Логика

Заради нејзината фундаментална улога во филозофијата, карактерот на логиката претставува предмет на спор помеѓу филозофите: неможно е да се опишат делокругот и ограничувањата на логиката на начин кој би бил прифатлив за сите. Покрај тоа, изучувањето на логиката е кохерентно и технички основано. Овој напис ја карактеризира логиката прво со вовед во некои фундаментални концепти за нејзиниот облик, а потоа со преглед на неколку школи на размислување како и со краток увид во историјата на логиката, за да даде објаснување за врската помеѓу логиката и другите науки. На крајот на статијата добиваме објаснување за неколку од суштинските концепти на логиката.

Суштинскиот концепт на формата е централна точка на дискусија во разоткривањето на карактерот на логиката, која го усложнува фактот што зборот „формална“ во поимот „формална логика“ често се употребува на двосмислен начин. Следуваат неколку дефиниции за различните видови логики:

• Неформалната логика изучува аргументи во природниот јазик. Делот кој ги изучува логичките грешки е особено важна гранка на неформалната логика.
• Заклучокот може да има наполно формална содржина доколку може да биде изразен како примена на некое апстрактно правило, т.е. правило кое не се однесува на некој конкретен ентитет или својство. Подоцна ќе видиме дека многу од дефинициите на логиката, логичките заклучоци и заклучоците со наполно формална содржина се едно исто нешто. Ова не го прави поимањето на формалната логика бесмислено, бидејќи човек може да ја истражува логиката и без да се посвети на некоја конкретна формална анализа.
• Формалната логика изучува заклучоци со наполно формална содржина, каде што содржината е јасно видлива.
• Симболичката логика изучува симболички апстракции кои ги доловуваат формалните особини на логичкото заклучување.

Двосмисленоста се состои во тоа што поимот „формална логика“ често се употребува наместо поимот симболичка логика како што го дефиниравме, при што под формална логика се подразбира било кое испитување без симболичка апстракција; токму ова значење на „формална“ е паралелно на примените употреби кои доаѓаат од „формалните јазици“ или „формалната теорија“.

Додека гледано според горенаведените анализи формалната логика е стара наука која постои повеќе од 2000 години, симболичката логика е компаративно млада наука и се јавува како резултат на примена на математички увиди на логички проблеми. Преминот од неформална логика преку формалната логика во симболичка логика е премин на теориско софистицирање: на нужност - за да се сфати формалната логика потребно е да се вградат одредени утврдени параметри кои се распростанети во симболичката анализа на логиката. Генерално, логиката се доловува со формални системи кои го опфаќаат формалниот јазик кој опишува збир на формули и збир на правила на изведување. Формулите обично претставуваат тврдења кои би не интерелирале - исто така правилата на изведување претставуваат инференции; таквите системи обично имаат наменета интерпретација.

Во рамките на овој формален систем, правилата на изведување и потенцијалните аксиоми назначуваат група теореми кои се формули изводливи со помош на правилата на изведување. Најесенцијалната одлика на еден формален логички систем е правилност (аргументот е валиден и сите премиси во него се точни), која е особината која под интерпретација, сите правила на изведување се валидни инференции. Теоремите за правилен формален систем се во тој случај вистини. Минимален услов кој правилните системи треба да го задоволуваат е доследност, што значи дека ниедна теорема не и противречи на некоја друга. Исто така од значење е и комплетноста, што значи дека сè што е точно е исто така докажливо. Но, штом јазикот на логиката ќе достигне одредено ниво на експресивност (како логика од втор ред, да речеме), комплетноста станува неостварлива.

Во случајот на формални логички системи, теоремите можат често да се интепретираат како изрази на логички вистини (тавтологии), и токму на овој начин таквите системи доловуваат барем дел од логичката точност и инференција.

Формалната логика содржи мноштво разни логички системи како силогизми, предикатна логика и модална логика, и формални системи кои се неопходни во сите гранки на математичката логика.

Логиката се појавила (видете подолу) од потребата за точност во аргументацијата. Поимувањето за логиката како наука за аргументите е историски фундаментална и токму така основачите на разните логики како Аристотел, Мо-це и Аксапада Гаутама ја замислувале логиката. Современите логичари обично сакаат да не уверат дека логиката ги изучува само оние аргументи што се јавуваат како резултат на соодветно генерални облици на инференција; на пример Стенфордската енциклопедија на филозофијата вели дека и покрај тоа логиката „не го покрива доброто расудување во целина. Тоа е задача на теоријата на рационалноста. Логиката, поточно речено, се занимава со инференциите чија валидност може да се проследи наназад до формалните особини на репрезентациите вклучени во таа инференција, биле тоа лингвистички, ментални, или други репрезентации“ (Хофвебер 2004).

