Matematicas

 

Lei matematicas an una lònga tradicion dins totei lei pòbles; foguèron la premiera disciplina a se dotar de metòdes d'auta rigor e portada, e a obtenir ansin l'estatut de sciéncia; an progressivament alargat lei tèmas de sa recèrca e estendut lei domenis que pòdon ajudar en matèria de calcul e de modelizacion.

Dins lo corrent de sa lònga istòria, e dins lei divèrseis environas culturalas, i aguèt de pontannadas de gròs progrès, e de pontannadas d'estanhacion deis estudis. Vèn en partida de l'importància dei quauquei personas capablas de portar d'innovacions prefondas e illuminativas e d'estimular la recèrca matematica. I aguèt tanben de pontannadas de reculament dei conoissenças e dei metòdes: mai se rescontrèron solament après de destruccions o en d'epòcas de decadéncia totala de la vida intellectuala e sociala. Dempuei 500 ans, còmpte tengut dau melhorament dei mejans de comunicacion, lo capitau de resultats e de metòdes s'es progressivament desvolopat.

Tot aquò s'apren a la natura deis activitats matematicas. Aquestei d'aicí tendon de lònga an una presentacion precisa dei problèmas e dei solucions, çò qu'impausa de comunicar en avent per tòca finala la possibilitat d'esclarzir totei lei detalhs dei construccions logicas e dei resultats (cèrts esclarziments exigisson un investiment important, de desenas d'ans de còps que i a). Es per aquò que i a pas d'exemple d'error matematica majora que seriá pas estada lèu reconeguda e corregida, o aumens senhalada.

Se destria actualament en matematicas tres grandei brancas mutualament liadas:

• l'algèbra (exemples: algèbra lineara, matematicas discrètas)
• l'analisi (exemples: eqüacions diferencialas, teoria de la mesura, calcul dei probabilitats)
• la geometria, au jonhent de l'algèbra e de l'analisi (exemples: geometria euclidiana, geometria diferenciala)

Lei liames entre aquelei brancas e leis usatges que caduna fa de l'autra son mai que prefonds e fondamentaus. La teoria dei nombres, en particular la reflexion sus lei nombres premiers, es exemplara a regard d'aquò: a l'origina confonduda amb l'aritmetica elementària, s'es transformada au sègle XIX en una teoria onte l'analisi es venguda indispensabla. Au sègle XX, la geometria algebrica es venguda la terranha naturala acampant au còp metòdes algebrics, topologics e geometrics per afrontar lei problèmas de la teoria dei nombres, per exemple la conjectura de Fermat, venguda gràcias an aquel apròchi novèu lo teorèma d'Andrew Wiles en 1994. Aqueu teorèma se formula en tèrmes algebrics, mai sa demostracion fa un usatge massís de matematicas liadas tant a l'algèbra coma a l'analisi e a la geometria.

Teorèma de Wiles:

per tot entier naturau ${\displaystyle n}$  superior o egau a 3, l'eqüacion ${\displaystyle \ x^{n}+y^{n}=z^{n}}$  a ges de solucion entiera ${\displaystyle \ (x,y,z)}$  tala que ${\displaystyle xyz\neq 0}$ .

L'algèbra es la partida dei matematicas qu'estúdia leis estructuras algebricas. Se pòt destriar de sotadisciplinas, per exemple:

• La teoria dei grops
• L'algèbra lineara e multilineara
• La teoria de Galois (qu'un de sei resultats remarcables es l'impossibilitat, en generau, de resòuvre per radicaus leis eqüacions algebricas)
• L'algèbra omologica (fòrça utila en geometria)

En mai de son desvolopament intrinsec, es necessària a l'analisi e la geometria per progressar. Son interès per aquestei darrieras vèn dau fach que d'estructuras algebricas se retròban dins de domenis nombrós.

