CN110109418A - 一种大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法，先建立机床的几何误差模型，采用球杆仪对机床进行测量分析，将球杆仪的测量数据代入几何误差模型中，得到多项几何误差参数的超定方程组；对超定方程组进行求解，得到各项几何误差值；其特征在于，先采用模拟退火粒子群算法得到群体最优解，再将群体最优解作为LM算法的初值对上述超定方程组进行仿真求解。本发明具有鲁棒性好，群体搜索能力强，求解速度快，稳定性较好，能够避免陷入局部最小值等优点。

Description

一种大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法

技术领域

本发明涉及机床几何误差辨识技术领域，特别的涉及一种大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法。

背景技术

数控机床是制造业的工作母机，其发展水平代表国家的制造业水平，数控机床飞速向高精度、智能化方向发展。大量研究显示：机床几何误差和热误差对机床精度影响高达70％，其中几何误差占35％-70％。因此，国内外专家学者对数控机床几何误差建模、误差辨识和误差补偿进行了大量的研究，取得了显著的成果。数控机床几何误差辨识分为单项几何误差直接测量法和综合几何误差辨识法。单项几何误差直接测量法就是直接利用测量仪器检测出机床各项几何误差，但其效率低、精度差且难以实现自动测量；综合几何误差辨识法是通过对机床一定工作范围进行测量，运用机床数学模型对测量点综合误差进行辨识，综合几何误差辨识法一般有光栅阵列法，一维球列法，圆测法，激光干涉仪的9线法、12线法等，圆测法较能全面评估机床误差。圆测法中最典型的就是球杆仪，其具有测量方法简单、精度高与测量速度快等优点。

基于球杆仪测量的几何误差辨识关键在于超定方程组的准确快速求解，现有的求解球杆仪超定方程组常用的是单纯性粒子群算法，该算法能有效求解出方程组的解，但此算法极易陷入局部最优解以及求解速度慢。

发明内容

针对上述现有技术的不足，本发明所要解决的技术问题是：如何提供一种鲁棒性好，群体搜索能力强，求解速度快，稳定性较好，能够避免陷入局部最小值的大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用了如下的技术方案：

一种大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法，先建立机床的几何误差模型，采用球杆仪对机床进行测量分析，将球杆仪的测量数据代入几何误差模型中，得到多项几何误差参数的超定方程组；对超定方程组进行求解，得到各项几何误差值；其特征在于，先采用模拟退火粒子群算法得到群体最优解，再将群体最优解作为LM算法的初值对上述超定方程组进行仿真求解。

进一步的，在对超定方程组进行求解时，具体采用如下步骤：

S1、随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

S2、评价每个微粒的适应度值，将当前各微粒的位置和适应度值存储在各微粒的Pi中，将所有的Pbest中适应值最优的个体的位置和适应度值存储于Pg中；

S3、确定初始温度；

S4、由下式确定当前温度下各Pi的适配值：

S5、利用轮盘赌策略从所有Pi中确定一个全局的最优代替值Pg，再由下式来更新各个微粒的速度与位置：

x_ij(t+1)＝x_ij(t)+V_ij(t+1)

S6、计算各个微粒的目标值，更新各微粒的Pi值及群体的Pg值；

S7、计算退温操作；

S8、根据预先设定的运算精度或程序迭代次数，判断迭代是否达到终止条件，若满足终止条件，停止搜索输出结果，并进行后续步骤，否则重复步骤S4～S8；

S9、将上述的群体最优解Pg作为LM算法的初值；

S10、令k＝0，计算若||g(x_k)||≤ε，停算，输出x_k为近似极小点；

S11、求方程组解得d_k；

S12、令m_k为满足的最小非负整数m，令α_k＝β^mk，x_k+1＝x_k+α_kd_k；

S13、更新μ_k的值，令k＝k+1，转步骤S10；

其中c₁与c₂为加速因子；r₁与r₂为0与1之间的随机数；t为迭代次数；N为粒子数；β与σ为0与1间参数；μ₀大于0；ε为容许误差。

进一步的，机床的几何误差模型采用如下步骤建立：

先确定机床的几何误差，其中，

沿X轴移动的误差分别为：定位误差δ_x(X)，Y方向上的直线度误差δ_y(X)，Z方向上的直线度误差δ_z(X)，滚转误差ε_x(X)，偏摆误差ε_y(X)和俯仰误差ε_z(X)；

