自由代数

可換環 R に対し、n 不定元 {X₁, ..., X_n} 上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット {X₁, ..., X_n} 上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ自由 R 加群である。この R 加群は積を以下のように定義して R 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}},}$ 

であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば R 代数における積は R 双線型でなければならないからである）。この R 代数は R⟨X₁, ..., X_n⟩ と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 X に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 X = { X_i  |  i ∈ I} に対して、X 上の自由（結合的単位的R-代数は

${\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}$ 

に語の積が結合となる R-双線型な積が入ったものである、ただし X* は X 上の自由モノイド（すなわちアルファベット X_i 上の語すべてからなるモノイド）を表し、${\displaystyle \oplus }$  は外部直和を表し、Rw は1元、語 w 上の自由 R 加群を表す。

例えば、R⟨X₁,X₂,X₃,X₄⟩ において、スカラー α, β, γ, δ ∈ R に対して、2元の積の具体例は ${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$  である。

自由 R-代数 R⟨X⟩ は自由モノイド X* の R 上のモノイド環 R[X*] と同一視できる。

アルファベット {X₁, ..., X_n} 上の語全体は R⟨X₁, ..., X_n⟩ の基底をなすから、R⟨X₁, ..., X_n⟩ の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：

${\displaystyle \sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$ 

ただし ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$  は R の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ R⟨X₁, ..., X_n⟩ の元が「変数」（あるいは「不定元」X₁, ..., X_n の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元 ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$  はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、R 代数 R⟨X₁, ..., X_n⟩ は「R 上の n 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば X₁X₂ は X₂X₁ と等しくない。

より一般に、任意の生成元の集合 E 上の自由代数 R⟨E⟩ を構成することができる。環は Z 代数と見なすことができるから、E 上の自由環 (free ring) は自由代数 Z⟨E⟩ として定義できる。

体上では n 不定元の自由代数は n 次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、n 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。

E 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は R 代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。

可除環上の自由代数は自由イデアル環（英語版）である。

• 余自由余代数（英語版）
• テンソル代数
• 自由対象（英語版）
• 非可換環
• Rational series（英語版）

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 
• L.A. Bokut' (2001), “Free associative algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Free_associative_algebra