Spazio di misura

Si definisce spazio di misura uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$  dotato di una misura ${\displaystyle \mu }$  positiva definita sulla σ-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$  costituita da sottoinsiemi misurabili di ${\displaystyle X}$ .^[2] Un tale spazio si rappresenta con una terna ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ .

Quando lo spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$  è uno spazio boreliano, talvolta lo spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$  è detto spazio di misura boreliano. Dato uno spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ , in genere si denota con ${\displaystyle |\mu |}$  la variazione totale di ${\displaystyle \mu }$  su ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ .

Se ${\displaystyle |\mu |(X)<\infty }$  lo spazio di misura si dice finito. Se inoltre ${\displaystyle X}$  può scriversi come unione numerabile di insiemi:

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ 

di misura finita, cioè tali che ${\displaystyle |\mu |(X_{i})<\infty }$ , allora lo spazio misurabile si dice σ-finito.

Uno spazio di probabilità ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$  è uno spazio di misura tale che ${\displaystyle P(E)\geq 0}$  per ogni ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$  e ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ . In questo contesto ${\displaystyle P}$  è detta misura di probabilità. Dalla definizione stessa, segue che uno spazio di probabilità è sempre uno spazio di misura finita.

La struttura di spazio di probabilità è stata introdotta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov negli anni trenta, nell'ambito di una serie di lavori del matematico russo che hanno posto i fondamenti dell'intera teoria della probabilità.

Uno spazio di misura si dice completo se ogni insieme contenuto in un insieme nullo è misurabile (avendo ovviamente in questo caso misura nulla). In generale, da un punto di vista pratico, è conveniente utilizzare spazi completi.^[3] Tuttavia, dato uno spazio di misura non completo, è sempre possibile estenderlo ad uno spazio completo nel seguente senso.

Sia ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$  uno spazio di misura. Esiste un unico spazio di misura completo ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}}^{\prime },\mu ^{\prime })}$ , detto completamento di ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ , sullo stesso insieme ${\displaystyle X}$  con le seguenti proprietà:

1. la σ-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$  è più fine (cioè contiene) ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ .
2. la misura ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$  ristretta ad ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$  coincide con ${\displaystyle \mu }$ , ossia per ogni sottoinsieme misurabile di ${\displaystyle X}$  ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$  accade ${\displaystyle \mu (E)=\mu ^{\prime }(E)}$ .
3. se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {G}},\nu )}$  è un altro spazio con tale proprietà, allora ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$  è più fine di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$  (o equivalentemente, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$  è la meno fine tra tutte le σ-algebre su cui sia possibile effettuare tale costruzione).

Evidentemente, se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$  è completo, esso coincide col suo completamento. In generale è possibile costruire in maniera esplicita il completamento di uno spazio non completo. Ne illustriamo qui la procedura.

Consideriamo l'insieme ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$  di tutti gli insiemi contenuti in insiemi nulli (tali insiemi sono talvolta detti trascurabili). Sia ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }=\sigma \left({\mathfrak {N}}\bigcup {\mathfrak {F}}\right)}$  la più piccola σ-algebra contenente sia gli elementi di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$  che quelli di ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ ^[4]. Poiché l'unione e l'intersezione numerabili di insiemi trascurabili è trascurabile, si vede facilmente che ogni elemento ${\displaystyle E^{\prime }}$  di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$  può essere ottenuto da un elemento ${\displaystyle E}$  di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$  unendovi o sottraendovi un insieme trascurabile. Sarà allora sufficiente estendere ${\displaystyle \mu }$  ad una nuova misura su ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}}^{\prime })}$  semplicemente ponendo ${\displaystyle \mu ^{\prime }(E^{\prime }):=\mu (E)}$ .

Un caso notevole, è quello dello spazio di misura di Lebesgue (il secondo esempio sopra), che è il completamento dello spazio di Borel (il primo esempio sopra).

L'insieme degli spazi di misura forma una categoria, dove i morfismi sono dati dalle funzioni misurabili che conservano la misura. Più precisamente, dati due spazi di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ , ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\nu )}$  un morfismo è naturalmente associato ad una funzione ${\displaystyle f:X\mapsto Y}$  tale che:

• ${\displaystyle f}$  sia ${\displaystyle ({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})}$ -misurabile^[5].
• Per ogni insieme ${\displaystyle F\in {\mathfrak {G}}}$  accade ${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(F)\right)=\nu (F)}$ .