Per exemple, lo lengatge e lei teorèmas de l'algèbra lineara permeton de comprendre en prefondor de domenis a priori fòrça alunhats, pron qu'agan una estructura lineara:

• leis eqüacions diferencialas linearas d'òrdre ${\displaystyle n}$  (aquelei que fan intervenir la derivada ${\displaystyle n}$ -ena de la foncion inconeguda) an exactament ${\displaystyle n}$  solucions independentas, donc de comportament diferent.
• en analisi, diferenciar una foncion consistís a l'aprochar localament per una foncion afina (soma d'una constanta e d'una foncion lineara). Ansin, leis instruments de l'algèbra lineara (o bilineara) vènon indispensables per saupre s'un ponch critic (que se pòt determinar analiticament) d'una foncion diferenciabla es un ponch d'extremum (minimum, maximum) o un ponch còl.

L'analisi es la partida dei matematicas qu'a inicialament per objècte principau l'estudi dei foncions de variablas realas, en çò que pertòca lei nocions de limit, de derivada e d'integrala. Emai ague de precursors tre l'Antiquitat (Arquimèdes), l'analisi comença fondamentalament amb Newton e Leibniz, inventors au sègle XVII dau calcul infinitesimau.

Se i pòt destriar mai d'un domeni, per exemple:

• Leis eqüacions diferencialas. Son d'eqüacions liant una foncion inconeguda e d'unei de sei derivadas successivas; entre lei questions importantas pertocant lei solucions, citem: l'existéncia, l'unicitat, lo comportament qualitatiu o quantitatiu au bòrd dau domeni de definicion (per exemple, se la variabla es lo temps, coma se compòrta a tèrme lòng una solucion).
• L'analisi de Fourier que permete de descompausar una foncion en soma d'armonics (serias de Fourier, transformacion de Fourier). Es essenciala en teoria dau senhau.
• Lo calcul dei probabilitats: modeliza leis fluctuacions de l'azard. A l'origina associat ai matematicas discrètas (jòcs de rèsta: lançament de dats, tiratges de cartas...), es estat finalament provesit per Kolmogorov d'una axiomatica fòrça mai generala, fondada sus la teoria de la mesura; la probabilitat d'un eveniment es l'integrala d'una cèrta foncion liada a la natura dau modèl (per exemple, una densitat gaussiana se se mesura la talha d'una persona presa a l'azard dins una populacion omogenèa), sus un cèrt domeni (una «forqueta» dins aquest exemple, quand se cèrca la probabilitat que la talha siá compressa entre doas valors donadas).

Pasmens, l'analisi se limita pas ai foncions de variablas realas. Un capítol important, creat au sègle XIX per Cauchy, Riemann e Weierstrass, estúdia lei foncions analiticas de variablas complèxas: es la teoria dei foncions olomòrfas. Existís d'autrei generalizacions de la nocion de foncion, coma la nocion recenta de distribucion, deguda a Laurent Schwartz.

 

Es una disciplina atestada tre l'Antiquitat, e lo tèrme de geomètra foguèt fins au sègle XIX sinonim de «matematician». L'objècte de la geometria es de comprendre la natura dei figuras d'un espaci, e lei relacions que s'establisson entre elei. Espaci pòt designar per exemple: l'espaci euclidian classic, un espaci vectoriau pus generau, un espaci corbe o varietat diferenciabla...

Segon la concepcion modèrna formulada en 1872 per Fèlix Klein, una geometria se definís per un ensemble de ponchs e un grop de transformacions bijectivas d'aquel ensemble, e s'interèssa ai proprietats invariantas per leis elements dau grop.

Se pòt destriar mai d'un domeni de la geometria, per exemple:

• la geometria euclidiana
• la geometria diferenciala, qu'estúdia (localament o globalament) lei corbas, lei superfícias, e pus generalament lei varietats diferenciablas
• lei geometrias non euclidianas

L'activitat matematica s'interèssa naturalament ai generalizacions e abstraccions possiblas, en relacion amb leis esparnhes de pensada e lei melhoraments deis instruments (en particular leis instruments de calcul) qu'es portada a realizar. Sovent, lei generalizacions e lei abstraccions menan puei en de visions pus aprefondidas dei problèmas e en de sinergias importantas entre de recèrcas pertocant de questions inicialament sensa rapòrt.

