Standaardafwijking

Voor een continue kansverdeling met kansdichtheid ${\displaystyle f}$  is de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$  gedefinieerd als de wortel uit de variantie, mits deze bestaat:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}$ 

Daarin is ${\displaystyle \mu }$  de verwachtingswaarde, gedefinieerd door:

${\displaystyle \mu =\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$ ,

eveneens mits deze bestaat.

Voor een discrete kansverdeling met kansfunctie ${\displaystyle p}$  is de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$  analoog gedefinieerd als de wortel uit de variantie, mits deze bestaat:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i}(x_{i}-\mu )^{2}p(x_{i})}$ 

Daarin is ${\displaystyle \mu }$  weer de verwachtingswaarde, gedefinieerd door:

${\displaystyle \mu =\sum _{i}x_{i}p(x_{i})}$ ,

eveneens mits deze bestaat.

Voor een toevalsvariabele ${\displaystyle X}$  met kansdichtheid ${\displaystyle f_{X}}$  of kansfunctie ${\displaystyle p_{X}}$  gelden dezelfde definities met respectievelijk ${\displaystyle f=f_{X}}$  of ${\displaystyle p=p_{X}}$ . De standaardafwijking wordt dan wel aangegeven met ${\displaystyle \sigma _{X}}$ . De beide formules laten zich samenvatten in:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\sigma _{X}^{2}=\operatorname {E} (X-\mu _{X})^{2}}$ ,

waarin ${\displaystyle \mu _{X}=\operatorname {E} (X)}$  de verwachtingswaarde is van ${\displaystyle X}$ ; alles onder de voorwaarde dat de verwachtingswaarden bestaan.

De laatste formule is ook geldig voor een willekeurige toevalsvariabele.

Ook voor een steekproef met uitkomsten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$  is de (steekproef)standaardafwijking gedefinieerd, meestal aangeduid met ${\displaystyle s}$ , als de wortel uit de (steekproef)variantie:

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$ 

Daarin is ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}}$  het steekproefgemiddelde.

En kan hiermee verder uitgewerkt worden tot een praktischere variant van de (steekproef)variantie-definitie:

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i}x_{i}^{2}-{\frac {(\sum _{i}x_{i})^{2}}{n}}\right)}$ 

Enigszins verwarrend wordt ook de iets afwijkende grootheid

${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$ 

aangeduid als steekproefvariantie.

 

Bij normale verdelingen wijkt van de mogelijke waarden:

• 68,27% ten hoogste 1 keer de standaardafwijking af van de verwachtingswaarde (het midden van de verdeling)
• 95,45% ten hoogste 2 keer de standaardafwijking af van de verwachtingswaarde
• 99,73% ten hoogste 3 keer de standaardafwijking af van de verwachtingswaarde
• 99,9937% ten hoogste 4 keer de standaardafwijking af van de verwachtingswaarde
• 99,999943% ten hoogste 5 keer de standaardafwijking af van de verwachtingswaarde
• 99,9999998% ten hoogste 6 keer de standaardafwijking af van de verwachtingswaarde

Dankzij de centrale limietstelling weten we verder dat voor veel verdelingen de verdeling van de som en dus ook van het gemiddelde van een groot aantal onafhankelijke waarnemingen daaruit, bij voldoende veel metingen bij benadering de vorm van een normale verdeling heeft. Bijgevolg gelden de bovengenoemde percentages niet alleen voor de normale verdeling, maar bij benadering ook voor het gemiddelde van een groot aantal onafhankelijke waarnemingen uit veel onbekende verdelingen.

• Variantie