沿Y轴移动的误差分别为：定位误差δ_y(Y)，X方向上的直线度误差δ_x(Y)，Z方向上的直线度误差δ_z(Y)，滚转误差ε_y(Y)，偏摆误差ε_x(Y)和俯仰误差ε_z(Y)；

沿Z轴移动的误差分别为：定位误差δ_z(Z)，X方向上的直线度误差δ_x(Z)，Y方向上的直线度误差δ_y(Z)，滚转误差ε_z(Z)，偏摆误差ε_x(Z)和俯仰误差ε_y(Z)；

沿W轴移动的误差分别为：定位误差δ_z(W)，X方向上的直线度误差δ_x(W)，Y方向上的直线度误差δ_y(W)，滚转误差ε_z(W)，偏摆误差ε_x(W)和俯仰误差ε_y(W)；

再确定X、Y、Z、W坐标轴之间因正交而形成的垂直度误差，包括X轴与Y轴之间垂直度误差S_xy，Y轴与Z轴之间的垂直度误差S_yz，Z轴与X轴之间的垂直度误差S_zx，W轴与Y轴之间的垂直度误差S_yw和W轴与X轴之间的垂直度误差S_wx；

将机床分为工件分支与刀具分支，分别得到工件相对于机床的位置矩阵和刀具相当于机床的位置矩阵，二者的差值即为刀具和工件的相对位移误差矩阵，即机床的几何误差矩阵。

进一步的，工件相对于机床的位置矩阵采用如下方式获得：

X轴相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

则床身R到X轴坐标系的包含几何误差的齐次坐标变换矩阵为：

若工件理论加工点在工件坐标系中的位置坐标矢量为：

T_B＝[X_B Y_B Z_B 1]^T

则工件B相对于床身R的包含几何误差的齐次坐标变换矩阵为：

刀具相当于机床的位置矩阵采用如下方式获得：

先固定Z轴,获得床身R到W轴的齐次坐标变换、由W轴到Y轴的齐次坐标变换、由Y轴到刀具的齐次坐标变换分别为：

若机床刀具尖端在刀具坐标系中的位置坐标矢量为：

T_t＝[0 0 0 1]^T

则刀具刀尖T相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

再固定W轴，获得床身R到Y轴的齐次坐标变换、由Y轴到Z轴的齐次坐标变换、由Y轴到刀具的齐次坐标变换分别为：

若机床刀具尖端在刀具坐标系中的位置坐标矢量为：

T_t＝[0 0 0 1]^T

则刀具刀尖T相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

将刀具相当于机床的齐次坐标变换矩阵减去工件相对于机床的齐次坐标变换矩阵得到刀尖和工件的相对位移误差矩阵，即机床的几何误差矩阵：

对进行求救，并舍去误差三次项及高次项，得到简化后的沿X、Y、Z坐标轴运动的几何误差模型。

综上所述，本发明具有鲁棒性好，群体搜索能力强，求解速度快，稳定性较好，能够避免陷入局部最小值等优点。

附图说明

图1为某大型龙门五面加工中心的结构简图。

图2为单纯形粒子群算法辨识的垂直度误差与球杆仪测的误差比较图。

图3为SAPSO-LM算法辨识的垂直度误差与球杆仪测的误差比较图。

图4为补偿前球杆仪逆时针运行误差数据图。

图5为补偿前球杆仪顺时针运行误差数据图。

图6为采用单纯形粒子群算法补偿后球杆仪逆时针运行误差数据图。

图7为采用单纯形粒子群算法补偿后球杆仪顺时针运行误差数据图。

图8为采用本发明方法补偿后球杆仪逆时针运行误差数据图。

图9为采用本发明方法补偿后球杆仪顺时针运行误差数据图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步的详细说明。

具体实施时：如图1所示，某大型龙门五面加工中心，该加工中心由床身1、X轴、Y轴、Z轴、W轴、刀具3、工作台与工件2等构建组成。机床结构有两个分支，分别是床身到工件的分支，即床身-X轴-工件，和床身到刀具的分支，即床身-W轴-Y轴-Z轴-刀具。