Наспроти тоа Имануел Кант вовел алтернативен поим за логиката во чиј прилог аргументирал дека логиката треба да се сфати како наука за расудувањето - идеја искористена во логичко-филозофско дело на Готлоб Фреге, каде поимот мисла (германски: Gedanke) е заменет со поимот суд (германски: Urteil). Врз основа на овој концепт, валидните инференции на логиката следат од структурните особини на судовите или мислите.

Трет поглед на логиката доаѓа од идејата дека логиката е пофундаментална од расудувањето и така логиката е наука за состојби (герм. Sachverhalt) во глобала. Бари Смит укажува на Франц Брентано како извор на оваа идеја која, како што тој вели, ја достигнува својата врвна точка во делото на Адолф Рајнах (Смит 1989). Ова гледиште за логиката изгледа радикално различно од претходното: по ова гледиште логиката нема суштинска врска со аргумент, и изучувањето на неточности и парадокси повеќе не е есенцијален дел од дисциплината.

Понекогаш се среќава и четврто гледиште за логиката: како формална манипулација на симболи во согласност со препишани правила. Овој став може да се критикува на основа на тоа што секој формален систем немора да биде логика. Ваквите истанкувања обично испуштаат да објаснат како треба да изгледа еден систем за да биде логика.

Логиката како експлицитна анализа на методи на расудување се појавила првобитно во три земји: Кина во V век п.н.е, Индија и Стара Грција во периодот помеѓу II век п.н.е и I век од нашата ера.

Формално софистицираниот третман на современата логика доаѓа од грчката традиција, иако можно е дека пионерите на Буловата логика имале познавања од индиската логика. (Ганери 2001). Самата старогрчка традиција доаѓа од пренесувањето на Аристотеловата логика и забелешките за неа кај Исламските филозофи, па преку нив кај средновековните логичари. Неевропските традиции не ја доживеале современата ера: во Кина, традицијата на научна истрага во логиката била потисната од династијата Ќин која била следбеник на легалистичката филозофија на Хан Феици; во исламскиот свет воздигнувањето на Ашаровата школа значело крај на вистинската логика.

Во Индија пак, иновациите во сколастичката школа наречена Њаја, продолжиле до раниот XVIII век. Накратко по колонизацијата и оваа логика се губи. Во XX век некои западни филозофи како Станислав Шајер и Клаус Глашоф се обиделе да испитаат некои аспекти на индиската логика.

За време на средновековието, по откритието дека аристотеловите идеи се прилично некомпатибилни со религијата, поголемо внимание се обрнало на неговата логика. За време на доцниот среден век логиката станува главниот предмет за филозофите, кои се впуштале во критички логички анализи на филозофски аргументи.

Логиката укажува на рационалноста и структурата на концептите, и така донекаде се вркстува со психологијата. Логиката го опишува расудувањето на препишувачки начин (т.е. кажува како расудувањето треба да се одвива), додека психологијата е описна, така што преклопот не е толку забележлив. Меѓутоа Готлоб Фреге, е непопустлив кога се работи за анти-психологизам: дека логиката треба да се разбере на наичин независен од идиосинкратиите на расудување на поедини луѓе.

Првобитно, логиката се состоела само од дедуктивно расудување што се занимава со она што универзално следи од дадени премиси. Меќутоа треба да се каже дека индуктивното расудување—науката за изведување на доверлива генерализација од набљудувањата—понекогаш се смета за дел од предметот на логиката. Во склад со тоа, мораме да направиме разлика помеѓу дедуктивна валидност and inductive валидност. Инференцијата е дедуктивно валидна ако и само ако не постои ниту една возможна ситуација во која сите премиси се точни, а заклучокот неточен. Поимот дедуктивна валидност може ригорозно да се искаже во системите на формалната логика во рамките на јасните поими на семантиката. Од друга страна, за индуктивната валидност потребно е да дефинираме доверлива генерализација за самиот збир на набљудувања. Оваа дефиниција може да се даде преку разни приоди, некои понеформални од некои други; во некои од овие дефиниции можеме да употребиме математички модели на веројатност. Најголемиот дел од нашава расправа за логиката се занимава со дедуктивна логика.

