Priemtest van Fermat

De priemtest van Fermat is een probabilistische methode om te testen of een getal waarschijnlijk priem is.

De test is gebaseerd op de kleine stelling van Fermat, die luidt: Voor een priemgetal ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle 1\leq a<p}$ geldt:

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}$

Om te testen of een getal ${\displaystyle p}$ priem is, kiest men willekeurige getallen ${\displaystyle 1\leq a<p}$ en gaat na of bovenstaande equivalentie geldt. De equivalentie geldt voor alle priemgetallen, dus als het niet geldt voor een zekere waarde van ${\displaystyle a}$, is ${\displaystyle p}$ samengesteld. Als er veel waarden van ${\displaystyle a}$ zijn waarvoor de equivalentie wel geldt, kan men zeggen dat ${\displaystyle p}$ waarschijnlijk priem is, of een pseudopriemgetal (een samengesteld getal dat eigenschappen heeft die alle priemgetallen ook hebben).

Aangezien ${\displaystyle a}$ willekeurig gekozen is, kan het zijn dat voor geen enkele gekozen ${\displaystyle a}$ de equivalentie niet geldt. Is ${\displaystyle n}$ een samengesteld getal, dan wordt elke ${\displaystyle a}$ waarvoor:

${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$

een Fermat-leugenaar genoemd. Kiest men ${\displaystyle a}$ zodanig dat:

${\displaystyle a^{n-1}\not \equiv 1{\pmod {n}},}$

dan wordt ${\displaystyle a}$ een Fermat-getuige genoemd van het feit dat ${\displaystyle n}$ samengesteld is.

Stel dat we willen bepalen of n = 221 priem is. Kies een willekeurige 1 ≤ a < 221 van a = 38. Controleer bovenstaande equivalentie:

${\displaystyle a^{n-1}=38^{220}\equiv 1{\pmod {221}}}$

Ofwel 221 is priem, ofwel 38 is een Fermat-leugenaar; daarom kiezen we een andere a van 26:

${\displaystyle a^{n-1}=26^{220}\equiv 169\not \equiv 1{\pmod {221}}}$

Dus 221 is samengesteld en 38 was inderdaad een Fermat-leugenaar.

Het algoritme kan in pseudocode als volgt worden opgesteld:

Invoer: n > 1, waarvan getest moet worden of het al dan niet priem is; k, een geheel getal, dat de nauwkeurigheid van de test bepaalt
Uitvoer: samengesteld als n samengesteld is, anders is mogelijk priem. 
herhaal k keer:
   neem een willekeurige a uit (1, n−1]
   als ggd(a,n) ${\displaystyle \neq }$ 1, dan uitvoer samengesteld
   als an−1 ${\displaystyle \not \equiv }$1 (mod n), dan uitvoer samengesteld
uitvoer mogelijk priem.

De priemtest van Fermat is niet waterdicht. Een belangrijk probleem voor de test wordt gevormd door een speciaal soort samengestelde getallen, de Carmichael-getallen. Dit zijn de samengestelde getallen c met de eigenschap dat c een pseudopriemgetal (a^c−1 ≡ 1 (mod c) ) is, voor elke a met ggd(a,c) = 1. Tevens geldt dat elke vermenigvuldiging van c zelf ook een pseudopriemgetal is. Er is een oneindig aantal originele Carmichael-getallen.^[1]

Wanneer n een samengesteld getal is, dat geen Carmichael-getal is, dan geldt dat ten minste de helft van alle

${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$

Fermat-getuigen zijn. Dit is als volgt te bewijzen: laat {a₁, a₂, ..., a_m} de Fermat-leugenaars zijn en a een Fermat-getuige. Dan geldt voor i = 1,2,...,m dat:

${\displaystyle (a\cdot a_{i})^{n-1}=a^{n-1}\cdot a_{i}^{n-1}\equiv a^{n-1}\cdot 1\equiv a^{n-1}\not \equiv 1{\pmod {n}}.}$

Dus elke a_i geeft een getal a·a_i, dat ook een Fermat-getuige is. Oftewel elke Fermat-leugenaar geeft een Fermat-getuige en dus is het aantal Fermat-getuigen groter dan of gelijk aan het aantal Fermat-leugenaars. Hiermee volgt dat wanneer n samengesteld is en geen Carmichael-getal, dan zijn ten minste de helft van alle a Fermat-getuigen.

• Pseudopriemgetallen tot en met 4999