1、大型龙门五面加工中心几何误差解析

在机床结构中，移动副由导轨与平动轴的溜板组成。理想状态下，溜板只沿指定方向做往复运动，但在实际情况下溜板与导轨都有制造、尺寸、装配等误差。除此之外，导轨导向面几何尺寸误差、导轨面平行度误差、导轨与溜板之间的间隙差及滚动体形状误差等均影响移动副精度。因此，移动副在运动过程中会存在各自由度方向上的误差。一个运动副有六项误差，其中包括3项平动误差与3项转动误差。当沿着X轴移动时，三项平动误差分别为：定位误差δ_x(X)，Y方向上的直线度误差δ_y(X)，Z方向上的直线度误差δ_z(X)；三项转动误差分别为：滚转误差ε_x(X)，偏摆误差ε_y(X)和俯仰误差ε_z(X)。由图1可得，大型龙门五面加工中心特有的W轴为竖直方向上的运动，同理可知：对于Y轴的六项误差分别为：定位误差δ_y(Y)，X方向上的直线度误差δ_x(Y)，Z方向上的直线度误差δ_z(Y)，滚转误差ε_y(Y)，偏摆误差ε_x(Y)和俯仰误差ε_z(Y)；对于Z轴的六项误差分别为：定位误差δ_z(Z)，X方向上的直线度误差δ_x(Z)，Y方向上的直线度误差δ_y(Z)，滚转误差ε_z(Z)，偏摆误差ε_x(Z)和俯仰误差ε_y(Z)；对于W轴的六项误差分别为：定位误差δ_z(W)，X方向上的直线度误差δ_x(W)，Y方向上的直线度误差δ_y(W)，滚转误差ε_z(W)，偏摆误差ε_x(W)和俯仰误差ε_y(W)。

此外还存在5项垂直度误差，垂直度误差指X、Y、Z、W坐标轴之间因正交而形成的误差。理想状态下坐标轴之间两两互相垂直(Z轴与W轴除外)，因装配等因素引起两垂直轴之间并没有完全垂直，造成小角度偏差。S_xy表示X轴与Y轴之间垂直度误差，S_yz表示Y轴与Z轴之间的垂直度误差，S_zx表示Z轴与X轴之间的垂直度误差，S_yw表示W轴与Y轴之间的垂直度误差，S_wx表示W轴与X轴之间的垂直度误差。

2、融合模拟退火粒子群算法(SAPSO)和Levenberg-Marquardt(L-M)算法的大型龙门五面加工中心几何误差快速辨识

2.1、基于多体系统的大型龙门五面加工中心几何误差建模

建立机床的通用几何误差模型，在多体系统理论与其次坐标变换理论基础上，将机床分为工件分支与刀具分支，得到刀具相对于床身、工件相对于床身的位置矩阵，分别建立理想情况下与误差状态下刀具相对于工件的位置矩阵，从此得到机床的通用误差模型。

2.1.1、工件运动链齐次坐标变换

(1)由床身R到X轴的齐次坐标变换

X轴在机床上移动时，存在6项几何误差：δ_x(X)、δ_y(X)、δ_z(X)、ε_x(X)、ε_y(X)、ε_z(X)，那么X轴相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

则床身R到X轴坐标系的包含几何误差的齐次坐标变换矩阵为：

设工件理论加工点在工件坐标系中的位置坐标矢量为：T_B＝[X_B Y_B Z_B 1]^T。那么工件B相对于机床床身R的包含几何误差的齐次坐标变换矩阵为：

2.1.2、刀具运动链的齐次坐标变换

大型龙门五面加工中心的Z轴与W轴都是竖直方向上的运动，因此分别固定Z轴与W轴进行建模。

(1)固定Z轴

可得由床身R到W轴的齐次坐标变换、由W轴到Y轴的齐次坐标变换、由Y轴到刀具的齐次坐标变换分别为：

假设机床刀具尖端在刀具坐标系中的位置坐标矢量为：T_t＝[0 0 0 1]^T,那么刀具刀尖T相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

(2)固定W轴

可得由床身R到Y轴的齐次坐标变换、由Y轴到Z轴的齐次坐标变换、由Y轴到刀具的齐次坐标变换分别为：

假设机床刀具尖端在刀具坐标系中的位置坐标矢量为：T_t＝[0 0 0 1]^T,那么刀具刀尖T相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