In particolare, i due spazi di misura si diranno isomorfi se esiste una funzione biiettiva ${\displaystyle f:X\mapsto Y}$  misurabile e con inversa misurabile, tale che per ogni ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$  accada ${\displaystyle \mu (E)=\nu (f(E))}$ .

Dato uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ , e due misure ${\displaystyle \mu ,\nu }$  su di esso, ${\displaystyle \nu }$  si dice assolutamente continua rispetto a ${\displaystyle \mu }$  se ogni insieme ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$  che ha misura nulla rispetto a ${\displaystyle \mu }$  ha misura nulla anche rispetto a ${\displaystyle \nu }$ : ${\displaystyle \mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0}$  Due misure assolutamente continue l'una rispetto all'altra si dicono equivalenti.

Dal teorema di Radon-Nikodym si può allora dedurre la seguente preposizione: siano ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$  e ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\nu )}$  due spazi di misura σ-finiti costruiti sopra il medesimo spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ . Se ${\displaystyle \mu ,\,\nu }$  sono equivalenti, allora i due spazi sono isomorfi.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della misura e Sistema dinamico conservativo.

• Naturalmente, l'applicazione più naturale della nozione di spazio di misura si ha proprio nella teoria della misura, in quanto essa costituisce un oggetto fondamentale di tale teoria.

• Se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$  è uno spazio misurabile ed ${\displaystyle S}$  un semigruppo, un'azione misurabile di ${\displaystyle S}$  su ${\displaystyle X}$  è una famiglia (indicizzata dal parametro ${\displaystyle s\in S}$ ) di mappe misurabili ${\displaystyle T_{s}:X\mapsto X}$  tali che ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{st}}$  per ogni ${\displaystyle s,t\in S}$ . Un sistema dinamico conservativo è una quadrupla ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu ,S)}$ , dove ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$  è uno spazio di misura, e ${\displaystyle T}$  è un'azione misurabile di un semigruppo ${\displaystyle S}$  su ${\displaystyle X}$ , che conserva la misura: ${\displaystyle \mu \left(T_{s}^{-1}(E)\right)=\mu (E)}$  per ogni ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}},\,s\in S}$ . La teoria dei sistemi dinamici conservativi è -nonostante la sua generalità- molto ricca. Da essa si possono ad esempio derivare con semplicità e generalità molte delle proprietà della meccanica classica. Infatti, i sistemi hamiltoniani rientrano nella classe dei sistemi dinamici conservativi.

• La terna ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},\mu )}$ , dove ${\displaystyle \mathbb {R} }$  è la retta reale, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  è la relativa σ-algebra boreliana, e ${\displaystyle \mu }$  è la misura di Borel è uno spazio di misura boreliano. Questo non è uno spazio finito, in quanto la misura (in questo caso lunghezza) dell'intera retta reale è infinita. Tuttavia tale spazio è σ-finito, in quanto ogni intervallo del tipo ${\displaystyle [n,n+1]}$  ha misura ${\displaystyle 1}$ , ed ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n}[n,n+1]}$ .
• La terna ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {L}},\lambda )}$ , dove ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$  è la σ-algebra di Lebesgue, e ${\displaystyle \lambda }$  è la misura di Lebesgue è uno spazio di misura non boreliano. Questo spazio di misura è pure σ-finito, per la stessa motivazione data sopra.
• Lo spazio discreto ${\displaystyle \Omega =\{1,\ldots ,n\}}$ , con la convenzione che ogni sottoinsieme di ${\displaystyle \Omega }$  è misurabile e la misura di un sottoinsieme è data da ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}}}$ , è uno spazio di probabilià.
• Se ${\displaystyle \Omega }$  è uno spazio di misura finita, allora si può ottenere uno spazio di probabilità introducendo la misura ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}}$ .

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.

• Donald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0.

• Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.

• Algebra di Borel
• Algebra di Baire
• Funzione misurabile
• Insieme misurabile
• Sigma-algebra
• Spazio misurabile
• Teoria della misura
• Teoria della probabilità

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di misura, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Spazio di misura, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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