Российско-Бразильская конференция по логическому плюрализму памяти Ньютона да Косты

ДЕНЬ 1: 05.11.2024

Конференцию открыла руководитель Международной лаборатории логики лингвистики и формальной философии Елена Драгалина‐Черная. Мероприятие было посвящено памяти Ньютона да Косты (1929‐2024) и Елена Драгалина‐Черная начала свой доклад впечатлениями да Косты о восточноевропейских логиках 60-х-70-х годов, которых он порицал за стремление к созданию единственно верной логики, но хвалил за внимание к противоречию. Это, однако, не единственное, что связывает да Косту и восточноевропейских логиков. И многие доклады на конференции были посвящены влиянию отечественных логиков на да Косту и его философский проект.  

Вслед за Еленой Драгалиной‐Черной и ее приветственным словом шел доклад ученицы и последовательницы да Косты Италы Лоффредо Д’Оттавиано, в котором она представила основные вехи его творчества и основные идеи. Главной научной заслугой да Косты является разработка и развитие параконсистентных логик, в задачу которых входит преодоление традиционных трудностей, с которыми сталкивается классическая логика при работе с противоречием.  Докладчик отметила, что да Коста начал исследовать противоречия и противоречивые теории уже в самых ранних работах.  Эти исследования и логические проекты сегодня развивают многие ученые со всего мира, в том числе и российские логики. Причем параконсистентные логики выступают не просто полезным формальным инструментом, но они также позволяют ставить важные философские проблемы, особенно касающиеся основания наук. Вклад да Косты, однако, как отметила Д’Оттавиано, не ограничивается одной только неклассической логикой, и заметен в исследованиях по основаниям математики, физики и философии логики. 

Перечислив заслуги да Косты перед логикой, философией и наукой, Д'Oттавиано привела краткую биографию да Косты, отдельно отметив его вклад в академическую и научную среду. Он был одним из основателей «Бразильской логической конференции» и «Латино‐американского симпозиума по математической логике», а также первым президентом Бразильского логического общества. Также в 1982 году он создал «Журнал неклассической логики». Помимо академических заслуг и наград да Косты Д'Oттавиано особенно подчеркнула человеческие качества да Косты. Он был не просто одним из самых цитируемых бразильских ученых, но ещё и поэтом, способным мотивировать своих студентов и взращивать их лучшие таланты, а также как работать в команде с исследователями со всего мира. 

 Затем следовал доклад Валентина Бажанова «Newton C.A. da Costa and his Links with Soviet/Russian Colleagues», в котором он говорил о связях да Косты с советскими и российскими коллегами. Бажанов рассказал о живом интересе да Косты к советской и российской логике, философии и культуре.

 Бажанов построил свой доклад на переписке с да Костой, которую он вел с 1986 года. Первой темой их переписки стало творчество известного российского и советского философа и логика Николая Васильева. Да Коста был приятно удивлен, обнаружив у него идеи, похожие на свои. Он обсуждал с Бажановым работы Васильева как важные предвосхищения параконсистентных логик ‐ собственного проекта да Косты. 

 Желание да Косты побольше узнать о жизни и творчестве Васильева положило начало его долгой переписке с Бажановым. В одном из писем бразильский ученый даже признается в том, что является почитателем работ Васильева. Бажанов также вспомнил о визите да Косты в Москву показал слушателям уникальные фотографии, оставшиеся в память об этом событии. Да Коста, по словам Бажанова, был поклонником советской и российской философии, и даже считал себя ее пропагандистом. Он также был членом редакционного совета одного из ведущих отечественных философских журналов «Логики и эпистемологии науки».

Доклад Бажанова также был ознаменован важным и торжественным событием - письма да Косты были переданы его ученице, Итале Д'Oттавиано. Эта переписка будет размещена в архиве университета Кампинаса и окажет неоценимую помощь исследователям творчества и биографии бразильского логика и философа. 