2.1.3、大型龙门五面加工中心几何误差模型

在得到工件相对于机床的齐次坐标变换矩阵与刀具相当于机床的齐次坐标变换矩阵后，这两个矩阵的差值即为刀尖和工件的相对位移误差矩阵，即机床的几何误差矩阵：

求解时，舍去误差三次项及高此项，可得到化简后沿X、Y、Z坐标轴运动的几何误差模型。

2.2、大型龙门五面加工中心误差快速辨识

2.2.1、基于球杆仪的误差辨识原理

几何误差参数辨识方法的研究是数控机床几何误差检测的重要内容，国内外学者对此作了大量的研究。目前，相对较成熟的几何误差参数辨识的主要方法有：9线法、12线法、球杆仪辨识法。

球杆仪是机床精度分析的标准设备，通过高精度位移传感器，利用机床的两轴联动做圆弧插补通过分析圆弧的半径变化和弧线的轨迹特征，再通过分析软件分析数据。本文采用Renishaw的QC20球杆仪对机床进行测量分析，将QC20球杆仪安装在工作台上，安装时应小心注意避免碰撞，否则严重影响测量精度。调整室温至机床工作温度，并在空载状态下分别在X-Y、X-Z、Y-Z、X-W、Y-W平面内作圆弧运动。

得到XY、XZ、YZ、XW、YW平面径向误差数据如表1。

表1 XY、XZ、YZ、XW、YW平面径向误差值

将球杆仪测量数据代入机床几何误差模型中，可得到关于21项几何误差参数的超定方程组。超定方程组指方程组个数多于未知数个数的方程组。超定方程组一般无精确解，多数情况下求其某种意义上的近似解。求解超定方程组便可计算出各项几何误差值。基于球杆仪测量的几何误差辨识关键在于超定方程组的准确快速求解，现有的求解球杆仪超定方程组常用的是单纯性粒子群算法，该算法能有效求解出方程组的解，但此算法极易陷入局部最优解以及求解速度慢。

2.2.2、数控机床几何误差辨识算法

粒子群优化算法是一种进化计算技术，源于对鸟兽捕食的行为研究。粒子根据如下公式来更新自己的速度和新的位置。

x_ij(t+1)＝x_ij(t)+V_ij(t+1)

粒子群算法具有记忆性且搜索速度快参数少结构简单等优点，但其极易陷入局部最优导致收敛精度低和不易收敛。

模拟退火算法是一种通用概率算法，用来在一个大的搜索空间内寻找问题的最优解。思想源于固体的退火过程，即将固体加热至足够高的温度，再缓慢冷却，最后在常温时达到基态，内能减为最小。模拟退火算法计算过程简单，通用性、鲁棒性强，可用于求解复杂的非线性优化问题但其收敛速度慢执行时间长等缺点。

L-M算法是梯度下降法与高斯牛顿法的结合。当μ增大时，算法与梯度下降法相似，发挥其全局特性；当μ减小时，算法接近高斯牛顿法，发挥其局部收敛特性。L-M算法采用近似的二阶导数信息，所需迭代时间较少，收敛非常迅速，算法稳定性较好，避免陷入局部最小值。其迭代公式为：

μ_k+1＝μ_k-(A_k ^TA_k+μl)^-1A_k ^Te_k

L-M算法既有高斯牛顿法局部收敛性，又有梯度下降法的全局特性，但L-M算法对初值有极高的要求。

针对上述算法的优缺点，提出模拟退火粒子群算法结合L-M算法，结合模拟退火粒子群算法与L-M算法的优点，提出一种求解此非线性方程组的混合算法。该混合算法成分发挥粒子群算法的群体搜索能力，模拟退火算法在搜索过程中具有概率突跳的能力，能够有效地避免搜索过程中陷入局部极小解和L-M算法的局部细致搜索性。

结合上述要求其算法步骤如下：

S1、随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

S2、评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应度值存储在各微粒的Pi中，将所有的Pbest中适应值最优的个体的位置和适应度值存储于Pg中；

S3、确定初始温度，具体为：

S4、由下式确定当前温度下各Pi的适配值：

S5、利用轮盘赌策略从所有Pi中确定一个全局的最优代替值Pg，再由下式来更新各个微粒的速度与位置：

x_ij(t+l)＝x_ij(t)+V_j(t+1)

