Reine stemming

De reine stemming is gebaseerd op de harmonische boventoonreeks. Bij iedere toon die gespeeld of gezongen wordt klinken namelijk boventonen mee, die een veelvoud zijn van de grondtoon. De eerste boventoon klinkt bijvoorbeeld tweemaal zo hoog als de grondtoon, en kan dus weergegeven worden met de breuk 2/1. De eerste boventonen van de grondtoon hebben de volgende toonafstanden:

• Eerste boventoon (2/1): octaaf
• Tweede boventoon (3/1): octaaf + kwint
• Derde boventoon (4/1): 2 octaven
• Vierde boventoon (5/1): 2 octaven + grote terts
• Vijfde boventoon (6/1): 2 octaven + kwint

Deze tonen kunnen op een snaarinstrument gespeeld worden door een snaar 2 keer zo kort te maken, of 3 keer zo kort etcetera.

Gebaseerd op deze boventonen kunnen de toonafstanden van de reine stemming vastgesteld worden. Een kwint komt bijvoorbeeld overeen met het verschil tussen de eerste boventoon (2/1) en de tweede boventoon (3/1) en krijgt daarom de breuk 3/2. Een reine kwart komt overeen met het verschil tussen de tweede boventoon (3/1) en de derde boventoon (4/1), en krijgt daarom de breuk 4/3. Een overzicht:

1/1	reine prime
2/1	rein octaaf
3/2	reine kwint
4/3	reine kwart
5/4	grote terts
8/5	kleine sext
5/3	grote sext
6/5	kleine terts
9/8	grote secunde (grote grote secunde)
10/9	grote secunde (kleine grote secunde)
16/15	kleine secunde

Een octaaf geldt als volmaakt consonant. Na het octaaf worden de reine kwint (3/2) en de reine kwart (4/3) als consonant ervaren. De beide tertsen en sexten worden als onvolkomen consonant beschouwd.

Opmerkelijk is dat de grote secunde op twee manieren gestemd kan worden. Ten eerste als het verschil tussen een kwint en een kwart: (3/2)/(4/3) = 9/8, ten tweede als het verschil tussen een kwart en een kleine terts: (4/3)/ (6/5) = 10/9. Er is dus een klein verschil in toonhoogte: (9/8)/(10/9) = 81/80. Dit verschil in toonhoogte wordt het didymische komma genoemd.

Reine majeurladder
De reine majeur-toonladder is de 7-tonige groteterts-ladder (do-ladder, ionische ladder) met als frequentie-verhoudingen:

naam	do		re		mi		fa		so		la		ti		(do)
verhouding met grondtoon	1/1		9/8		5/4		4/3		3/2		5/3		15/8		2/1
verhouding onderling		9/8		10/9		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15

Reine mineurladder
Wat de natuurlijke kleineterts-ladder (la-ladder, eolische ladder) betreft, kan de benaming reine mineur-toonladder niet alleen de op de la-positie beginnende reine majeurladder

verhouding met grondtoon	1/1		9/8		6/5		27/20		3/2		8/5		9/5		2/1
verhouding onderling		9/8		16/15		9/8		10/9		16/15		9/8		10/9

aanduiden, maar ook de daaruit door verwisseling van een 'grote' en een 'kleine' hele toonafstand ontstane ladder

verhouding met grondtoon	1/1		9/8		6/5		4/3		3/2		8/5		9/5		2/1
verhouding onderling		9/8		16/15		10/9		9/8		16/15		9/8		10/9

met een echt reine vierde trap (kwart) 4/3.

Geen reine 12-tonige ladder
Er zijn meerdere voorstellen gedaan om de reine zeventonige ladder met nog vijf  'tussentonen'  aan te vullen tot een twaalftonige ladder; tot één canonieke versie heeft dat echter niet geleid.

Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de reine grotetertstoonladder (onderaan) over telkens een reine kwint (of een reine kwart in de andere richting, dat komt op hetzelfde neer).  Nieuwe tonen zijn steeds met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.

