąt wpisany|kątami wpisanymi]] opartymi na tym samym [[łuk okręgu|łuku]]. Trójkąty <math>\triangle ABD</math> i <math>\triangle KBC</math> są więc [[Podobieństwo|podobne]], dzięki czemu
: <math>|KC| : |AD| = |BC| : |BD|,</math>

skąd
: {{wzór|<math>|KC| \cdot |BD| = |AD| \cdot |BC|.</math>|2}}

Trójkąty <math>\triangle ABK</math> i <math>\triangle DBC</math> są podobne, gdyż mają równe kąty <math>\sphericalangle ABK</math> i <math>\sphericalangle DBC</math> oraz kąty <math>\sphericalangle BAC</math> i <math>\sphericalangle BDC</math> (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:
: <math>|AK| : |DC| = |AB| : |BD|,</math>

a zatem
: {{wzór|<math>|AK| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC|.</math>|3}}

Po zsumowaniu stronami równości {{LinkWzór|2}} oraz {{LinkWzór|3}} otrzymuje się
: <math>|AK| \cdot |BD| + |KC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|,</math>

co w konsekwencji daje
: <math>(|AK| + |KC|) \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|</math>

i ostatecznie
: <math>|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|,</math>

co należało wykazać.

; Dowód twierdzenia odwrotnego
Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie{{odn|Bottema|2008|s=104}}{{odn|Yiu|1998|s=148–150}}. Niech w czworokącie <math>ABCD</math> zachodzi {{LinkWzór|1}}. Należy znaleźć taki punkt <math>K,</math> który spełnia warunki
: <math>\sphericalangle ABK = \sphericalangle DBC</math> oraz <math>\sphericalangle BAK = \sphericalangle BDC.</math>

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów <math>\triangle DBC</math> oraz <math>\triangle ABK,</math> przy czym
: <math>\frac{|AB|}{|DB|}=\frac{|BK|}{|BC|}=\frac{|AK|}{|CD|}.</math>

Z drugiej strony, ponieważ <math>\sphericalangle ABK = \sphericalangle DBC</math> oraz
: <math>\frac{|AB|}{|DB|}=\frac{|BK|}{|BC|},</math>

trójkąty <math>\triangle ABD</math> i <math>\triangle KBC</math> są podobne.

Stąd zachodzą {{LinkWzór|2}} oraz {{LinkWzór|3}}, dając
: <math>(|AK| + |KC|) \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|.</math>

Z założenia wynika jednak, że <math>(|AK| + |KC|) = |AC|,</math> co oznacza, że punkt <math>K</math> leży na odcinku <math>|AC|.</math> Ale wtedy
: <math>\sphericalangle BAK = \sphericalangle BAC = \sphericalangle BDC,</math>

czyli wierzchołki <math>A</math> i <math>D</math> leżą na tym samym okręgu, co <math>B</math> i <math>C.</math>

=== Dowód trygonometryczny ===
Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie [[okrąg jednostkowy|okręgiem jednostkowym]]. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: [[translacja (matematyka)|przesunięcie równoległe]] i [[jednokładność]] (ogólnie: [[podobieństwo]]). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków <math>P_1, P_2, P_3, P_4</math> czworokąta jako
: <math>P_i=(\cos\alpha_i,\sin\alpha_i), \text{ gdzie }\alpha_i \in [0,2\pi),</math>

przy czym <math>\alpha_i</math> oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem <math>P_i.</math> Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest
: <math>\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 <\alpha_4.</math>

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych <math>x=(\cos\alpha,\sin\alpha)</math> i <math>y=(\cos\beta,\sin\beta),</math> to ich odległość euklidesowa
: <math>\|x-y\|=\sqrt{2-2\cos(|\alpha-\beta|)}=2\sin\left(\frac{|\alpha-\beta|}{2}\right).</math>

Jeśli <math>(P_i,P_j)</math> dla <math>i < j,</math> jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako
: <math>|P_i P_j|=2\sin\left(\frac{\alpha_j}{2}-\frac{\alpha_i}{2}\right).</math>