S6、计算各个微粒的目标值，更新各微粒的Pi值及群体的Pg值；

S7、计算退温操作，具体为T_k+1＝CT_k，C∈(0.5,0.99),取值决定了降温的过程；

S8、若满足停止条件，停止搜索输出结果，并进行后续步骤，否则重复步骤S4～S8；

S9、将上述的群体最优解Pg作为LM算法的初值；

S10、令k＝0，计算若||g(x_k)||≤ε，停算，输出x_k为近似极小点；

S11、求方程组解得d_k；

S12、令m_k为满足的最小非负整数m，令α_k＝β^mk，x_k+1＝x_k+α_kd_k；

S13、更新μ_k的值，令k＝k+1，转步骤S10；

其中c₁与c₂为加速因子；r₁与r₂为0与1之间的随机数；t为迭代次数；N为粒子数；β与σ为0与1间参数；μ₀大于0；ε为容许误差。

3、实验及分析

3.1、大型龙门五面加工中心几何误差

通过模拟退火粒子群结合L-M算法编写MATLAB程序求解超定方程组可解得大型龙门五面加工中心的各项几何误差系数如表2。

表2 SAPSO-LM算法解的大型龙门五面加工中心几何误差

比较分析：球杆仪QC20在测量中可得大型龙门五面加工中心的几何误差中的垂直度误差，分别对比单纯形粒子群算法结果和SAPSO-LM算法结果如表3。

表3两种算法得到垂直度误差与球杆仪测的误差比较

由表3可得图2和图3，显然SAPSO-LM算法辨识得到的垂直度误差相对单纯形粒子群算法差值更小。

3.2、补偿后实验验证

分别将单纯形粒子群算法辨识的结果和SAPSO-LM辨识的结果代入误差补偿模型中，分别得到补偿后的数控程序。然后分别将三段程序(补偿前程序、单纯形粒子群算法辨识后补偿程序、SAPSO-LM算法辨识补偿程序)代入机床并运行得到球杆仪结果。

大型龙门五面加工中心几何误差补偿前球杆仪测得结果如图4、图5与表4所示，

表4补偿前球杆仪运行误差数据

大型龙门五面加工中心几何误差采用单纯形粒子群算法补偿后球杆仪测得结果如图6、图7与表5所示，

表5单纯形粒子群算法补偿后球杆仪运行误差数据

大型龙门五面加工中心几何误差采用SAPSO-LM算法补偿后球杆仪测得结果如图8、图8与表6所示，

表6 SAPSO-LM算法补偿后球杆仪运行误差数据

对比图4、图5、图6、图7、图8和图9可知，单纯形粒子群算法能有效地补偿数控机床的几何误差误差，但是SAPSO-LM算法辨识下补偿的效果明显优于单纯形粒子群算法。

4、结论

为了提高大型龙门五面加工中心的几何精度，建立机床的几何误差模型，提出SAPSO-LM算法辨识机床的几何误差系数，并建立机床的误差补偿模型。通过球杆仪的动态性能测试，确定了算法的有效性并优于单纯形粒子群算法。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不以本发明为限制，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法，先建立机床的几何误差模型，采用球杆仪对机床进行测量分析，将球杆仪的测量数据代入几何误差模型中，得到多项几何误差参数的超定方程组；对超定方程组进行求解，得到各项几何误差值；其特征在于，先采用模拟退火粒子群算法得到群体最优解，再将群体最优解作为LM算法的初值对上述超定方程组进行仿真求解。

2.如权利要求1所述的大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法，其特征在于，在对超定方程组进行求解时，具体采用如下步骤：

S1、随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

S2、评价每个微粒的适应度值，将当前各微粒的位置和适应度值存储在各微粒的Pi中，将所有的Pbest中适应值最优的个体的位置和适应度值存储于Pg中；

S3、确定初始温度；

S4、由下式确定当前温度下各Pi的适配值：

S5、利用轮盘赌策略从所有Pi中确定一个全局的最优代替值Pg，再由下式来更新各个微粒的速度与位置：

x_ij(t+1)＝x_ij(t)+V_ij(t+1)

