Quod erat demonstrandum: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Huidige versie van 18 jun 2024 om 22:45

Gebruik van **quod erat demonstrandum** aan het eind van het stukje tekst. Philippus Lansbergen, *Goniometriae triangulorum Liber I 8* (Hoekmeting van driehoeken, boek 1, 8), 1604

Quod erat demonstrandum (afgekort q.e.d.) is een Latijnse term die in het Nederlands kan worden vertaald met "hetgeen bewezen moest worden". De afkorting wordt vaak aan het einde van een logische redenering gebruikt, bijvoorbeeld in de wiskunde of filosofie, om aan te duiden dat hetgeen men wilde bewijzen, daadwerkelijk bewezen is.

Oorsprong

Quod erat demonstrandum is een Latijnse vertaling van het Griekse ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hóper édei deiksai; afgekort als ΟΕΔ), een uitdrukking die door wiskundigen als Euclides^[1] en Archimedes al werd gebruikt. De doorgaans gebruikte Latijnse vertaling is van de hand van de Italiaanse humanist Bartolomeo Zamberti, die Euclides' Elementae vertaalde in het Latijn en in 1505 in Venetië liet drukken.^[2] De Nederlandse filosoof en wiskundige Benedictus de Spinoza sloot in zijn werk Ethica Ordine Geometrica demonstrata (1677) zijn bewijzen meestal af met de afkorting Q.E.D.^[3]

Bij gebruik van deze frase denkt men aan een opgave (bijvoorbeeld in een examen) die moet worden opgelost.

Opgave: Toon aan dat in een rechthoekige driehoek a²+b² gelijk is aan c².

Antwoord: .... en hieruit volgt dat a²+b² gelijk is aan c². Dat is wat ik moest aantonen.

De laatste zin kan dan worden vervangen door q.e.d.

Quod betekent wat, de wijs van demonstrandum is een gerundivum van verplichting (in combinatie met erat) van demonstrare, aantonen. Erat is een onvoltooid verleden tijd (indicatief imperfectum actief) van esse. Quod erat demonstrandum wordt daarom vertaald als "Wat moest worden bewezen".

Alternatieven

Tegenwoordig wordt aan het einde van een bewijs in plaats van q.e.d. ook vaak het symbool ■ of het symbool □ gebruikt. Die symbolen zijn voorgesteld door de wiskundige Paul Halmos.^[4]

Wordt er een meetkundige constructie gevraagd, dan gebruikt men quod erat faciendum of quod erat construendum.

Als grapje wordt de afkorting ook weleens uitgelegd als Quite Easily Done ("nogal makkelijk gedaan"). In Nederlandstalige wiskundige redeneringen wordt soms met een humoristische noot afsluitend of in tussentijdse lemma's weleens wak (waarheid als een koe) geschreven.^[5]

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Elementae III 4 theorema 13.
↑ H. Kudla, Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen, München, 2001², p. 45. Zie bijvoorbeeld op p. 65 van de herdrukt te Basel uit 1546.
↑ H. Kudla, Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen, München, 2001², p. 45.
↑ Donald E. Knuth, Tracy Larrabee & Paul M. Roberts, Mathematical Writing, pagina 11.
↑ Martin Kindt, Wat te bewijzen was, p. 27.

Door op de afspeelknop te klikken kunt u dit artikel beluisteren. Na het opnemen kan het artikel gewijzigd zijn, waardoor de tekst van de opname wellicht verouderd is. Zie verder info over deze opname of download de opname direct. (Meer info)

[1] Elementae III 4 theorema 13.

[2] H. Kudla, Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen, München, 2001², p. 45. Zie bijvoorbeeld op p. 65 van de herdrukt te Basel uit 1546.

[3] H. Kudla, Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen, München, 2001², p. 45.

[PHalmos-4] Donald E. Knuth, Tracy Larrabee & Paul M. Roberts, Mathematical Writing, pagina 11.