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza
: <math>|P_1P_3|\cdot |P_2P_4|=|P_1P_2|\cdot |P_3P_4|+|P_1P_4|\cdot |P_2P_3|</math>

przyjmie wtedy postać
: <math>
\sin\left(\frac{\alpha_3}{2}-\frac{\alpha_1}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha_4}{2}-\frac{\alpha_2}{2}\right)
=\sin\left(\frac{\alpha_2}{2}-\frac{\alpha_1}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha_4}{2}-\frac{\alpha_3}{2}\right)+
\sin\left(\frac{\alpha_4}{2}-\frac{\alpha_1}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha_3}{2}-\frac{\alpha_2}{2}\right).</math>

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu [[tożsamości trygonometryczne|wzoru na iloczyn sinusów]]
: <math>\sin\alpha\sin\beta=\tfrac{1}{2} \bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).</math>

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

=== Dowód inwersyjny ===
{{zobacz też|inwersja (geometria)|o1=inwersja|geometria inwersyjna}}
[[Plik:Ptolemy theorem inversion.svg|thumb|Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.]]
Niech dany będzie czworokąt <math>ABCD</math> wpisany w okrąg <math>O</math>{{odn|Bogomolny}}{{odn|Pedoe|1995|s=10–11}}. Niech dane będą również punkty <math>B, C</math> oraz <math>D</math> będące obrazami inwersyjnymi względem nowego okręgu <math>O_1</math> o środku w punkcie <math>A</math> i pewnym promieniu <math>r.</math> Ponieważ punkty te leżą na okręgu <math>O,</math> który przechodzi przez środek okręgu <math>O_1,</math> to ich obrazy <math>B',C'</math> i <math>D'</math> będą współliniowe{{odn|Coxeter|Greitzer|1967|s=109}}. Wynika stąd, że
: {{Wzór|<math>|B'C'|+|C'D'|=|B'D'|.</math>|4}}

Skoro dwa punkty <math>P</math> i <math>Q</math> są przekształcane przez inwersję względem okręgu o promieniu <math>r,</math> to zachodzić będzie{{odn|Pedoe|1995|s=10–11}}
: <math>|P'Q'| = \frac{r^2\cdot |PQ|}{|OP|\cdot |OQ|}.</math>

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków <math>|B'C'|,</math> <math>|C'D'|</math> i <math>|D'B'|</math> otrzymuje się
: {{wzór|<math>\begin{align}
|B'C'| &= \frac{r^2\cdot |BC|}{|AB|\cdot |AC|},\\
|C'D'| &= \frac{r^2\cdot |CD|}{|AC|\cdot |AD|},\\
|D'B'| &= \frac{r^2\cdot |DB|}{|AD|\cdot |AB|}.
\end{align}</math>|5}}

Po wstawieniu tych równości do wzoru {{LinkWzór|4}} jest
: <math>\frac{|BC|}{|AB|\cdot |AC|}+\frac{|CD|}{|AC|\cdot |AD|}=\frac{|DB|}{|AD|\cdot |AB|},</math>

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

; Dowód twierdzenia odwrotnego
Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie <math>ABCD</math> zachodzi zależność {{LinkWzór|1}} i zbada inwersję punktów <math>B, C</math> i <math>D</math> względem pewnego okręgu o środku w <math>A,</math> to otrzyma się równość {{LinkWzór|4}}, z której wynika, że punkty <math>B', C'</math> i <math>D'</math> są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty <math>B,C</math> i <math>D</math> będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez <math>A,</math> co czyni je współokręgowymi.

== Uogólnienia i wnioski ==
=== Nierówność Ptolemeusza ===
[[Plik:Ptolemy inequality iversion.svg|thumb|Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.]]
Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie{{odn|Coxeter|Greitzer|1967|s=42,106–107}}{{odn|Pedoe|1995|s=10–11}}:
: Jeśli <math>ABCD</math> jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
:: {{wzór|<math>|AC| \cdot |BD| \leqslant |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|,</math>|10}}
: przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt <math>ABCD</math> jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji{{odn|Bogomolny}} i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty <math>B,C</math> i <math>D</math> nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty <math>B', C'</math> i <math>D',</math> które spełniają [[nierówność trójkąta]]
: <math>|B'C'|+|C'D'|\geqslant |B'D'|.</math>

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów {{LinkWzór|5}} i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność {{LinkWzór|10}}.