През историјата, луѓето сакале да прават разлика помеѓу добри и лоши аргументи, и така логиката била изучувана во сличен или поинаков облик. Аристотеловата логика се занимава со укажување на добри аргументи и за таа цел се изучува и денес, додека кај математичката логика и аналитичката филозофија многу поголемо внимание се обрнува на логиката како предмет на изучување сам за себе, така што логиката таму се изучува на едно поапстрактно ниво.

Органон е збирка на дела од Аристотел на тема логика и заедно со делото Аналитика Прва го сочинуваат првото експлицитно дело на тема формална логика со тоа што истото ја воведува силогистиката. Деловите на силогистиката биле анализи на расудувања во тврдења кои се содржат од два израза поврзани меѓусебно со фикциран број на врски, и изразување на инференциите со помош на силогизми кои се содржеле од две тврдења со два заеднички израза како тврдење, и заклучокот кој бил тврдење за двата неповрзани израза од тврдењата.

Ова аристотелово дело се сметало во класичната антика, средновековието и на Блискиот Исток како олицетворение на еден наполно целосен систем. Но не само аристотеловиот систем бил високо вреднуван: стоиците предложиле систем на исказна логика кој подоцна се изучувал од страна на средновековните логичари; нити Аристотеловите дела биле неоспорени; на пример, проблемот на многукратна севкупност бил забележан во средниот век. И покрај тоа, проблемите со силогистичката логика не биле гледани како предемет на револуционерни промени.

Денес, Аристотеловиот систем се изучува само заради неговата историска вредност (но сепак, денес постои интерес за проширување на изразната логика), и се смета дека станал застарен по изумувањето на изказната логика и предикатната анализа.

Логиката како што се изучува денес е многу поразличен предмет од она што се изучувало порано и главната разлика е во иновацијата на предикатната логика. Додека Аристотеловата силогистичка логика ги наведува формите на релевантните делови од расудувањата во прашање, предикатната логика дава речениците да бидат анализирани по предмет и аргумент на неколку начини, така давајќи и можност на предикатната логика да го реши проблемот на многукратна севкупност кој ги збунувал средновековните логичари. Со помош на предикатна логика, логичарите конечно можеле да објаснат доволно генерални квантификатори за да можат да се изразат сите аргументи кои се јавуваат во природниот јазик.

За откривањето на предикатната логика заслужен е Готлоб Фреге, кој е исто така еден од основачите на аналитичката филозофија, но формулацијата на предикатната логика во најчеста употреба денес е логиката од прв ред претставена во „Принципи на теоретската логика“ од Давид Хилберт и Вилхелм Акерман во 1928 год. Аналитичката генералност на предикатната логика и дала формализација на математиката и ја придвижила теоријата на множествата и му овозможила на Алфред Тарски да го развие својот пристап кон теоријата на моделите; може да се каже без претерување дека ова е основата на современата математичка логика.

Фрегевиот систем на предикатна логика не бил од прв-, туку од втор ред. Главните заштитници на логиката од втор ред се Џорџ Булос и Стјуарт Шапиро (од критиките на Вилард Ван Орман Квин и други).

Кај јазикот, модалноста се занимава со феноменот на модификацијата на семантиката на некои делови од реченицата од страна на специјални глаголи или модални частици. На пример:„Одиме кон куќата“ може да се модифицира за да даде „Треба да одиме кон куќата“, „Можеме да одиме кон куќата“ и можеби „Ќе одиме кон куќата“. Поапстрактно, може да се каже дека модалноста влијае на условите под кои сметаме дека едно тврдење е задоволено.

Логичкото изучување на модалноста потекнува од Аристотел, кој се занимавал со модална веројатност на нужност и веројатност, за која тој сметал дека е двојна во смисла на Де Моргановата двојност. Додека изучувањето на нужноста и веројатноста останало значајно за филозофите, скоро никакви иновации не се случиле сè до патоказните истражувања на Кларенс Ирвинг Луис во 1918 год., кој формулирал семејство на сопернички аксиоматизации на модалните веројатности. Неговото дело отпочнало порој на нови дела на таа тема проширувајќи ги видовите на модалитети кои се третираат со придодавање на деонтичката и епистемолошката логика. Зачнувачките дела на Артур Прајор го примениле истиот формален јазик за третирање на темпоралната логика и го исчистил патот за бракот помеѓу овие два предмета. Саул Крипке ја формулирал (истовремено со соперниците) неговата теорија на рамковна семантика која ја револуционализирала формалната технологија на располагање на модалните логичари дотогаш и преку теоријата на графите, нов начин на гледање на модалноста која има многу облици на примена во математичката лингвистика и информатиката, како на пример динамичката логика.