S6、计算各个微粒的目标值，更新各微粒的Pi值及群体的Pg值；

S7、计算退温操作；

S8、根据预先设定的运算精度或程序迭代次数，判断迭代是否达到终止条件，若满足终止条件，停止搜索输出结果，并进行后续步骤，否则重复步骤S4～S8；

S9、将上述的群体最优解Pg作为LM算法的初值；

S10、令k＝0，计算若||g(x_k)||≤ε，停算，输出xk为近似极小点；

S11、求方程组解得d_k；

S12、令m_k为满足的最小非负整数m，令α_k＝β^mk，x_k+1＝x_k+α_kd_k；

S13、更新μ_k的值，令k＝k+1，转步骤S10；

其中c₁与c₂为加速因子；r₁与r₂为0与1之间的随机数；t为迭代次数；N为粒子数；β与σ为0与1间参数；μ₀大于0；ε为容许误差。

3.如权利要求1所述的大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法，其特征在于，机床的几何误差模型采用如下步骤建立：

先确定机床的几何误差，其中，

沿X轴移动的误差分别为：定位误差δ_x(X)，Y方向上的直线度误差δ_y(X)，Z方向上的直线度误差δ_z(X)，滚转误差ε_x(X)，偏摆误差ε_y(X)和俯仰误差ε_z(X)；

沿Y轴移动的误差分别为：定位误差δ_y(Y)，X方向上的直线度误差δ_x(Y)，Z方向上的直线度误差δ_z(Y)，滚转误差ε_y(Y)，偏摆误差ε_x(Y)和俯仰误差ε_z(Y)；

沿Z轴移动的误差分别为：定位误差δ_z(Z)，X方向上的直线度误差δ_x(Z)，Y方向上的直线度误差δ_y(Z)，滚转误差ε_z(Z)，偏摆误差ε_x(Z)和俯仰误差ε_y(Z)；

沿W轴移动的误差分别为：定位误差δ_z(W)，X方向上的直线度误差δ_x(W)，Y方向上的直线度误差δ_y(W)，滚转误差ε_z(W)，偏摆误差ε_x(W)和俯仰误差ε_y(W)；

再确定X、Y、Z、W坐标轴之间因正交而形成的垂直度误差，包括X轴与Y轴之间垂直度误差S_xy，Y轴与Z轴之间的垂直度误差S_yz，Z轴与X轴之间的垂直度误差S_zx，W轴与Y轴之间的垂直度误差S_yw和W轴与X轴之间的垂直度误差S_wx；

将机床分为工件分支与刀具分支，分别得到工件相对于机床的位置矩阵和刀具相当于机床的位置矩阵，二者的差值即为刀具和工件的相对位移误差矩阵，即机床的几何误差矩阵。

4.如权利要求3所述的大型龙门五面加工中心的几何误差快速辨识方法，其特征在于，工件相对于机床的位置矩阵采用如下方式获得：

X轴相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

则床身R到X轴坐标系的包含几何误差的齐次坐标变换矩阵为：

若工件理论加工点在工件坐标系中的位置坐标矢量为：

T_B＝[X_B Y_B Z_B 1]^T

则工件B相对于床身R的包含几何误差的齐次坐标变换矩阵为：

刀具相当于机床的位置矩阵采用如下方式获得：

先固定Z轴，获得床身R到W轴的齐次坐标变换、由W轴到Y轴的齐次坐标变换、由Y轴到刀具的齐次坐标变换分别为：

若机床刀具尖端在刀具坐标系中的位置坐标矢量为：

T_t＝[0 0 0 1]^T

则刀具刀尖T相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

再固定W轴，获得床身R到Y轴的齐次坐标变换、由Y轴到Z轴的齐次坐标变换、由Y轴到刀具的齐次坐标变换分别为：

若机床刀具尖端在刀具坐标系中的位置坐标矢量为：

T_t＝[0 0 0 1]^T

则刀具刀尖T相对于床身R的含有几何误差的齐次变换矩阵为：

将刀具相当于机床的齐次坐标变换矩阵减去工件相对于机床的齐次坐标变换矩阵得到刀尖和工件的相对位移误差矩阵，即机床的几何误差矩阵：

对进行求救，并舍去误差三次项及高次项，得到简化后的沿X、Y、Z坐标轴运动的几何误差模型。