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta <math>ABCD</math>{{odn|Bottema|2008|s=104}}:
: <math>|AC|^2 \cdot |BD|^2=|AB|^2\cdot |CD|^2+|BC|^2\cdot |AD|^2-2|AB|\cdot|CD|\cdot|BC|\cdot|AD|\cos(\sphericalangle A+\sphericalangle C).</math>

Gdy czworokąt <math>ABCD</math> jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:
: <math>|AC|^2 \cdot |BD|^2=|AB|^2\cdot |CD|^2+|BC|^2\cdot |AD|^2+2|AB|\cdot|CD|\cdot|BC|\cdot|AD|</math>

i ostatecznie <math>|AC| \cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.</math>

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest [[twierdzenie Caseya]].

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bottema |imię = O. |tytuł= Topics in Elementary Geometry |url=http://pds12.egloos.com/pds/200903/31/93/a0100793_O._Bottema_-Topics_in_Elementary_Geometry.pdf |wydawca= Springer |rok = 2008 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Coxeter |imię=H.S.M. |tytuł= Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej) |inni=[[Ryszard Krasnodębski]] (tłum.) |rok=1961 |wydanie = II |wydawca= John Wiley & Sons Inc. |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Coxeter |imię=H.S.M. |nazwisko2=Greitzer |imię2=S.L. |tytuł=Geometry Revisited |wydawca=The Mathematical Association of America |rok=1967 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Pedoe |imię=Dan |tytuł=Circles: A Mathematical View|rok=1995 |wydawca=The Mathematical Association of America |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Ptolemeusz |imię=Klaudiusz |tytuł=Almagest |odn=tak}}, księga I, rozdział X
* {{cytuj książkę |nazwisko=Yiu |imię=Paul |tytuł=Notes on Euclidean Geometry |url=http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf |rok=1998 |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{cytuj stronę |url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/PtolemyByInversion.shtml |tytuł= Ptolemy by Inversion from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles |nazwisko= Bogomolny |imię=A. |odn=tak}}

Skany i tłumaczenia [[Almagest]]u Ptolemeusza:
* {{cytuj stronę |url=http://www.univie.ac.at/hwastro/rare/1515_ptolemae.htm |tytuł=Almagest |opublikowany=Uniwersytet Wiedeński}} – łacińskie tłumaczenie z 1515 roku
* {{cytuj stronę |url=http://www.wilbourhall.org/index.html#ptolemy |tytuł=Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie}} – niemieckie tłumaczenie 1912 roku

[[Kategoria:Planimetria]]
[[Kategoria:Wielokąty]]
[[Kategoria:Twierdzenia - geometria euklidesowa|Ptolemeusza]]

Wypełnij opis zmian:

Zapisując zmiany, wyrażasz nieodwołalną zgodę na udostępnianie Twojego wkładu na licencjach CC-BY-SA 4.0 i GFDL oraz na wykorzystanie go w dowolnej formie pod warunkiem podania przynajmniej hiperłącza lub adresu URL do strony, na której powstała treść. Treść ta musi być dostępna na tych zasadach, jeśli nie jest wynikiem Twojej samodzielnej pracy. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.

Anuluj Pomoc w edycji (otwiera się w nowym oknie)

Najczęstsze: Znaki i symbole: – | [] „” «» ’ ° ← → ¹ ² ³ Podpis w dyskusji: ~~~~ Przypisy i uwagi: <ref></ref> == Przypisy == {{Przypisy}} == Uwagi == {{Uwagi}}

Wikikod: [] [[]] {{}} [[Kategoria:]] [[Plik:]] #PATRZ[[]] <del></del> <code></code> <math></math> <nowiki></nowiki> <includeonly></includeonly> <noinclude></noinclude>  {{SORTUJ:}} {{subst:}} {{Dokumentacja}} {{s|}} {{Kontrola autorytatywna}} <q></q> <blockquote></blockquote> Ujednoznacznienia: {{Inne znaczenia}} {{Ujednoznacznienie}} (więcej → znaczniki, magiczne słowa, otwórz linki w nowym oknie)

Polskie diakrytyki: Ą ą Ć ć Ę ę Ł ł Ń ń Ó ó Ś ś Ź ź Ż ż

Alfabet grecki: Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ ς σ Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω

