部分群

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代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限（英語版） 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 リー型（英語版） 散在（英語版） コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群（英語版） シューア multiplier（英語版） 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド（英語版） 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8 ローレンツ ポアンカレ 共形（英語版） 微分同相 ループ（英語版） 無限次元リー群（英語版） O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体

群 G の部分集合 H が G の部分群（英: subgroup）であるとは、 H が G の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 H が G の部分群であるとは、G 上の演算を制限して得られる H 上の演算に関して H が群になることである。この関係は通常、

${\displaystyle H\leq G}$

という記号で表現され^[1]、「 H は G の部分群である」と読む。

G の真部分群（英: proper subgroup）とは、部分群 H が G の真部分集合である（つまり H ≠ G である）ことであり、この関係は H < G という記号で表現される。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。

G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。

以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。

• H が群 G の部分群であるということは、 H が空集合ではなく、演算と逆元に対して閉じているということを意味する（「閉じている」というのは「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab および a⁻¹ も H に含まれる」ということである。なおこの2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab⁻¹ も H に含まれる」という条件である）。 H が有限集合の場合、 H が部分群であるということは、 H が空集合でなく、積に関して閉じているということと同値である（この場合、 H の任意の元は、 H の有限巡回部分群を生成する。そして a の逆元は、 a の位数が n ならば a⁻¹ = a^{n − 1} となる）。
• 上記の条件は準同型の言葉で書き換えることができる。つまり H が G の部分群となる必要十分条件は、H が G の部分集合で、H から G への包含写像（任意の a ∈ H に対して i(a) = a となる写像）が準同型を与えることである。
• 部分群の単位元は群の単位元と等しい。つまり、G が e_G を単位元とする群で、H が e_H とする G の部分群ならば e_H = e_G でなければならない。
• 部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。つまり H が群 G の部分群であり、a, b が H の元で ab = ba = e_H を満たすならば ab = ba = e_G が成り立つ。
• 部分群 A と B の共通部分はまた部分群になる。一方、部分群 A と B の和集合が部分群になるのは、 A と B の一方が他方を包含している場合のみに限られる^[2]。たとえば、2 と 3 はともに加法群としての 2Z と 3Z の和集合に含まれるが、それらの和である 5 はこの和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸（加法について考える）がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である原点のみの部分群となる。
• S が G の部分集合ならば S を含む最小の部分群が存在する。これは S を含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。これを記号 ⟨S⟩ で表し、「 S から生成される部分群」とよぶ。 G のある元が ⟨S⟩ に含まれるという事は、その元は S の元および S の元の逆元の有限個の積で表されるという事である。
• G の任意の元 a は巡回群 ⟨a⟩ を生成する。 ⟨a⟩ が適当な正の整数 n に対する Z/nZ と同型であるならば、n は aⁿ = e を満たす最小の正整数である。この n を a の位数 (order) という。もし ⟨a⟩ が Z と同型ならば、 a は無限位数を持つ、あるいは a の位数は無限大であるという。
• 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う（この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である）。G の単位元を e と書けば、単位群 {e} が G の最小の部分群であり、また最大の部分群は G そのものである。

可換群 G をその元が

${\displaystyle G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}}$

で与えられ、8を法とする加法を群演算とするものとする。その乗積表は以下のようになる。

この群は、二つの自明でない群を持つ。 J = {0, 4} および H = {0, 2, 4, 6} である。 J はまた H の部分群にもなっている。 H の群表は、 G の群表の左上1/4の部分である。 G は巡回群であり、また部分群も巡回群である。一般に、巡回群の部分群はやはり巡回群になる。

群 G に関し、部分群 H と元 a が与えられたとする。このとき左剰余類をこのように定義する： aH = { ah : h ∈ H } 。 a は可逆元であるため、 φ(h) = ah で与えられる写像 φ : H → aH は全単射である。さらに、 G の任意の元は、 H の左剰余類のどれか1個のみに含まれる。H に関する左剰余類は、「 a₁ ∼ a₂ となるのは a₁⁻¹a₂ が H に属するとき、かつそのときに限る」という同値関係から定まる同値類である。H の左剰余類の個数を、 G における H の指数と言い、 [G : H] で表す。

ラグランジュの定理により、有限群 G とその部分群 H について以下のことが言える。

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

|G| と |H| はそれぞれ G と H の位数を表す。特に、 G の任意の部分群の位数（および G の任意の元の位数）は、 |G| の約数である。

右剰余類も同様にして定義できる。: Ha = { ha : h ∈ H } 。これもまた、適切な同値関係を適用する事によって同値類になる。その個数は [G : H] である。

G に含まれるすべての a について aH = Ha であるとき、 H を正規部分群と言う。指数 2 の部分群は必ず正規部分群である（実際、部分群 H の指数が 2 であるということは、H に関する左剰余類の全体も右剰余類の全体もともに、部分群 H とその補集合で尽くされる）。より一般に、有限群 G の位数の約数の最小の素数 p に対して、指数 p の部分群は（存在すれば）正規である。

1. ^ Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups (Second ed.). p. 8. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001 
2. ^ Jacobson (2009), p. 41

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .

• 正規部分群
• カルタン部分群（英語版）
• フィッティング部分群
• 安定部分群