Вслед за Бажановым выступал Иван Микиртумов с докладом «Conditional necessity, praxis and criticism of action: reasoning about the ways to the future in Aristotle», посвященном аристотелевской теории действия. Согласно Микиртумову, Аристотель выделял два вида необходимости: безусловную (или абсолютную) и условную. Безусловная необходимость касается сущности вещи и, таким образом, является вечной. В то время как условная необходимость, как следует из названия, предполагает некоторые условия. Микиртумов считает, что это деление может помочь в интерпретации аристотелевской теории действия, а именно, объяснить как свобода действия связана с необходимостью.

Абсолютная необходимость однозначно определяет будущее. Если некоторое свойство является абсолютно необходимым, то есть принадлежит к сущности вещи, то мы знаем, что вещь всегда будет обладать этим свойством. Если она сможет лишиться этого свойства, то уже перестанет быть сама собой. Эта необходимость, очевидно, не подходит для анализа свободных действий.

 Условная же необходимость работает по другой модели. Она возникает в тех случаях, когда мы имеем дело с зависимостью одного акцидентального свойства от другого. Или, когда у нас есть некоторая цель и мы ищем средства для ее реализации. Микиртумов в своем докладе показывает, что теория условной необходимости Аристотеля может являться инструментом критики и оценки действия.  Последовавшее за докладом обсуждение также дало возможность докладчику уточнить и развить свою позицию по поводу того, как именно Аристотель представляет процесс выбора средств для осуществления действия. 

Следующий доклад представлял Жозе да Мата, и он назывался «Contradiction in Hegel's logic and Hegel's semantics of negation». В нем да Мата постарался представить некоторые следствия из гегелевского учения об отрицании. Да Мата утверждал, что, следуя Гегелю, мы должны думать об отрицании прагматически. Такой способ думать об отрицании привел Гегеля к новому открытию противоречия, познавательное значение которого многие философы до Гегеля рассматривали как исключительно негативное. Гегель же наделил противоречие темпоральными характеристиками. Способ работать с противоречием, который мы находим у Гегеля (согласно да Мате в скрытом виде он уже содержится в работах Аристотеля: в размышлениях над парадоксом будущего морского сражения, о котором также говорил предыдущий докладчик ‐ Иван Микиртумов), предвосхищает многие современные подходы, например, в паранепротиворечивых логиках. Так да Мата показал историко-философские истоки логических исследований Гегеля да Косты. 

 Далее докладчик сделал смелое предположение о возможном влиянии Гегеля на Лобачевского и его построение неевклидовых геометрий. Значительную часть доклада да Мата посвятил сравнению Гегеля и Васильева. Согласно да Мате, учение о противоречии Гегеля похоже на логическую доктрину содержания противоречия внутри предиката, которую защищал Васильев. Однако, несмотря на сходства, Васильев все же не может быть назван гегельянцем или последователем Гегеля в каком‐либо строгом смысле. Дело в том, что Гегель полагает, что логика занимается реальным, в то время как для Васильева она принадлежит сфере воображаемого. 

 Затем слово перешло к Эвандро Гомесу, который в докладе «The mirror has two faces: logical pluralism from the perspective of da Costa and Quine» предложил сравнение двух точек зрения на логику и ее границы. Первая ‐‐ точка зрения логического плюрализма, которую защищал да Коста. Вторая ‐‐ логический монизм позднего Куайна. 

 Как и докладчики перед ним, Гомес отметил недостаток многих исследований по истории логики. Правда, если Бажанов (до него) и Д'Оттавиано (после) обращали внимание аудитории на значение «забытых имен», внесших вклад в развитие неклассической логики, то Гомес отметил, что проблемы возникают с исторической корректностью самого термина «классическая логика». Строго говоря, выражение «классическая логика» — это продукт XX века. И появилось оно на фоне исследований возможностей не‐аристотелевской логики. Оно тесно связано с дискуссией вокруг логического плюрализма. Логический плюрализм — это позиция, согласно которой существует более чем одна логика, и, соответственно, разные логические системы могут быть корректными инструментами для описания реальности или моделирования разных феноменов. Противники же логического плюрализма, считающие, что существует только одна логика, - называются логическими монистами.