Мотивот за изучување на логиката кај антиците е јасен. Како што кажавме: тие сакале да научат да разликуваат добри од лоши аргументи и така што станат поефективни во аргументирање и говорништво и можеби, да си го подобрат карактерот.

Оваа мотивација сѐ уште живее, иако повеќе не е од централно значење за логиката; типично дијалектичка логика ја претставува срцевината на предметот критичко размислување кој е задолжителен предмет на многу универзитети, особено оние по американскиот модел.

Математичката логика има две области на инстражување: примена на техниките на формалната логика во математиката и математичкото расудување и примена на математички техники во приказот и анализата на формалната логика.

Најсмелиот потфат за примена на логиката во математиката несомнено бил логицизмот измислен од страна на филозофите-логичари како Готлоб Фреге и Бертранд Расел: нивната замисла била дека математичките теории се логички тавтологии и ова требало ова да се покаже во програмата по пат на сведување на математиката на логика. Разните обиди за ова да се покаже пропаднале, од осакатувањето на Фрегевиот проект во неговата Grundgesetze од страна на Раселовиот парадокс, до поразот на Хилбертовиот програм од страна на Геделовите теореми за непотполноста.

Изјавата на Хилбертовиот Програм и нејзиното побивање од страна на Гедел зависеле од утврдувањето на втората област на математичката логика во нив која е примена на математика во логиката во облик на доказна теорија. И покрај негативната природа на теориите за нецелосност, Геделовата теорема за непотполноста, која е резултат од теоријата на моделите и друга примена на математика во логикара, може да се гледа како доказ колку блиску логицизмот има дојдено до вистината: секоја строго дефинирана математичка теорија може да биде точно доловена со логичка теорија од прв ред; Фревегата доказна анализа е доволен да ја „опише“ целата математика, но не е еквивалентна на неа. Така можеме да видиме колку согласни биле двете области на математичката логика.

Доколку доказната теорија и теоријата на моделите се основата на математичката логика, тие се само два од четирите столба на предметот. Теоријата на множествата потекнува од изучувањето на бескрајноста од страна на Георг Кантор и станал извор на најбитните и најтешките теми во математичката логика, од Канторовата теорема, преку статусот на аксиомата за избор и прашањето за независноста на континуум-хипотезата, до современата дебата за аксиомите на својството на големите основни броеви.

Теоријата на рекурзијата ја доловува поимот „пресметка“ во логички и аритметичка смисла; нејзините најголеми достигнувања се неодлучливоста на проблемот на нерешливоста од Алан Тјуринг и неговото претставување на Черч-Тјуринговата теза. Денес, теоријата на рекурзијата највеќе се занимава со порафинираниот проблем на класите на комплексонста—Во кој случај еден проблем е ефикасно решлив? -- и класификацијата на степените на нерешливост.

Философската логика се занимава со формален опис на природниот јазик. Најголемиот број на филозофи претпоставуваат дека „нормално“ добро расудување може да биде доловено во логиката, доколку се најде соодветна метода за превод на обичниот јазик во логички јазик. Философската логика пред сè е продолжение на традиционалната дисциплина која била нарекувана Логика пред нејзиното надградување од страна на математичката логика и се занимава многу повеќе со поврзаноста на природниот јазик со логиката. Како резултат на тоа, филозофските логичари имаат многу придонес кон нестандардните логики (како на пр. слободните логики и темпоралните логики) како и разни додатоци на класичната логика (како на пр. модалните логики) и и нестандардни семантики за таквите логики (како на пр. Крипковата техника на надвреднувања во логичката семантика).

Логиката е основа на информатиката: работата на Алан Тјуринг на проблемот на нерешливоста следела од Геделовата работа на теоремата за непотполноста и идејата за компјутер за општа употреба која дошла од ова дело била од фундаментално значење за компјутерските инженери и програмери во 1940-тите години.