Dins lo corrent dau desvolopament dei matematicas, se pòt notar de pontannadas e d'environas onte prevalon alternativament d'actituds generalas e de valors que se pòdon reduire en dos tipes de motivacions e d'apròchis: lei motivacions practicas que butan a descurbir de procediments eficaç (per exemple dins la resolucion de problèmas industriaus e tecnologics), e leis exigéncias de creacion d'un sistèma conceptuau amb sa tendéncia a la generalizacion e a l'abstraccion.

Entre aquelei doas menas d'actituds, i a de còps una oposicion, e mai charpinosa, mai en generau s'enriquisson mutualament e desvolopan de sinergias. Dins lei 30 o 40 darriers ans, i a agut, entre aqueleis actituds, un cèrt equilibri, amb de tensions, e tanben d'episòdis d'assisténcia mutuala. An aquel estat de causas contribuís mai que mai lo desvolopament espectaclós de l'informatica, e amb ela, de la partida algoritmica dei matematicas.

Lei matematicas sièrvon de lengatge o de supòrt en de sciéncias fòrça nombrosas (naturalas o umanas) afin de quantificar cèrts fenomèns. S'utilizan tanben per predire de formas e efectuar de prediccions qualitativas.

Lo principi de la matematizacion es aquest: una sciéncia donada, o una sotatematica de la sciéncia (par exemple la biologia o la termodinamica) selecciona cèrts paramètres supausats quantificables (lo temps, lo nombre de bactèris, la temperatura, lo pòrtafuelha d'un accionari) qu'entre elei s'es constatat de relacions (la populacion bacteriana creisse amb lo temps, la temperatura e la pression son liadas). Una eqüacion, fòrça sovent diferenciala, lia d'unei d'aquelei paramètres entre elei, e establís ansin d'un biais quantitatiu son interdependéncia. L'estudi matematic d'aqueleis eqüacions va permetre, après retorn ais èssers reaus associats ai paramètres, de predire, valent a dire de constatar de relacions novèlas entre lei tèrmes. En ecologia per exemple, una foncion pòt modelizar lo rapòrt entre una espècia e una autra espècia predatritz; l'estudi matematic de la foncion quand lo temps tende vèrs l'infinit va anonciar se lo sistèma ecologic evoluirà vèrs un sistèma estable e equilibrat, o ben (per exemple) s'una deis espècias dispareisserà.

Istoricament, fisica e matematicas son prefondament liadas. Se coneis la frasa famosa de Galilei, fondator de la fisica modèrna: Lo libre de la natura es escrich en lengatge matematic. L'astronomia, per exemple, es estada un dei motors principaus de l'emergéncia de la disciplina matematica.

Puei, fins a la fin dau sègle XIX, lei matematicians seràn tanben fisicians (e sovent filosòfs). Se pòt destriar mai d'un rapòrt de naturas diferentas entre lei doas sciéncias:

• una teoria fisica novèla reclama un instrument matematic. Dos cas:
  • l'instrument existís ja (per la relativitat generala: la geometria riemanniana)
  • l'instrument se deu inventar (per la mecanica classica: lo calcul diferenciau e integrau)
• una teoria matematica novèla encoratja lei fisicians a explorar pus luenh sa teoria.
• una teoria fisica novèla duerbe de perspectivas matematicas quand l'instrument matematic utilizat per lei fisicians es encara an un estadi euristic, valent a dire que demanda d'èsser mes en forma d'un biais rigorós (leis integralas de Feynman ne son un exemple tipic).

• quimia: parcialament matematizada
• biologia e sciéncias de la Tèrra: usage parciau dei matematicas

Son rapòrt amb lei sciéncias umanas se fa essencialament per leis estatisticas e lo calcul dei probabilitats, mai tanben per d'eqüacions diferencialas, en economia e en finança:

• sociologia
• psicologia
• economia, finança, gestion

Aqueu rapòrt es controversiat, estent la natura umana d'aquelei sciéncias, e lo refús per d'unei, dins aqueu domeni, dau determinisme que lei matematicas li son naturalament estacadas.