 Одним из самых влиятельных логических монистов второй половины XX века был Уиллард Куайн. Однако, как замечает Гомес, Куайн не всегда придерживался такой позиции. В своей классической работе «Две догмы эмпиризма» он выступает за возможность пересмотра каждого положения, в том числе и логического. Таким образом, в этот период Куайн был логическим плюралистом. Однако затем он изменил свои убеждения и стал в оппозицию к взгляду, допускающему многообразие логик. Гомес предложил реконструкцию его аргументов в пользу логического монизма и показал, что они несостоятельны с точки зрения самого куайновского прагматистского взгляда на принятие теорий. 

В качестве альтернативы куайновскому догматизму Гомес предложил рассмотреть взгляды да Косты, который в отношении логики придерживался плюралистической и даже диалектической позиции. Да Коста предлагает три прагматических принципа: принцип систематизации, уникальности и адекватности. Первый гласит, что в наших рациональных активностях разум выражается через логику. Второй, указывает, что логика, лежащая в основании той или иной рациональной активности, является в некотором смысле уникальной, норазличные  контексты могут требовать различных логик. Последний третий принцип устанавливает, что логика, лежащая в основании той или иной рациональной активности, лучше всего подходит для неё. Последний принцип делает пересмотр логики конкретной активности и замену ее другой логикой нерациональным. Эти три принципа, согласно Гомесу, формируют прагматизм да Косты в отношении логики и служат валидной альтернативой куайновскому необоснованному догматизму. 

Закрывался первый день российско‐бразильской конференции, посвященной памяти да Косты, докладом Италы Д'Oттавиано «Horizons of Logic for the 20th Century: Russian contributions to non-classical logics - Ivan Orlov». Доклад явился частью серии докладов Д'Oттавиано, прочитанных в Москве и посвященных вкладу российских логиков в становление и развитие неклассической логики. В этот день речь шла о Иване Орлове (1886‐1936). Д'Оттавиано рассказала, что Орлов бился над задачей по разработке содержательной логики естественных наук, которая соответствовала бы духу диалектики. Это привело его к формулированию логики пропозициональной совместимости, что, в свою очередь, было значительным шагом на пути к современным релевантным логикам. 

 В докладе была разобрана статья Орлова 1928 года под названием «Исчисление совместности предложений». Одной из проблем, над которой Орлов работал в этой статье, был парадокс материальной импликации. Он настаивает на том, что антецедент и консеквент должны зависеть от значения, что, согласно Д'Оттавиано, было важным переходом от «логики объема» к «логике содержания». Орлов считает, что логику должна беспокоить не истинность и ложность предложений, а их совместимость. С этими мыслями Орлов конструирует интересную и оригинальную логику, основанную на двух примитивных пропозициональных связках: импликации ‘+’ и отрицании ‘ ̅ ’. Импликация, согласно Орлову, на естественном языке описывается как отношение совместимости: если «p совместимо с q», то «из p не следует отрицания q».

 Новая импликация позволяет Орлову предложить систему аксиом, которую Д'Оттавиано подробно разобрала в своем докладе. Кроме того, Орлов ввел в свою логику две дополнительные интенсиональные связки: ‘∘’ и ‘∨’, такие что (a ∘ b) = def. ¬(a + ¬b) и (a ∨ b) = def. ¬(¬a + ¬b), а также операторы доказуемости (Ф) и абсурдности (X). Д'Оттавиано показала некоторые замечательные результаты, которые получил Орлов, а также отметила, что фактически он первым до Геделя и Беккера предложил модальные аксиомы системы S4. С точки зрения докладчика, Орлов был одним из первых логиков, предложивших аксиоматизации релевантной и интуиционистской логик. Он предвосхитил своего соотечественника Гливенко (о котором она рассказала на следующий день), Гейтинга, а также уже упоминавшихся Геделя и Беккера. В ходе дискуссии после доклада Д'Оттавиано также отметила, что в широком смысле, Орлов предвосхитил и параконсистентные логики.