Во 1950-тите и 1960-тите години, научниците предвиделе дека човечкото знаење може да се изрази преку логика по пат на Математичка нотација, и со тоа би било можно да се направи машина која ќе може да расудува (размислува) т.е. да се создаде вештачка интелигенција. Ова се испоставило дека е потешко остварливо отколку што се очекувало заради комплексноста на човечкото расудување. Кај логичкото програмирање еден проблем се состои од множество аксиоми и правила. Системите на логичко програмирање како Пролог ги пресметуваат последиците од на аксиомите и правилата за да одговорат на поставено прашање.

Денес логиката широко се применува кај вештачката интелигенција и информатиката. Овие полиња се богат извор на проблеми кај формалната логика. ЗПМ-системот за пресметковна класификација во овие нешта:

• Отсек F.3 за Програмски логики и нивно значење и F. 4 за Математичка логика и формални јазици како дел од информатичката теорија: ова дело ја покрива формалната семантика на програмските јазици, како и дела за формални методи како Хоаровата логика
• Буловата логика е од фундаментално значење за информатиката: особено, отсекот B.2 на системот кој се однесува на аритметички и логички структури;
• Многу фундаментални логички формализми се од суштинско значење за отсекот I.2 за вештачка интелигенција, како на пример модална логика и Подразбрлива логика во формализмите и методите при претставувањето на знаењето, и Хорновите клаузули кај логичкото програмирање.

освен тоа, компјутерите можат да се користат како алатки за логичарите. на пример, кај симболичката и математичката логика, утврдување доказите можат да се врши со компјутерска помош. Со употреба на автоматизирано кокажување на теореми машините можат да пронаоѓаат и проверуваат докази, како и да работат со докази кои се предолги за да бидат пишувани рачно.

Како што постои несогласување за тоа која е задачата на логиката, така постои и несогласност на прашањето кои логички вистини постојат.

Сите логики за кои се зборува погоре се „бивалентни“ или „двовредносни“ логики; т.е. ги разделуваат тврдењата на точни и неточни. Системите кои ја отфрлаат оваа биваленција се нарекуваат некласични логики.

На почетокот на XX век, полскиот логичар Јан Лукасјевич ја истражувал можноста за проширување на утврдените вредности „точно/неточно“ со трета вредност - „можно“, и така ја измислил троичната логика, првата повеќевредносна логика.

Интуиционистичката логика е уште една алтернативна логика предложена од Л. Е. Ј. Броувер како вистинската логика за математичко расудување која се заснова на отфрлањето на законот на исклучената средина како дел од интуиционизмот. Броувер ја отфрлил формализацијата на математиката, но неговиот ученик Аренд Хејтинг ја изучувал интуиционистичката логика на формален начин, како што ја изучувал и Герхард Генцен. Оваа логика претставува поле на интерес кај информатичарите, бидејќи е конструктивна логика и затоа логика за планираните способности компјутерите.

Модалната логика не е условена од вистиитостите и затоа често се предлага како некласична логика. Меѓутоа, модалната логика се формализира по принцип на исклучена средина, и нејзината релациона семантика е бивалентна, така што приклучувањето на оваа логика кон некласичните логики е предмет на дискусија. Од друга страна, модалната логика може да се употреби за шифрирање на некласичните логики, како интуиционистичката логика.

Оттогаш па наваму, измислени се разни логики од типот на неопределената („фази“) логика кои содржат беконечен број на „степени на вистинитост“, претставени преку реални броеви помеѓу 0 и 1. Бејсовата веројатност може да се толкува како како логички систем каде веројатноста е субјективната вистинска вредност (точно или неточно).

Лесно е да се види дека поимот „импликација“ формализиран во класичната логика не може удобно да се преведе во природниот јазик по пат на реченицата „ако... тогаш...“ зарради ред проблеми наречени парадокси на материјална импликација.

Првата класа на парадокси ги сочинува оние парадокси кои вклучуваат контрафакти како „Ако месечината е направена од зелен кашкавал, тогаш 2+2=5“, кои се збунувачки бидејќи природниот јазик не го поддржува принципот на експлозија. Со елиминација на овие класи на парадокси Дејвид Луис дошол до својата формулација на строгата импликација и до порадикалната ревизионистичка логика како релевантната логика и дијалетеизмот.

