Magnetisk moment

Et materielt system som i et ytre magnetfelt B blir utsatt for et dreiemoment T på formen

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$ ,

sies å inneha et magnetisk moment m som er en vektor tilhørende dette systemet.^[1] Da et slikt dreiemoment måles i N⋅m hvor N er newton og B-feltet angis i tesla med størrelse 1 T = 1 N/A⋅m hvor A er ampere, uttrykkes det magnetiske momentet i enheter av A·m² = J/T.

 

Da det ikke finnes magnetiske ladninger eller monopoler, vil ikke et magnetisk dipolmoment kunne oppstå på samme måte som en elektrisk dipol sammensatt av to motsatt ladete partikler. Men likevel kan man tenke seg eller modellere et magnetisk moment på denne måten som først foreslått av William Gilbert på begynnelsen av 1600-tallet. Dette bildet er ofte nyttig for å gi en enkel forklaring av noen magnetiske fenomen og er delvis støttet av moderne, elektromagnetisk teori.

I denne enkle modellen kan en stavmagnet med magnetisering M langs lengdeaksen, tilskrives fiktive, magnetiske ladninger Q_m = ± MA på dens endeflater hvis hver av disse har arealet A. Disse ladningene tilsvarer dens nord- og sydpol. På samme måte som for en elektrisk dipol, er da størrelsen av dens magnetiske moment lik med m = Q_m L = MV hvor L er lengden av magneten slik at dens volum er V = AL. Dette er i overensstemelse med at magnetisering M = m/V  er magnetisk moment per volumenhet av magneten. Da dimensjonen til M er A/m som for det magnetiske H-feltet, gir denne fenomenologiske betraktningen riktig dimensjon A·m² til det magnetiske momentet.^[1]

 

En mer korrekt forklaring av magnetiske moment ga André-Marie Ampère på begynnelsen av 1800-tallet. Basert på egne eksperiment foreslo han at all magnetisme skyldes elektriske strømmer som går i mikroskopiske sløyfer i materiens indre. Denne idéen ble i stor grad bekreftet om lag hundre år senere med atomfysikken hvor disse ampèrske strømmer identifiseres med elektronenes runddans rundt atomkjernene.

En elektrisk leder som har form av et rektangel med sidekanter a og b og som fører en strøm I, er et enkelt eksempel på en slik strømsløyfe. Befinner denne sløyfen seg i et ytre magnetfelt B, vil hver side s bli påvirket av kraften F = I s × B som derfor står vinkelrett på siden. Hvis man nå antar at magnetfeltet er rettet langs z-aksen og sidene med lengde a er parallelle med x-aksen, vil disse to sidene være påvirket av motsatt krefter rettet langs y-aksen ifølge høyrehåndsregelen og med størrelse F = IaB. I alminnelighet danner sløyfen vinkelen θ med xy-planet slik at disse to kreftene tilsammen gir et dreiemoment med størrelse N = Fb sinθ. Kreftene på de to andre sidene i rektangelet virker langs samme linje og gir derfor ikke noe dreiemoment.

På vektorform kan dette resultatet skrives som N = m × B slik at det magnetiske momentet til sløyfen blir m = I S. Her har vektoren S samme størrelse som arealet S = ab av sløyfen og en retning vinkelrett på denne bestemt ved retningen av strømmen og høyrehåndsregelen. Størrelsen til det magnetiske momentet er strømsløyfens areal multiplisert med strømmen den fører.

Man finner det samme resultat for en sirkulær strømsløyfe.^[2] En spole med N vindinger og radius a, kan betraktes som N slike sløyfer som fører samme strøm I. Det totale, magnetiske moment til spolen er derfor m = IN S som er rettet langs dens akse og hvor nå S = π a².

I det generelle tilfellet kan dreiemomentet på en vilkårlig strømsløyfe finnes fra den differensielle kraften d F = Id s × B som virker på hver lite linjeelement d s av sløyfen. Det totale dreiemomentet er dermed gitt ved lukkete linjeintegralet

${\displaystyle \mathbf {T} =I\oint \!\mathbf {r} \times (d\mathbf {s} \times \mathbf {B} )}$ 

Når magnetfeltet er konstant, kan dette forenkles til formen T = m × B hvor nå det magnetiske momentet for strømsløyfen er gitt ved det generelle uttrykket

${\displaystyle \mathbf {m} ={1 \over 2}I\oint \!\mathbf {r} \times d\mathbf {s} }$ 

Dette er igjen av formen m = I S hvor nå komponentene til vektoren S er arealene til projeksjonene av sløyfen på de tre koordinatflatene.^[3]

Går en partikkel med elektrisk ladning q rundt i en sirkelbane med radius r med periode T, vil dette utgjøre en lukket sløyfe med strømmen q/T. Den vil dermed ha et magnetisk moment μ = (q/T)π r². Foregår denne bevegelsen med konstant hastighet v, vil sirkelens omkrets 2π r = vT slik at μ = qrv/2. Dette kan uttrykkes ved partikkelens dreieimpuls L = mrv når den har massen m. Det magnetiske momentet for denne sirkulerende ladningen kan dermed skrives som

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={q \over 2m}\mathbf {L} }$ 

der dreieimpulsvektoren L = m r × v angir retningen til denne magnetiske dipolen.^[2] Dette resultatet kommer man også frem til ved å skrive d s = vdt i det mer generelle uttrykket for det magnetiske momentet hvor så det lukkete linjeintegralet over dt settes lik perioden T. I sammenhengen mellom magnetisk moment og dreieimpuls kalles faktoreren γ = q/2m  for det gyromagnetiske forholdet.