Matematizacion significa pas autenticitat scientifica. D'efècte, lei postulats d'una «pensada» pòdon èsser extremament problematics, e mai folastres, mai se son quantificables, pòdon donar luòc en de calculs complèxes. Un cas evident es aqueu de l'astrologia, que sei postulats, supausant una influéncia dei planetas sus lo comportament uman, son rebutats quasi unanimament per la comunautat scientifica.

Fòrça mai subtil es lo cas de l'economia matematica. Lo postulat fondamentau d'aquela disciplina es que l'activitat economica se pòt comprendre a partir d'un axiòma de natura antropologica, aqueu de l'actor individuau racionau. Dins aquela vision, cada individú cèrca per seis accions d'acréisser un cèrt profiech d'un biais racionau. Aquela mena de vision atomista de l'economia permete an aquesta d'aicí de matematizar pron aisadament sa reflexion, puei que lo calcul individuau se transpausa en calcul matematic. Pasmens, cèrts sociològs, coma P. Bourdieu, e mai cèrts economistas, refusan aqueu postulat de l'homo œconomicus, en remarcant que lei motivacions deis individús comprenon non solament lo don, mai dependon tanben d'autres engatges que l'interès financier n'es qu'una partida, o simpletament son pas racionalas. La matematizacion es donc segon elei ren qu'una semblança permetent una valorizacion scientifica de la disciplina.

L’origina istorica dei matematicas es liada a sei premiereis aplicacions concrètas: lo comèrci, la mesura dei superfícias, la prediccion deis eveniments astronomics.

Inicialament viradas vèrs la mesura (geometria) e lo comptatge (aritmetica), lei matematicas se viran lèu vèrs l'abstraccion. Lei matematicians grècs amb Euclides e seis Elements li aduson sei premiereis estructuras axiomaticas, puei son passatge en cò dei matematicians de lenga aràbia permete la fusion amb lei coneissenças orientalas e la creacion dau sistèma d'escritura numerica aràbia.

Dins lo corrent dei sègles XVI e XVII, es en Euròpa que se desvolopa un aspècte novèu dei matematicas. La creacion d'un lengatge simbolic (Viète e Descartes) permete lo desvolopament dau calcul algebric, mentre que Newton e Leibniz, metent en plaça lo calcul infinitesimau, fornisson leis instruments necessaris au desvolopament de l'analisi.

Au sègle XIX, lei matematicians son portats a explicitar d'estructuras algebricas: grops (Évariste Galois), anèus (Richard Dedekind), còrs, espacis vectoriaus (Giuseppe Peano), espacis projectius... Es lo desvolopament d'una branca novèla dei matematicas: l'algèbra generala.

Lo sègle XIX vei amb Georg Cantor e David Hilbert lo desvolopament d'una teoria axiomatica de totei leis objèctes estudiats, que mena au problèma dei fondaments dei matematicas. Aqueu desvolopament de l'axiomatica menarà au sègle XX a cercar de definir totei lei matematicas per mejan d'un lengatge: la logica.

Dins lo corrent dau sègle XX, lo desvolopament de l'instrument informatic fa enregar una draia novèla ai matematicas: aquela de la modelizacion e de la numerizacion.

Dins lo corrent dei dos mila ans passats, lei matematicas an cercat, d'una part de fornir d'instruments utilizables per leis autrei sciéncias (fisica, geografia; astronomia...) e d'autra part de resòuvre de problèmas nascuts en son dintre coma la qüadratura dau ceucle, lei nombres constructibles, la conjectura de Fermat, l'ipotèsi de Riemann, la conjectura de Poincaré, lei proposicions indecidiblas, lei problèmas NP-complèts...

Lei teorias deis ensembles, desvolopadas inicialament a la fin dau sègle XIX, son de teorias fòrça generalas que donan un quadre onte de matematicians esperèron de poder formular e provar totei lei coneissenças matematicas. Espèr condemnat fin finala a pas capitar: vejatz logica matematica. Citem un exemple de matematicas usualas, e que se reduson pas en la teoria deis ensembles: la teoria dei categorias.

