이등변 삼각형

각 ${\displaystyle \angle A}$의 이등분선 ${\displaystyle AX}$가 ${\displaystyle BC}$와 ${\displaystyle X}$에서 만난다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle AB=AC}$

${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC}$

${\displaystyle AX=AX}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABX}$와 ${\displaystyle ACX}$는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, ${\displaystyle BX=CX}$이며, 또한

${\displaystyle \angle AXB=\angle AXC={\frac {1}{2}}\angle BXC={\frac {\pi }{2}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle AX}$는 변 ${\displaystyle BC}$의 수직 이등분선이며, 따라서 ${\displaystyle AX}$는 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 중선이자 변 ${\displaystyle BC}$의 수선이다.

우선 ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다고 가정하자. 각 ${\displaystyle \angle A}$의 이등분선 ${\displaystyle AX}$가 변 ${\displaystyle BC}$와 ${\displaystyle X}$에서 만난다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle AB=AC}$

${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC}$

${\displaystyle AX=AX}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABX}$와 ${\displaystyle ACX}$는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, ${\displaystyle \angle B=\angle C}$가 성립한다.

이제 ${\displaystyle \angle B=\angle C}$가 성립한다고 가정하자. 각 ${\displaystyle \angle A}$의 이등분선 ${\displaystyle AX}$가 변 ${\displaystyle BC}$와 ${\displaystyle X}$에서 만난다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \angle B=\angle C}$

${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC}$

${\displaystyle AX=AX}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABX}$와 ${\displaystyle ACX}$는 AAS 합동에 따라 합동이다. 특히, ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다.

우선 ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle AB=AC}$

${\displaystyle \angle A=\angle A}$

${\displaystyle AC=AB}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 ${\displaystyle ACB}$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle \angle B=\angle C}$가 성립한다.

이제 ${\displaystyle \angle B=\angle C}$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle \angle B=\angle C}$

${\displaystyle BC=CB}$

${\displaystyle \angle C=\angle B}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 ${\displaystyle ACB}$는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다.

우선 ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle \angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \angle A=\angle A}$

${\displaystyle AB=AC}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABY}$와 ${\displaystyle ACZ}$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle BY=CZ}$가 성립한다.

이제 ${\displaystyle BY=CZ}$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle \angle A=\angle A}$

${\displaystyle \angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle BY=CZ}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABY}$와 ${\displaystyle ACZ}$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다.

우선 ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle AB=AC}$

${\displaystyle \angle A=\angle A}$

${\displaystyle AY=AZ}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABY}$와 ${\displaystyle ACZ}$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle BY=CZ}$가 성립한다.

이제 ${\displaystyle BY=CZ}$가 성립한다고 가정하자. ${\displaystyle BY}$와 ${\displaystyle CZ}$의 교점이 ${\displaystyle G}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle G}$는 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 무게 중심이므로, ${\displaystyle BG=2GY}$이고 ${\displaystyle CG=2GZ}$이다. 따라서

${\displaystyle BG=CG}$

${\displaystyle \angle BGZ=\angle CGY}$

${\displaystyle GY=GZ}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle BGZ}$와 ${\displaystyle CGY}$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle \angle GBZ=\angle GCY}$이다. 따라서

${\displaystyle \angle A=\angle A}$

${\displaystyle \angle ABY=\angle ACZ}$

${\displaystyle BY=CZ}$

이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABY}$와 ${\displaystyle ACZ}$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, ${\displaystyle AB=AC}$가 성립한다.

각의 이등분선의 길이의 제곱은

${\displaystyle BY^{2}=AB\cdot BC\left(1-{\frac {AC^{2}}{(AB+BC)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle CZ^{2}=AC\cdot BC\left(1-{\frac {AB^{2}}{(AC+BC)^{2}}}\right)}$

이다. 따라서 만약 ${\displaystyle AB=AC}$라면 ${\displaystyle BY=CZ}$이고, 만약 ${\displaystyle AB>AC}$라면 ${\displaystyle BY>CZ}$이고, 만약 ${\displaystyle AB<AC}$라면 ${\displaystyle BY<CZ}$이다.