Cyrylica: А а Б б В в Г г Д д Е е Ё ё Ж ж З з И и Й й К к Л л М м Н н О о П п Р р С с Т т У у Ф ф Х х Ц ц Ч ч Ш ш Щ щ Ъ ъ Ы ы Ь ь Э э Ю ю Я я ѓ є і ї ј љ њ Њ њ Ћ ћ Ґ ґ Ђ ђ Џ џ

Inne litery: Á á À à Â â Ä ä Å å Ā ā Ă ă Ã ã Æ æ Ç ç Č č Ċ ċ Ď ď Ḍ ḍ Đ đ É é È è Ê ê Ë ë Ē ē Ə ə Ě ě Ġ ġ Ḥ ḥ Ħ ħ Í í Î î Ī ī Ĭ ĭ Ï ï Ľ ľ ḻ ḷ Ñ ñ Ň ň Ṇ ṇ ṅ ṉ Ó ó Ö ö Ő ő Õ õ Ô ô Ō ō Ǒ ǒ Œ œ Ø ø Ř ř Ṛ ṛ ṟ Š š Ş ş Ṣ ṣ Ť ť Ţ ţ Ṭ ṭ Ű ű Ú ú Ü ü Ů ů Ū ū Û û Ŭ ŭ Ý ý ẏ Ẓ ẓ Ž ž ß ð Þ þ

IPA: ʈ ɖ ɟ ɡ ɢ ʡ ʔ ɸ ʃ ʒ ɕ ʑ ʂ ʐ ʝ ɣ ʁ ʕ ʜ ʢ ɦ ɱ ɳ ɲ ŋ ɴ ʋ ɹ ɻ ɰ ʙ ʀ ɾ ɽ ɫ ɬ ɮ ɺ ɭ ʎ ʟ ɥ ʍ ɧ ɓ ɗ ʄ ɠ ʛ ʘ ǀ ǃ ǂ ǁ ɨ ʉ ɪ ʏ ɘ ɵ ø ɤ ɚ ɛ ɜ ɝ ɞ æ ʌ ɔ ɐ ɶ œ ɑ ɒ ʊ ɯ ʰ ʷ ʲ ˠ ˤ ⁿ ˡ ˈ ˌ ː ˑ

Symbole: – — ¡ ¿ ¤ $ ¢ £ € © ® ^ ° ′ ″ ‴ ⅛ ¼ ⅜ ⅓ ½ ⅝ ⅔ ¾ ⅞ ¹ ² ³ ⁿ ⁽ ⁾ ₍ ₎ † ‡ § ‰ • ← ↑ → ↓ ↔ ↖ ↗ ↘ ↙ ‘’ „” «» ~ | ¦ − · × ÷ ≈ ≠ ± ≡ ≅ ≃ ∼ ≤ ≥ ⩽ ⩾ √ ∂ ∇ ∏ ∫ ƒ ∈ ∋ ∨ ∧ ∀ ⇐ ⇔ ⇒ ∩ ∪ ⊄ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ∃ ∴ ∅ ∞ ◊ ¶  

Obiekty z Wikidanych użyte na tej stronie

Twierdzenie Ptolemeusza: Link do strony, Opis: pl

Szablony użyte w tym artykule:

Szablon:Cytuj książkę (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Cytuj stronę (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Dmbox (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Encyklopedia PWN (edytuj)
Szablon:Ikona (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Lang (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:LinkWzór (edytuj)
Szablon:MathWorld (edytuj)
Szablon:Odn (edytuj)
Szablon:Odn/id (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Odn/tekst (edytuj)
Szablon:Otwarty dostęp (edytuj)
Szablon:Pismo Delta (edytuj)
Szablon:Przypisy (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Wzór (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie niskim)
Szablon:Zobacz też (edytuj)
Moduł:Cytuj (edytuj)
Moduł:Cytuj/dane (edytuj)
Moduł:Cytuj/dostęp (edytuj)
Moduł:Ikona (edytuj)
Moduł:Ikona/dane (edytuj)
Moduł:Lang (edytuj)
Moduł:Lang/data (edytuj)
Moduł:Sprawdź (edytuj)
Moduł:String (edytuj)

Ta strona jest w jednej ukrytej kategorii:

Kategoria:Szablon odn bez numeru strony

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Ptolemeusza”