In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er twee nieuwe toonhoogtes bij: de ene - ti - vrijwel midden tussen de oude fa en so in, de andere - re - 22 cents (81/80, een didymisch komma) boven de oude la. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en ti die niet (niet precies) terugkomen.

Na drie kwintverschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwintverschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cent ( (3/2)¹², in de tabel 24 cent door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.

Elke kwintverschuiving van de reine majeurladder geeft twee andere toonhoogtes;
in de cellen staat de relatieve naam van de ladderpositie en de afstand in cents tot de grondtoon linksonder.

do 24

re 228

mi 410

fa 522

so 726

la 908

ti 1112

do 1224

so 24

la 206

ti 410

do 522

re 726

mi 908

fa 1020

so 1224

re 24

mi 206

fa 318

so 522

la 704

ti 908

do 1020

re 1224

la 2

ti 206

do 318

re 522

mi 704

fa 816

so 1020

la 1202

mi 2

fa 114

so 318

la 500

ti 704

do 816

re 1020

mi 1202

ti 2

do 114

re 318

mi 500

fa 612

so 816

la 998

ti 1202

so 114

la 296

ti 500

do 612

re 816

mi 998

fa 1110

re 114

mi 296

fa 408

so 612

la 794

ti 998

do 1110

la92

ti 296

do 408

re 612

mi 794

fa 906

so 1110

mi 92

fa 204

so 408

la 590

ti 794

do 906

re 1110

ti 92

do 204

re 408

mi 590

fa 702

so 906

la 1088

fa 0

so 204

la 386

ti 590

do 702

re 906

mi 1088

fa 1200

do 0

re 204

mi 386

fa 498

so 702

la 884

ti 1088

do 1200

Bij een verschuiving van de reine majeurladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er niet twee, maar vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).

Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen 3 cents ( (6/5)¹⁹ / 2⁵ ≈ −2,8 cent).

De tabel toont de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeurladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf; de grijstint wisselt bij 50, 150, 250, ... cents.

Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents
do			1/1	0
	la + terts		25/24	≈ 71
		re + terts + kwint	135/128	≈ 92
	fa − terts		16/15	≈ 112
	la − kwint		10/9	≈ 182
re			9/8	≈ 204
	ti + terts		75/64	≈ 275
		fa − kwint − kwint	32/27	≈ 294
	so − terts		6/5	≈ 316
mi			5/4	≈ 386
		re + kwint + kwint	81/64	≈ 408
		do − terts − terts	32/25	≈ 427
		la + terts + terts	125/96	≈ 457
fa			4/3	≈ 498
		re − terts + kwint	27/20	≈ 520
		la + terts − kwint	25/18	≈ 569
	re + terts ti + kwint		45/32	≈ 590
		fa − terts − kwint	64/45	≈ 610
		re − terts − terts	36/25	≈ 631
		ti + terts + terts	375/256	≈ 661
		la − kwint − kwint	40/27	≈ 680
so			3/2	≈ 702
	mi + terts		25/16	≈ 773
	do − terts		8/5	≈ 814
la			5/3	≈ 884
	re + kwint		27/16	≈ 906
		fa − terts − terts	128/75	≈ 925
		re + terts + terts	225/128	≈ 977
	fa − kwint		16/9	≈ 996
	re − terts		9/5	≈ 1018
ti			15/8	≈ 1088
		so − terts − terts	48/25	≈ 1129
		mi + terts + terts	125/64	≈ 1159
do			2/1	1200

Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van een reine mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.

• Breukgetal
• Harmonische
• Lijst van intervallen
• Stemming (muziek)
• Stemming van Pythagoras
• Microtonale muziek
• Natuurtonenreeks
• Sext Waarom de grote reine sext in de majeurtoonladder hoort en de kleine sext in de natuurlijke mineurladder.

• Geluidsfragment met verschil in zuiverheid tussen Pythagoreïsche, reine en gelijkzwevende stemming.
• Pianofragment met verschil in toonhoogte tussen gelijkzwevende en reine stemming.
• (en) Waarom heeft onze toonladder 12 tonen?