[5] Martin Kindt, Wat te bewijzen was, p. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 {{Gesproken Wikipedia klein|Nl-Quod_Erat_Demonstrandum-article.ogg|12031667}}
-[[Bestand:Philippe van Lansberge 1604 QED.png|thumb|right|400px|gebruik van QED door [[Philippus Lansbergen]] (1604)]]
+[[Bestand:Philippe van Lansberge 1604 QED.png|thumb|right|400px|Gebruik van '''quod erat demonstrandum''' aan het eind van het stukje tekst. [[Philippus Lansbergen]], ''Goniometriae triangulorum Liber I 8'' (Hoekmeting van driehoeken, boek 1, 8), 1604]]
-'''Quod erat demonstrandum''' (afgekort '''q.e.d.''') is een Latijnse term die in het Nederlands kan worden vertaald met ''hetgeen bewezen moest worden''. De afkorting wordt vaak aan het einde van een logische redenering gebruikt, bijvoorbeeld in de [[wiskunde]] of [[filosofie]], om aan te duiden dat hetgeen men wilde bewijzen, daadwerkelijk bewezen is.
+'''Quod erat demonstrandum''' (afgekort '''q.e.d.''') is een [[Latijn]]se term die in het Nederlands kan worden vertaald met "hetgeen bewezen moest worden". De afkorting wordt vaak aan het einde van een logische redenering gebruikt, bijvoorbeeld in de [[wiskunde]] of [[filosofie]], om aan te duiden dat hetgeen men wilde bewijzen, daadwerkelijk bewezen is.
 == Oorsprong ==
-''Quod erat demonstrandum'' is een Latijnse vertaling van het Griekse ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hoper edei deixai; afgekort als ΟΕΔ), een uitdrukking die door wiskundigen als [[Euclides van Alexandrië|Euclides]]<ref>''[[Elementen (Euclides)|Elementen]]'' van [[Euclides van Alexandrië|Euclides]].</ref> en [[Archimedes]] al werd gebruikt.
+''Quod erat demonstrandum'' is een Latijnse vertaling van het Griekse {{Polytonic|ὅπερ ἔδει δεῖξαι}} (''hóper édei deiksai''; afgekort als {{Polytonic|ΟΕΔ}}), een uitdrukking die door wiskundigen als [[Euclides van Alexandrië|Euclides]]<ref>''[[Elementen van Euclides|Elementae]]'' III 4 theorema 13.</ref> en [[Archimedes]] al werd gebruikt. De doorgaans gebruikte Latijnse vertaling is van de hand van de Italiaanse [[Renaissance-humanisme|humanist]] [[Bartolomeo Zamberti]], die Euclides' ''Elementae'' vertaalde in het Latijn en in 1505 in Venetië liet drukken.<ref>{{Aut|H. Kudla}}, ''Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen'', München, 2001<sup>2</sup>, p. [https://books.google.de/books?id=2Vtf_GVrdbgC&pg=PA45 45]. Zie bijvoorbeeld op p. [https://books.google.be/books?id=lMRCAAAAcAAJ&pg=PA65 65] van de herdrukt te Basel uit 1546.</ref> De Nederlandse filosoof en wiskundige [[Baruch Spinoza|Benedictus de Spinoza]] sloot in zijn werk ''[[Ethica (Spinoza)|Ethica Ordine Geometrica demonstrata]]'' (1677) zijn bewijzen meestal af met de afkorting Q.E.D.<ref>{{Aut|H. Kudla}}, ''Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen'', München, 2001<sup>2</sup>, p. [https://books.google.de/books?id=2Vtf_GVrdbgC&pg=PA45 45].</ref>
+Bij gebruik van deze frase denkt men aan een opgave (bijvoorbeeld in een examen) die moet worden opgelost.
-De uitspraak ''quod erat demonstrandum'' werd in het Latijn voor het eerst gebruikt door [[Marcus Tullius Cicero]] in de [[1e eeuw v.Chr.]] Hij gebruikte de uitspraak na een redevoering in de rechtbank. Daarna werd ze gretig overgenomen door andere pleiters.
+:Opgave: Toon aan dat in een rechthoekige driehoek a²+b² gelijk is aan c².
+:Antwoord: .... en hieruit volgt dat a²+b² gelijk is aan c². Dat is wat ik moest aantonen.
+De laatste zin kan dan worden vervangen door q.e.d.
+''Quod'' betekent ''wat'', de wijs van ''demonstrandum'' is een [[gerundivum]] van verplichting (in combinatie met erat) van ''demonstrare'', aantonen. ''Erat'' is een onvoltooid verleden tijd (indicatief [[Imperfectum (Latijn)|imperfectum]] actief) van ''esse''. ''Quod erat demonstrandum'' wordt daarom vertaald als "Wat moest worden bewezen".
 == Alternatieven ==
-Tegenwoordig wordt aan het einde van een bewijs in plaats van ''q.e.d.'' ook vaak het symbool ■ of het symbool □ gebruikt. Die symbolen zijn voorgesteld door de wiskundige [[Paul Halmos]].<ref name=PHalmos>Donald E. Knuth, Tracy Larrabee & Paul M. Roberts, {{pdf}} [http://tex.loria.fr/typographie/mathwriting.pdf Mathematical Writing], pagina 11.</ref>
+Tegenwoordig wordt aan het einde van een bewijs in plaats van ''q.e.d.'' ook vaak het symbool ■ of het symbool □ gebruikt. Die symbolen zijn voorgesteld door de wiskundige [[Paul Halmos]].<ref name=PHalmos>Donald E. Knuth, Tracy Larrabee & Paul M. Roberts, {{pdf}} [https://web.archive.org/web/20100827044400/http://tex.loria.fr/typographie/mathwriting.pdf ''Mathematical Writing''], pagina 11.</ref>
+Wordt er een meetkundige constructie gevraagd, dan gebruikt men [[quod erat faciendum]] of quod erat construendum.
-Als grapje wordt de afkorting ook weleens uitgelegd als ''Quite Easily Done'' ("behoorlijk eenvoudig gedaan"). In Nederlandstalige wiskundige redeneringen wordt soms met een humoristische noot afsluitend of in tussentijdse lemma's weleens ''wak'' (waarheid als een koe) geschreven.<ref>Martin Kindt, {{pdf}} [http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/324/324juni_kindt.pdf Wat te bewijzen was]</ref>
+Als grapje wordt de afkorting ook weleens uitgelegd als ''Quite Easily Done'' ("nogal makkelijk gedaan"). In Nederlandstalige wiskundige redeneringen wordt soms met een humoristische noot afsluitend of in tussentijdse lemma's weleens ''wak'' (waarheid als een koe) geschreven.<ref>Martin Kindt, {{pdf}} [http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/324/324juni_kindt.pdf ''Wat te bewijzen was''], p. 27.</ref>
 {{Appendix}}