ДЕНЬ 2: 06.11.2024

Второй день российско-бразильской конференции начался докладом «Truth-tables for Intuitionistic Propositional Logic: A new interpretation and decision procedure based on restricted non-deterministic matrice» Марсело Конильо. Исследователь подробно представил проблему невозможности охарактеризовать интуиционистскую пропозициональную логику (IPL), а также логики KT и S4 одной конечной логической матрицей. В истории логики относительно успешную попытку разрешения этой проблемы предпринял в 1981 году Дж. Кернс, когда доказал, что 4-значные недетерминистские матрицы (N-матрицы) конструируют полную и непротиворечивую семантику для модальных логик KT, S4 и S5. 

Тем не менее, с помощью этих матриц было невозможно создать эффективную разрешающую процедуру в рамках этих логик. Способ решения этой проблемы представил в своем докладе Марсело Конильо. Для логики IPL докладчик предложил использовать ограниченные недетерминистские матрицы (RN-матрицы). RN-матрица представляет собой кортеж из двух элементов (M, F), где M – это обычная недетерминистская матрица, а F – это функция оценки данной матрицы F ⊆ Val(M). 

Затем Марсело Конильо описал, как определяется истинностный статус в RN-матрице логики IPL для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Докладчик доказал, что гильбертовское исчисление для интуиционистской пропозициональной логики HIPL является полным и непротиворечивым.  

Семантика для IPL задается интуиционистскими фреймами Крипке, расширенными семейством оценок, индексированных мирами, в которых порядок уточнения соответствует отношению достижимости фрейма. Для каждой логической таблицы в рамках RN-матрицы можно подобрать каноническую модель Крипке. Поэтому логическую таблицу можно назвать своего рода «мини-моделью», в которой истина соответствует принадлежности максимальному непротиворечивому множеству. Как отметил Марсело Конильо, в будущих работах он планирует исследовать возможности расширения метода RN-матриц для других логик, таких как экуменическая пропозициональная логика Правица и других модальных систем.

Затем Евгений Борисов выступил с докладом «A logic for crossworld predication». Доклад был посвящен проблеме кросс-мировой предикации (crossworld predication). Суть этой проблемы заключается в том, что язык первопорядковых логик не способен адекватно выразить отношения между объектами, которые будут касаться их состояния в разных мирах. Простейший пример выражения с кросс-мировой предикацией, это высказывания, в которых утверждается что-то контрфактическое. Например фраза – «Джон мог быть выше, чем Мэри сейчас», или знаменитый пример   Рассела – «Я думал, что твоя яхта больше, чем она есть». В первом примере, с точки зрения модальной логики, утверждается, что существует возможный мир, достижимый из этого, в котором Джон выше, чем Мэри в нашем действительном мире. 

Эта особенность делает в данной ситуации отношение «быть выше» кросс-мировым. Формально это отношение можно представить следующим образом: {Джон, Мэри} ∈ Быть выше ({u, w}), где u – это действительный, а w – достижимый из данного мир. Для отображения таких отношений Евгений Борисов представил кросс-мировую логику предикатов (CWPL). Язык логики CWPL взят из традиционной первопорядковой модальной логики, включающей: переменные, константы, предикаты и логические операторы. 

Модель логики CWPL будет кортежем из четырех элементов: непустого множества возможных миров G, отношения достижимости R, семейства непустых множеств доменов D(M) возможных миров и функции интерпретации I. Если обычная функция интерпретации переходит от возможных миров к предикатам, то кросс-мировая интерпретационная функция берет n-домен миров и затем выдает предикаты. Также важным инструментом данной логики является функция оценки VP (variable/possible world). Именно она определяет последовательность объектов и последовательность возможных миров, для установления кросс-мирового отношения.  

