Botsing (natuurkunde)

De wis- en natuurkundige en filosoof Descartes stelde in de zeventiende eeuw regels op, waaraan botsende voorwerpen moesten voldoen. Christiaan Huygens verbeterde deze en gaf de wetten voor een elastische botsing hun huidige vorm. We beschouwen ballen 1 en 2 met massa's ${\displaystyle m_{1}}$  en ${\displaystyle m_{2}}$  en snelheden ${\displaystyle v_{1}}$  en ${\displaystyle v_{2}}$ . Twee behoudswetten spelen een rol:

Bij een botsing blijft de totale impuls van beide voorwerpen gelijk; dit geldt voor elke soort botsing.

${\displaystyle (m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})_{\text{voor botsing}}=(m_{1}{\vec {v}}_{1}'+m_{2}{\vec {v}}_{2}')_{\text{na botsing}}}$ 

Bij een volkomen elastische botsing blijft de totale kinetische energie van beide voorwerpen gelijk:

${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\right)_{\text{voor botsing}}=\left({\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}\right)_{\text{na botsing}}}$ 

In de volgende voorbeelden beschouwen we de botsing tussen twee gelijke massa's (${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$ )

 

 

Hier is de wet van behoud van kinetische energie van toepassing. Uit beide behoudswetten kan wiskundig aangetoond worden dat.

1. Het verschil in snelheid voor en na de botsing gelijk is

${\displaystyle v_{1{\text{,na}}}-v_{2{\text{,na}}}=-v_{1{\text{,voor}}}+v_{2{\text{,voor}}}}$ .

(Het minteken betekent dat de richting van de relatieve snelheid omgekeerd is).

2. De massa's elkaars snelheid overnemen:

${\displaystyle v_{2{\text{,na}}}=v_{1{\text{,voor}}}}$  en ${\displaystyle v_{1{\text{,na}}}=v_{2{\text{,voor}}}}$ 

In een inertiaalstelsel waarbij het massamiddelpunt niet beweegt veranderen de snelheden alleen van richting en wordt er dus geen kinetische energie overgedragen (zie ook onder). Bij een centrale botsing (zie onder) met algemeen inertiaalstelsel is de overgedragen kinetische energie evenredig met de snelheid van het massamiddelpunt.

 

De beide lichamen bewegen na de botsing verder alsof ze één lichaam geworden zijn. Voorbeeld: botsing van twee klompen stopverf. De kinetische energie wordt dus voor een groot deel omgezet in een andere vorm (warmte en vervormingsenergie). Als we uitgaan van een volledige omzetting van kinetische energie, krijgen we na botsing

${\displaystyle v_{1{\text{,na}}}=v_{2{\text{,na}}}}$ 

Met andere woorden: het verschil in snelheid is nul.

Deze botsing kan beschouwd worden als een tussenstap tussen beide vorige, en benadert het best de werkelijkheid. De kinetische energie wordt geheel of gedeeltelijk gebruikt voor vervorming van de voorwerpen (bijvoorbeeld de kreukelzone van auto's in een verkeersongeval). Uit behoud van impuls en gedeeltelijk behoud van energie volgt

${\displaystyle v_{1{\text{,na}}}-v_{2{\text{,na}}}=-\varepsilon (v_{1{\text{,voor}}}-v_{2{\text{,voor}}})}$ ,

met ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$  de restitutiecoëfficiënt. Met andere woorden: het verschil in snelheid is kleiner geworden.

• Bij een volkomen elastische botsing is ${\displaystyle \varepsilon =1}$  en wordt de kinetische energie behouden.
• Bij een inelastische botsing is ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ 
• Bij een volkomen inelastische botsing is ${\displaystyle \varepsilon =0}$ 

Men spreekt van centrale botsing als de beweging van de massamiddelpunten (zwaartepunten) van de botsende voorwerpen samenvalt met de lijn door beide massamiddelpunten. Deze lijn heet de botsingslijn. Een niet-centrale botsing heet een schuine botsing.

Christiaan Huygens bedacht een inzichtelijke rekentruc^[2] voor elastische botsingen, waarin beide botsende voorwerpen voorgesteld worden in een bewegend stelsel waar de totale impuls nul is (een nul-impuls stelsel). De snelheid van dit stelsel is de eindsnelheid bij een volkomen inelastische botsing van dezelfde voorwerpen.

Bijvoorbeeld twee massa's (1 en 2) bewegen voor de botsing naar rechts. Hun gegevens zijn (m = massa, v = snelheid)

m₁ = 1 kg, v_1,voor = 5 m/s

m₂ = 3 kg, v_2,voor = 1 m/s

waarin positieve snelheden een beweging naar rechts voorstellen. Nu stellen we ons de botsing voor op een kar die beweegt met een snelheid van 2 m/s. Voor een buitenstaander is er niets veranderd. Maar ten opzichte van de kar zijn de snelheden nu

v_{1,voor,op kar} = 5 m/s − 2 m/s = 3 m/s

v_{2,voor,op kar} = 1 m/s − 2 m/s = −1 m/s (beweging naar links)

Op de kar is de som van de impulsen 1 kg × 3 m/s + 3 kg × (−1) m/s = 0. Bij de botsing keren de snelheden eenvoudig om, dus

v_{1,na,op kar} = −3 m/s

v_{2,na,op kar} = −(−1) m/s = 1 m/s

Voor de buitenstaander zijn de snelheden

v_1,na = −3 m/s + 2 m/s = −1 m/s (beweging naar links)

v_2,na = 1 m/s + 2 m/s = 3 m/s

Controle van de behoudswetten voor en na de botsing geeft: impuls (8 kg·m/s) en energie (14 J) beide behouden zoals het hoort bij een volkomen veerkrachtige botsing.

De snelheid van de kar van 2 m/s is juist de eindsnelheid bij een plakkende botsing (volledig inelastisch). Dan is de eindmassa 1 kg + 3 kg = 4 kg en de snelheid dus 2 m/s om de behouden impuls van 8 kg·m/s te krijgen. (Bij deze onveerkrachtige botsing wordt veel bewegingsenergie omgezet: er is maar 8 J over, dus 6 J is 'verloren'.)

 

Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Klassieke Mechanica/Botsingen.