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Radicale doppio

espressione in cui appaiono radicali contenuti in altri radicali

Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

oppure

I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà

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Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri   e   tali che:

 

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

 

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

 

cioè:

 

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

 

Risolvendo quest'equazione si ottiene

 

e quindi:

 

Si ottiene così l'identità cercata:

 

Analogamente si può ottenere:

 

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che  ,   ed   siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se   è un quadrato perfetto. Ad esempio:

 

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

 

Invece il radicale doppio   non si può semplificare, dal momento che   non è un quadrato perfetto.

Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che   in quanto  , si ha:

 

Ramanujan scoprì che

 ,

ad esempio

 ,

ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.[1]

Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:

 

La formula può essere usata per dimostrare che

 

Ecco come si procede:

 

adesso applicando la formula:

 

equivalente a

 

Esempio di radicale cubico doppio

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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