La logica enóncia lei règlas, o principis, que fau respectar per faire de deduccions corrèctas. Coma tota sciéncia exacta, la matematica se fonda sus lo principi dau tèrç exclús: tota proposicion (senada) es siá veraia siá faussa. Una deduccion consistís a partir de premissas per arribar an una conclusion en procedissent per etapas logicas.

En matematicas, l’estudi de la forma dau rasonament, independentament de seis objèctes, a una importància cruciala. Mostrem-o sus un exemple. Lei meteis axiòmas, aquelei deis espacis vectoriaus, se pòdon utilizar au còp per estudiar d'espacis geometrics, coma l’espaci euclidian, e per estudiar l’ensemble dei solucions d’una eqüacion diferenciala lineara. Lei teorèmas sus leis espacis vectoriaus son donc valables au còp per la geometria euclidiana e per leis eqüacions diferencialas linearas. La teoria abstracha deis espacis vectoriaus consistís a estudiar lei formas de deduccions que parton dei meteis axiòmas, independentament dau contèxte, valent a dire deis objèctes particulars que li son aplicadas aquelei deduccions.

Aquela definicion convèn ben ai matematicas aplicadas. Fòrça teorias abstrachas (lei nombres entiers, lei nombres reaus, lei foncions realas de variablas realas e leis eqüacions diferencialas, leis espacis vectoriaus, lei grops, lo calcul dei probabilitats,...) an una utilitat generala per totei lei sciéncias, perque se pòdon aplicar en d'objèctes nombrós. L'òbra dei matematicas aplicadas consistís a desvolopar de teorias, que sa valor es universala, en vista d’ajudar ais autrei sciéncias.

Coma activitat umana, practicada per d'umans, lei matematicas s'aluenhan pasmens dau modèl d'una construccion, segon lei lèis de la logica, e independenta dau reau. Citem un fach e un fenomèn per illustrar aiçò. D'en premier, ges de demostracion matematica siègue formalament lei lèis de la logica, simplament perque la traduccion d'enonciats matematics complèxes en lengatge totalament formalizat es umanament impossibla (e, probable, sens interès).

L'acceptacion de la veracitat d'una demostracion se fonda donc in fine sus un consensus d'especialistas. Ansin, la fisança de la comunautat matematica dins un de sei membres prepausant un resultat novèu es capitala dins la recepcion d'aqueu resultat, d'aitant mai s'es imprevist o que modifica lo biais de veire lei causas. Se pòt prendre per exemple istoric lei controvèrsias sus lei geometrias non euclidianas au sègle XIX, onte leis òbras de Lobatchevsky foguèron largament ignoradas; o ben, dins un autre domeni, la non recepcion per Cauchy, captau monarquista, deis òbras dau jove republican Galois au començament dau meteis sègle. Se poiriá multiplicar de taus exemples amb totei lei variacions desiradas (plaça dei fremas, nacionalisme, nepotisme...)

L'universalitat manifèsta dei matematicas e son eficacitat son, aumens dempuei l'Antiquitat grèca, la fònt de questions filosoficas e metafisicas. L'Istòria deis Idèas es intimament liada a la reflexion sus la natura dei matematicas. Se pòt destriar tres grandei questions:

• Quin es lo mòde d'existéncia deis objèctes matematics? Son reaus? tombant lo cas, de quina realitat se tracta? Es ren qu'una produccion de la pensada?
• Perqué lei matematicas semblan universalas?
• Perqué lei matematicas, creacion de l'esperit, permeton de comprendre un aspècte de l'univèrs?

« Degun intre aicí se non es geomètra », èra gravat sus lo portau de l'Escòla de Platon. Per aqueu filosòf, lei matematicas son un intermediari per accedir au reiaume deis Idèas.