Как показал Евгений Борисов, законы CWPL отличаются от стандартного набора модальной логики. Например, импликация ∃x◊P(x) → ∃xP(x) (если существует х, у которого возможно свойство P, то существует х, обладающий таким свойством) будет общезначимой. При этом не будет выполняться правило если ⊨ φ, то ⊨ ∀xφ. А также в логике CWPL не работает общее правило генерализации, то есть существует валидная формула, у которой не будет генерализации.    

Дмитрий Зайцев сделал доклад «Argumentative Reasoning and Relevance». В ходе сообщения была представлена немонотонная логика аргументации. Как отметил докладчик, вопреки обыденному представлению, ключевым вопросом для логики является не истинность предпосылок, а именно их консистентность, непротиворечивость. Обычные люди в своих повседневных рассуждениях не делают выводы из противоречия, а пытаются его устранить. Поэтому знаменитый принцип взрыва – «из противоречия следует что угодно» или «ex falso quodlibet» приемлемый для классической логики, является для обычных рассуждений контринтуитивным. 

Для того, чтобы формальная аргументация больше соответствовала нашим естественным интуициям, Дмитрий Зайцев представил немонотонную логику рассуждения (ANML – Argumentation Non-Monotonic logic). В этой логике ANML действует всего одна аксиома p ∣∼ p, для которой работает правило подстановки только для выполнимых формул. Также в ней выполняются дедуктивные постулаты VCL, законы де Моргана и правило ограниченной монотонности Γ ∣∼ A; Γ, B ∣∼ B / Γ, B ∣∼ A.

Как показал докладчик, данная логика позволяет успешно разрешить парадоксы, вызванные выводами из противоречия. Но в то же время в ANML появляются особые парадоксы тривиальных умозаключений, например есть проблемы с добавлением новых предпосылок в связи с ограниченным правилом монотонности. В ответе на один из вопросов слушателей после доклада Дмитрий Зайцев также отметил, что аргументативное следование (графически отображается как «волнистый штопор») в ANML похоже на рассуждение по абдукции.

Заключительным на российско-бразильской конференции было выступление Владимира Васюкова с докладом «The Universe of the Translations of Logical Systems». В своем докладе он рассказал об исследовании универсальной логики, которая подразумевает существование общего универсума всех возможных логических систем. Такая универсальная логика позволяет нам описывать конкретные логические системы, благодаря объединению их в единый категорный вид. И как показал докладчик, если расширить категорию логических систем до 2-категории, в рассмотрении окажется также универсум переводов разных логических систем друг в друга.  

Для этого Владимир Васюков предложил понимать логический язык как свободно порожденный определенной сигнатурой, включающей конструкторы разной вместимости или по-другому арности (arity). В этом случае сигнатура будет представлять собой индексированное множество Σ = {Σn}, где каждое Σn является n-вместимым конструктором. А логической системой будет пара из двух элементов (Σ, ⊢), где Σ – это обозначенная выше сигнатура, а ⊢ представляет собой оператор присоединения следствий в смысле Альфреда Тарского.

В ходе доклада Владимир Васюков доказал, что различные языки, порожденные различными сигнатурами, могут переводиться друг в друга с помощью понятия морфизма. Это значит, что примитивные связки одной сигнатуры отображаются в производные связки другой сигнатуры с сохранением соответствующей арности или вместимости. Во время дискуссии после доклада Итала Д’Оттавиано подчеркнула, что подход Владимира Васюкова к переводу логических систем близок к их совместной с Марсело Конильо концепции абстрактного перевода. Оба подхода являются промежуточными вариантами между консервативным и контекстуальными подходами к переводу логик.