Serie geometrica

La serie geometrica è una serie del tipo ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$ . In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali ${\displaystyle \{s_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ , in cui:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}.}$ 

La somma parziale ${\displaystyle n}$ -esima di una serie geometrica è dunque la somma per ${\displaystyle k}$  che va da zero ad ${\displaystyle n}$  di ${\displaystyle x^{k}}$ . Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a ${\displaystyle x}$  ed è detto ragione della serie.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

Possiamo dimostrare che ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}}$  in diversi modi.

Osserviamo che tale formula è valida per ${\displaystyle x\neq 1}$ , se ${\displaystyle x=1}$  la somma vale banalmente ${\displaystyle 1+n}$ .

Se la serie non parte da ${\displaystyle 0}$ , ma da un altro termine ${\displaystyle m}$ , allora

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}x^{k}={\frac {x^{m}-x^{n+1}}{1-x}}.}$ 

Derivando la somma rispetto a ${\displaystyle x}$  si possono trovare formule per somme del tipo

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{s}x^{k}.}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {(n+1)x^{n}}{1-x}}}$ 

La serie ha il seguente carattere:

• divergente per ${\displaystyle x\geq 1}$  perché si ha ${\displaystyle s_{n}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}\geq nx+1}$  e per il teorema del confronto diverge;
• indeterminata per ${\displaystyle x<-1}$  perché si ha ${\displaystyle s_{n}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}$  e ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x^{n}}$  non esiste (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere divergente, intendendo che ${\displaystyle |s_{n}|\to +\infty }$ );
• indeterminata nel caso ${\displaystyle x=-1}$ , poiché la funzione somma oscilla tra ${\displaystyle 1}$  e ${\displaystyle 0;}$ 
• convergente quando ${\displaystyle |x|<1.}$ 

Se infatti ${\displaystyle |x|<1}$  la somma della serie esiste e vale

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{x}^{k}=\lim _{n\to \infty }{{1-x^{n+1}} \over {1-x}}={\frac {1}{1-x}}.}$ 

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di ${\displaystyle x}$  sia minore di ${\displaystyle 1}$ , e anche nel campo dei numeri p-adici se ${\displaystyle |x|_{p}<1}$ . In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.

Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kx^{k-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}.}$ 

Questa formula naturalmente è valida solo per ${\displaystyle |x|<1}$ .

Per effettuare la stima della somma geometrica finita conoscendo quella infinita, spezziamo la serie come segue

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}+\sum _{i=n+1}^{\infty }x^{i},}$ 

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$  otteniamo che

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}-\sum _{i=n+1}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}-x^{n+1}\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}.}$ 

Se si pone che ${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}x^{i}}$  si ha che:

${\displaystyle f_{n}(1)=\lim _{x\to 1}{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=n+1.}$ 

La funzione ${\displaystyle f_{n}(x)}$  viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore ${\displaystyle xD}$  (dove con ${\displaystyle D}$  si indica la derivata) si ha che

${\displaystyle xDf_{n}(x)=xD(\sum _{i=0}^{n}x^{i})=x\sum _{i=0}^{n}ix^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}ix^{i}.}$ 

riconducendosi alla serie geometrica troncata. Quindi si ha

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}ix^{i}=xD(f_{n}(x))={\frac {nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}}.}$ 

Si vuole calcolare la seguente sommatoria:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k2^{k}.}$ 

Consideriamo la funzione

${\displaystyle t_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}x^{k}}$ 

e osserviamo che la sua derivata è data da

${\displaystyle t_{n}'(x)=\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1},}$ 

questo significa che

${\displaystyle 2t_{n}'(2)=\sum _{k=1}^{n}k2^{k},}$ 

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di ${\displaystyle t_{n}(x)}$  in ${\displaystyle 2}$ . Poiché ${\displaystyle t_{n}(x)={{x^{n+1}-1} \over {x-1}},}$  per ogni ${\displaystyle x\neq 1,}$  otteniamo

${\displaystyle t_{n}'(x)={{(n+1)x^{n}(x-1)-x^{n+1}+1} \over {(x-1)^{2}}},}$ 

e di conseguenza

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k2^{k}=2t_{n}'(2)=2{{(n+1)2^{n}(2-1)-2^{n+1}+1} \over {(2-1)^{2}}}=(n-1)2^{n+1}+2.}$ 

• Giulio Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Zanichelli Editore, ISBN 8808011690
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 9788820728199, paragrafo 106.

• Serie (matematica)
• Funzione esponenziale
• Serie armonica
• Serie di Mengoli
• Progressione geometrica

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• (EN) William L. Hosch, geometric series, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Serie geometrica, su MathWorld, Wolfram Research.  

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