공집합

공집합 ${\displaystyle \varnothing }$ 은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in \varnothing }$ 에 대하여, ${\displaystyle x\neq x}$ 

모든 집합 ${\displaystyle A}$ 에 대하여,

• 공집합은 ${\displaystyle A}$ 의 부분집합이다.

  ${\displaystyle \varnothing \subset A}$ 

• 집합 ${\displaystyle A}$ 와 공집합의 합집합은 집합 A이다.

  ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ 

• 집합 ${\displaystyle A}$ 와 공집합의 교집합은 공집합이다.

  ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$ 

• 집합 ${\displaystyle A}$ 와 공집합의 곱집합은 공집합이다.

  ${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }$ 

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.

• 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.

  ${\displaystyle A\subset \varnothing \Longrightarrow A=\varnothing }$ 

• 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.

  ${\displaystyle 2^{\varnothing }=\{\varnothing \}}$ 

• 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0이다. 공집합은 유한집합이다.

  ${\displaystyle \mathrm {card} (\varnothing )=0}$ 

• ${\displaystyle A}$ 는 공집합과 서로소이다.

${\displaystyle A-\varnothing =A}$ 

공허하게 참인 명제(空虛-命題, 영어: vacuously true statement)는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.

• ${\displaystyle \forall x\in \varnothing \colon \phi (x)}$ 
• ${\displaystyle \phi \implies \psi }$  (여기서 ${\displaystyle \phi }$ 는 거짓 명제이다.)

공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in \varnothing }$ 에 대하여, ${\displaystyle x\neq x}$ 
• 만약 ${\displaystyle 3<x<2}$ 라면, ${\displaystyle 6<2x<4}$ 이다.

  이 부분의 본문은 합 및 곱입니다.

편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{x\in \varnothing }x=0}$ 

${\displaystyle \prod _{x\in \varnothing }x=1}$ 

예를 들어, 합

${\displaystyle \sum _{n=p}^{q}a_{n}}$ 

을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=p}^{q}a_{n}={\begin{cases}0&p>q\\\displaystyle \sum _{n=p}^{q-1}a_{n}+a_{q}&p\leq q\end{cases}}}$ 

  이 부분의 본문은 영항 연산입니다.

편의를 위해, 집합 ${\displaystyle A}$ 의 0번 곱집합 ${\displaystyle A^{\times 0}}$ 은 임의의 한원소 집합 ${\displaystyle \{\bullet \}}$ 으로 정의된다. 이 경우, 집합 ${\displaystyle A}$  위의 영항 연산

${\displaystyle f\colon A^{\times 0}\to A}$ 

는 ${\displaystyle A}$ 의 원소

${\displaystyle f(\bullet )\in A}$ 

와 일대일 대응한다.

수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. ${\displaystyle 0:=\varnothing ,\ 1:=\{\varnothing \},\ 2:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\ \cdots }$  이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리에서 사용하는 방법이다.

공집합의 기호 ${\displaystyle \varnothing }$ 는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 ${\displaystyle \phi }$ 를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

• 헐모시 팔

• “Empty set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Empty set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Empty set”. 《nLab》 (영어). 

이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다.