노름 공간

선형대수학 및 함수해석학에서 노름 공간(norm空間, 영어: normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(영어: norm 놈^[*])이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생략하면 반노름 공간(半norm空間, 영어: seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 영어: seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. ${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}$

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 반노름은 다음 두 조건들을 만족하는 함수

${\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty )}$

${\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert }$

이다.^{[1]:25, §1.33}

• (양의 동차성) 임의의 ${\displaystyle a\in K}$ 및 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert }$
• (삼각 부등식) 임의의 ${\displaystyle u,v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert }$

반노름이 주어진 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$을 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반노름 공간이라고 한다.

${\displaystyle V}$ 위의 노름은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$이다.^{[1]:3–4, §1.2}

• (양의 정부호성) 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert v\Vert =0}$임은 ${\displaystyle v=0}$임과 동치이다.

노름이 주어진 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$을 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간이라고 한다.^{[1]:3–4, §1.2}

${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq V}$의 민코프스키 범함수(영어: Minkowski functional)는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu _{S}\colon V\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \mu _{S}(v)=\inf\{t\in \mathbb {R} ^{+}\colon v\in tS\}}$

${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 반노름은 다음 조건을 만족시키는 함수

${\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert }$

이다.

• 어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다.

(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 ${\displaystyle (V_{i})_{i\in I}}$과 실수 ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합

${\displaystyle V=\bigoplus _{i}V_{i}}$

에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

${\displaystyle \|(v_{i})_{i\in I}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}}$

그렇다면, ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert _{p})}$ 역시 노름 공간을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle V}$의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subseteq V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle W}$에 ${\displaystyle V}$의 노름을 제한한 것을 부여하면, ${\displaystyle W}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle V}$의 닫힌 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subseteq V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 ${\displaystyle V/W}$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

${\displaystyle \|v+W\|_{V/W}=\inf _{w\in W}\|v+w\|_{V}}$

그렇다면 ${\displaystyle V/W}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle (V,\|\|)}$의 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle V'}$ 위에는 쌍대 노름

${\displaystyle \|f\|_{V'}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|f(v)|}{\|v\|_{V}}}}$

을 부여할 수 있으며, 이에 따라 ${\displaystyle V'}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간을 이룬다.

임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반노름 공간 ${\displaystyle (V,\|\|)}$에 대하여, 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간을 정의하자.

${\displaystyle N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}}$

그렇다면, 몫공간 ${\displaystyle V/N}$ 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle (V,\|\|)}$의 (거리 공간으로서의) 완비화 ${\displaystyle {\bar {V}}}$ 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

${\displaystyle \|{\bar {v}}\|_{\bar {V}}=\lim _{i\to \infty }\|v_{i}\|_{V}\qquad ({\bar {v}}\in V)}$

여기서 ${\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$는 ${\displaystyle {\bar {v}}}$로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 ${\displaystyle {\bar {V}}}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 등거리 변환

${\displaystyle V\hookrightarrow {\bar {V}}}$

가 존재하여, ${\displaystyle V}$를 ${\displaystyle {\bar {V}}}$의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 ${\displaystyle V}$가 이미 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-반노름 공간 ${\displaystyle V}$ 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다.

${\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad (u,v\in V)}$

만약 ${\displaystyle V}$가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반노름 공간은 항상 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간을 이룬다.

두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반노름 공간 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간	⇐	${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간
⇑		⇑
${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간	⇐	${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간

즉, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle (V,\|\|)}$가 주어졌을 때,

• 만약 ${\displaystyle (u,v)\mapsto (\|u+v\|-\|u-v\|)/2}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-쌍선형 형식을 이루면, ${\displaystyle (V,\|\|)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간을 이룬다.
• 만약 완비 거리 공간이라면, ${\displaystyle (V,\|\|)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.
• 만약 ${\displaystyle (V,\|\|)}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간이자 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이라면, ${\displaystyle (V,\|\|)}$를 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간이라고 한다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle V}$를 반노름화 가능 공간(영어: seminormable space)이라고 한다.^{[2]:30, Theorem 1.39}

• ${\displaystyle V}$의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
• 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, ${\displaystyle 0\in V}$가 볼록 유계 근방을 갖는다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle V}$를 노름화 가능 공간이라고 한다.^{[2]:30, Theorem 1.39}

• ${\displaystyle V}$의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
• 반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간이다.

모든 벡터 공간에서 자명 반노름(영어: trivial seminorm) ${\displaystyle \Vert v\Vert =0}$은 반노름을 이루지만, 이는 (${\displaystyle V}$가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

체 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 ${\displaystyle \Vert a\Vert =|a|}$은 노름을 이룬다.

임의의 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$에 대하여, 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위에 다음과 같은 노름 ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{p}}$을 정의할 수 있으며, 이를 L^p 노름이라고 한다.

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

여기서 ${\displaystyle p=2}$인 경우는 표준적인 유클리드 노름

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$

이다. 만약 ${\displaystyle p=\infty }$일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}}$

이 된다. ${\displaystyle p=1}$인 경우는 맨해튼 노름

${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert _{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}$

이 된다.

${\displaystyle \ell ^{p}}$ 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

${\displaystyle \Vert x\Vert =2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}}$

그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

• 바나흐 공간
• 핀슬러 다양체
• 내적 공간
• 국소 볼록 공간
• 공간#수학

• “Norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normed space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Seminorm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Pre-norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normed space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Seminorm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Norm”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: norm (vector space)”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 1월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 26일에 확인함. 
• “Is a normed space which is homeomorphic to a Banach space complete?” (영어). Math Overflow.