En çò que pertòca lei matematicas, Aristòtel es encara fòrça emprench de platonisme. L'univèrs en delà de la Luna, leis estèlas e lei planetas, pòdon èsser comprés per lei matematicas, car s'ordenan segon de lèis etèrnas e perfiechas. En revenge, per Aristòtel, lo monde sublunar es cambiadís e movedís, e la fisica pòt de ges de biais pretendre aquerir la rigor e l'universalitat dei matematicas.

Lo logicisme considèra que lei matematicas son entierament inclusas dins l'ensemble dei connexions logicas elementàrias, teoricament explicitablas, que compausan una demostracion.

« La simpla possibilitat de la sciéncia matematica sembla una contradiccion insolubla. S'aquela sciéncia es deductiva ren qu'en aparéncia, d'onte li vèn aquela rigor perfiecha que degun pensa de metre en dobte? Se, au contrari, totei lei proposicions qu'enóncia se pòdon tirar leis unei deis autrei per lei règlas de la logica formala, coma va que la matematica se redugue pas an una tautologia immensa? Lo sillogisme nos pòt ren aprendre d'essencialament novèu e, se tot deviá sortir dau principi d'identitat, tot deuriá tanben se i poder reduire. », Henri Poincaré, La Sciéncia e l'ipotèsi.

Lei constructivistas admeton que lei matematicas construchas. Pus tecnicament, accèptan dins lei demostracions que leis inferéncias finidas. Per exemple, se refusa lo rasonament per recurréncia e mai l'axiòma de la chausida. Lei demostracions per reduccion a l'absurd son tanben refusadas, puei que menan a l'existéncia de l'èsser matematic solament per l'impossibilitat de son non-èsser, e non pas per l'explicitacion dirècta de son existéncia.

De naturas fòrça diferentas, l'art e lei matematicas an pasmens totjorn agut de relacions fruchosas.

 

Es una constatacion comuna que s'atribuís una cèrta beutat ai figuras simetricas. Una simetria d'una figura geometrica es, informalament, l'existéncia d'un motiu de la figura que se reprodutz segon una règla precisa. Matematicament, se ditz qu'una figura es simetrica s'es globalament invarianta per una accion non triviala d'un grop. Autrament dich, l'intuicion de la règla se realiza matematicament per lo fach qu'es un grop qu'agís sus la figura, e lo sentiment qu'una règla riège la simetria es precisament degut a l'estructura d'aqueu grop.

Per exemple, la simetria dau mirau es liada au grop multiplicatiu ${\displaystyle \{-1,+1\}}$ . Un parpalhon es una figura invarianta per aquela simetria, e pus generalament lo còrs deis animaus (aumens tau coma se vei exteriorament). Quand se dessenha la superfícia de la mar, l'ensemble deis ondas possedís una simetria per translacion: de desplaçar nòstre regard de la longor separant doas crestas d'ondas càmbia pas la vista qu'avèm de la mar. Un autre cas de simetria, aquest còp non isometrica, es aqueu que se tròba dins lei fractalas: un motiu donat se reprodutz a totei leis escalas de vision.

• (en) Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics (2^a edicion). Wiley. ISBN 0-471-54397-7. 
• (fr) L’enseignement des sciences mathématiques : Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques. Odile Jacob. ISBN 2-7381-1138-6. 
• (en) Maier, Annelise. At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy. University of Pennsylvania Press. 

Per accedir ais articles de matematicas, vejatz

• Categoria:Matematicas e totei sei soscategorias
• Portau:matematicas
• Lista deis articles de matematicas
• Lista dei teorèmas

• Maths linker Un indèx de ressorsas matematicas sus lo web
• Liames de matematicas dau superior Autra lista de liames
• Yakeo Bòn portau de liames per lei matematicas

• (en) Planetmath: enciclopèdia collaborativa, libra (GFDL) sus lei matematicas.
• (fr) Chronomath: una cronologia dei matematicas fòrça rica.
• (en) Mathworld-Wolfram: la pus complèta dei ressorsas en matematicas

• Maxima, lo logiciau libre (GPL) pus sofisticat per leis operacions algebricas.
• PARI/GP, un logiciau libre fòrça utilizat en teoria dei nombres.