Втората класа на парадокси сочинува парадокси кои вклучуваат излишни искази, кои лажно нѐ тераат да мислиме дека го знаеме следбеникот доколку го знаеме претходникот: така, реченицата „ако тој човек победи на изборите, баба ќе умре“ е материјално вистинита доколку бабата е во последниот стадиум на некоја смртоносна болест независно од тоа дали тој човек победи на изборите. Ваквите реченици одат против Грисовата максима на релевантност, и можат да се моделираат на основа на логиките кои го отфрлаат монотоноста на барањата како релевантната логка.

Кај логиката се поставува и прашањето дали треба да се толерира недоследноста. Тука релевантната логика и дијалетеизмот се најважните приоди, иако полето на интерес е различно: главното прашање кое постои кај класичната логика и некои од нејзините соперници како интуиционистичката логика е тоа што тие го почитуваат принципот на експлозија, што значи дека логиката пропаѓа доколку може да изведе контрадикција. Греам Прист, поборникот за дијалетеизмот, има аргументи во корист на парадоследност врз чудната основа дека тие всучност се, вистинити контрадикции (Priest 2004).

Кој е епистемолошкиот статус на законите на логиката? Какви аргументи се соодветни за критикување на предложени логички принципи? Во еден влијателен предмет наречен Дали логиката е емпириска? заснован на предлог на В.В.О. Квин, Хилари Патнам аргументира дека во глобала фактите на исказната логика имаат сличен епистемолошки статус со фактите за физичкиот универзум, на пример како што законите на механиката или општата релативност, и особено познавањата на физиката од квантната механика имаат докази во корист на напуштањето на некои добро познати принципи на класичната логика: ако сакаме да бидеме реалистични за фичичките феномени опишани од квантната физика, тогаш треба да го отфрлиме принципот на дистрибутивност, и да ја замениме класичната логика со квантна логика предложена од Гарет Биркхоф и Џон фон Нојман.

Друг предмет со исто име од Сер Мајкл Дамет аргументира дека Патнамовиот реализам го бара законот за дистрибутивност: дистрибутивност на логиката е од круцијално значење за увидите на еден реалистичар во начинот на кој тврдењата за светот се вистинити. На истиот начин, Дамет аргументирал, принципот на биваленција е нужен за истото. Вака, прашањето Дали логиката е емпириска? нормално води до фундаментална метафизичка расправија на тема реализам наспроти антиреализам.

• Математика
• Филозофија
• Логичко следство
• Таблица на логички знаци
• Филозофија на логиката
• Индуктивно расудување
• Дедуктивно расудување

• G. Birkhoff and J. von Neumann, 1936. 'The Logic of Quantum Mechanics'. Annals of Mathematics, 37:823-843.
• D. Finkelstein, 1969. 'Matter, Space and Logic'. Во R. S. Cohen и M. W. Wartofsky, (уредн.), Proceedings of the Boston Colloquium for the Philosophy of Science, Boston Studies in the Philosophy of Science, том 13. ISBN 90-277-0377-9.
• D. M. Gabbay и F. Guenthner (уредн.) 2001-2005. Handbook of philosophical logic (II изд.). 13 тома. Dordrecht, Kluwer.
• D. Hilbert and W. Ackermann, 1928. Grundzüge der theoretischen Logik (Принципи на теоретската логика). Springer-Verlag, ISBN 0-8218-2024-9.
• W. Hodges, 2001. Logic. An introduction to elementary logic. Penguin Books.
• T. Hofweber, 2004. Логика и онтологија на Стенфордската енциклопедија на филозофијата (англиски)
• R. I. G. Hughes (editor), 1993. A Philosophical Companion to First-Order Logic. Hackett.
• W. Kneale and M. Kneale, 1962/1988. The Development of Logic. Oxford University Press, ISBN 0-19-824773-7.
• G. Priest, 2004. Дијалетизам на Стенфордската енциклопедија на филозофијата (англиски)
• H. Putnam, 1969. Is Logic Empirical?. Boston Studies in the Philosophy of Science, том V.
• B. Smith, 1989. 'Logic and the Sachverhalt', The Monist, 72(1):52-69.

• Вовед во филозофската логика од Пол Њуал, за почетници (англиски)
• Translation Tips Архивирано на 8 март 2010 г. од Питер Субер, за преведувањето од англиски во логичка нотација (англиски)