Ferma skaičius

Ferma skaičius – natūralusis skaičius, kuris yra išreiškiamas formule ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$ čia ${\displaystyle n}$ yra neneigiamas sveikasis skaičius. Ferma skaičiai pavadinti prancūzų matematiko Pjero Ferma (1601–1665) vardu, kuris pirmasis ištyrė jų savybes.

Pjeras Ferma laiške Marinui Mersenui iškėlė prielaidą, kad Ferma skaičiai yra pirminiai.^[1] Tačiau 1732 m. Leonardas Euleris įrodė, kad taip nėra, parodydamas tai su ${\displaystyle n=5}$, buvo gautas sudėtinis skaičius, kuris dalijasi iš 641:^[1]

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;}$

Iki šiol žinomi tik penki pirminiai Ferma skaičiai ir nežinia, ar jų yra daugiau, ar ne.^[1]

Ferma skaičiai yra glaudžiai susiję su taisyklingųjų daugiakampių konstravimu, tai parodė vokiečių matematikas Karlas Frydrichas Gausas (1777-1855), nustatęs, kad taisyklingąjį n-kampį skriestuvu ir liniuote galima nubrėžti tik tada, kad n yra pirminis Ferma skaičius arba skiriasi nuo to skaičiaus daugikliu ${\displaystyle N^{\alpha }}$, kur ${\displaystyle \alpha }$ - natūrinis skaičius.^[2]

Keletas pradinių Ferma skaičių:

${\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3}$

${\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5}$

${\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17}$

${\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257}$

${\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65537}$

${\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417}$

${\displaystyle F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721}$

${\displaystyle F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}$

Kitos Ferma skaičių savybės:^[3]

• Tarp skaičių 2ⁿ+1 pirminiais gali būti tik Ferma skaičiai;
• Ferma skaičiai, kai n > 1, baigiasi 7;
• Ferma skaičiai negali būti tobulaisiais skaičiais;
• Ferma skaičiai negali būti Vifericho pirminiais skaičiai.

Gauso-Vancelio teorema teigia, kad taisyklingasis ${\displaystyle n}$-kampis gali būti nubrėžtas skriestuvu ir liniuote tada ir tik tada, kai ${\displaystyle n}$ yra sandauga skaičių 2 (pakelto laipsniu) ir skirtingų Ferma skaičių, užrašoma: n = 2^kp₁p₂...p_s, kur k, s yra neneigiami sveikieji skaičiai, o p_i yra skirtingi Ferma skaičiai.

Pavyzdžiui, taisyklingąjį penkiakampį galima nubrėžti naudojant skriestuvą ir liniuotę, nes 5 yra pirminis Ferma skaičius, taip pat daugiakampis su 340 kraštinių gali būti nubrėžtas naudojant skriestuvą ir liniuotę, nes 340 = 2².F₁.F₂.