I den første utgaven av Bohrs atommodell ble det antatt at elektronene går i stabile, sirkulære baner rundt atomkjernen med kvantiserte verdier L = nħ hvor kvantetallet n = 1,2,3,.. og ħ = h/2π  er den reduserte Plancks konstant. Da elektronet har masse m = m_e  og ladning q = -e, vil dets bevegelse i atomet gi opphav til et magnetisk moment med størrelse μ = μ_B n  hvor

${\displaystyle \mu _{B}={e\hbar \over 2m_{e}}=9.274\,009\,994(57)\cdot 10^{-24}\,{\text{A}}{\text{m}}^{2}=5.788\,381\,8012(26)\cdot 10^{-5}\,{\text{eV/T}}}$ 

kalles en Bohr-magneton.^[4] Det magnetiske dipolmomentet μ har en retningen som er motsatt av dreieimpulsen L på grunn av elektronets negative ladning og en størrelse som er kvantisert da n er et heltall. Dette resultatet for det orbitale, magnetiske momentet for elektronet i et atom ligger tett opp til hva som fulgte fra mer moderne kvantemekanikk noen få år senere.^[5]

 

Et klassisk bilde av elektronets rundgang i et atom kan minne om bevegelsen av en planet rundt Solen. Dette gjør det nærliggende å tenke seg at elektronet også kan rotere om sin egen akse. Dermed vil det også kunne ha et intrinsikt, magnetisk moment. En korrekt, kvantemekanisk beskrivelse erstatter dette bildet av en «egenrotasjon» med å tilordne alle elementærpartikler et intrinsikt spinn S. For elektronet gir det opphav til et magnetisk moment

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}{e \over 2m_{e}}\mathbf {S} }$ 

hvor det gyromagnetisk forhold eller «g-faktoren» for elektronet er g_e = 2 med stor nøyaktighet. Dette ble først forstått ved etableringen av den relativistiske Dirac-ligningen for elektronet. Da størrelsen til spinnet for et elektron er ħ/2, har det et magnetisk moment som er lik en Bohr-magneton.^[1]

Meget presise målinger har senere vist at denne g-faktoren likevel ikke er helt korrekt. Dette kan nå forklares ved kvanteelektrodynamiske effekter som til laveste orden gir resultatet

${\displaystyle g_{e}=2+{\alpha \over \pi }}$ 

hvor α = 1/137 er finstrukturkonstanten. Til nå er slike korreksjoner beregnet til orden α⁵ og funnet å være i full overensstemmelse med alle eksperimentelle verdier.^[5]

Et proton har elektrisk ladning q = +e og spinn 1/2 som elektronet. Dets magnetiske moment skrives som

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{p}{e \over 2m_{p}}\mathbf {S} }$ 

hvor nå g-faktoren har verdien g_p = 5.59. Dette overraskende resultatet ble gjort av Otto Stern i 1933 og viste at protonet ikke kunne være en virkelig elementær partikkel.

Den naturlige enheten for dette nukleære, magnetiske momentet er

${\displaystyle \mu _{N}={e\hbar \over 2m_{p}}=3.152\,451\,2550(15)\times 10^{-8}\,{\text{eV/T}}}$ 

som kalles en nukleær magneton. Da m_p = 1836 m_e, er denne nesten en faktor to tusen mindre enn en Bohr-magneton.^[6]

Selv om et nøytron er elektrisk nøytralt, har det et magnetisk moment som kan skrives på samme måte som for protonet. Men for denne partikkelen er g-faktoren g_n = - 3.83. Både denne verdien og den tilsvarende verdien for protonet kan forstås utfra at de er sammensatte partikler bestående av kvarker i motsetning til elektronet som virkelig kan sies å være elementært. I denne beskrivelsen av nukleonenes indre følger at g_n /g_p = -2/3 i laveste approksimasjon som stemmer bra med de målte verdiene. Dette var et av de første resultatene som bekreftet eksistensen av kvarker.^[7]

 

Et klassisk, magnetisk moment μ = γ L med det gyromagnetiske forholdet γ = q/2m som befinner seg i et ytre, magnetisk felt B, vil påvirkes av dreiemomentet T = μ × B. Dette vil prøve å vri det magnetiske momentet og derved også dreieimpulsen L. Men denne tilfredsstiller bevegelsesligningen d L /dt = T  som dermed kan omskrives til

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} =-{q \over 2m}\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$ 

Det betyr at dreieimpulsen preseserer om B-feltet med den vektorielle vinkelhastigheten

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{L}=-{q \over 2m}\mathbf {B} }$ 

Dette kalles Larmor-presesjon etter den engelske fysiker Joseph Larmor. Størrelsen til vinkelhastigheten kan skrives som ω_L = γB  og bærer vanligvis også Larmors navn.^[8]

Presesjon av kvantemekaniske spinn som befinner seg i et magnetfelt B, kan beskrives ved Schrödinger-ligningen for dette systemet. Den relevante Hamilton-operatoren kan finnes fra vekselvirkningsenergien E = -μ⋅B for det magnetiske momentet μ = γ S med gyromagnetisk forhold γ. Hamilton-operatoren får derfor formen

${\displaystyle {\hat {H}}=-\gamma \,{\hat {\mathbf {S} }}\cdot \mathbf {B} }$ 

hvor hatten understreker at dette er en kvantemekanisk operator på samme måte som spinnet er det. Ved å bruke kommutatorene mellom de tre spinnoperatorene, kan Schrödinger-ligningen løses med det resultat at Larmor-presesjonen gjenfinnes med samme frekvens som i det klassiske tilfellet.^[9]

Dette kvantemekaniske fenomenet kan observeres i Zeeman-effekten og danner grunnlaget for kjernemagnetisk resonans (NMR). I moderne medisin benyttes dette til undersøkelse av indre organer og omtales som magnetresonanstomografi (MRI).

• Magnetisk dipol
• Dipol