Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:
oppure
I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.
Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri e tali che:
-
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
-
Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:
-
cioè:
-
Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica
-
Risolvendo quest'equazione si ottiene
-
e quindi:
-
Si ottiene così l'identità cercata:
-
Analogamente si può ottenere:
-
D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che , ed siano positivi).
Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se è un quadrato perfetto. Ad esempio:
-
e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:
-
Invece il radicale doppio non si può semplificare, dal momento che non è un quadrato perfetto.
Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che in quanto , si ha:
-
Ramanujan scoprì che
- ,
ad esempio
- ,
ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.[1]
Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:
-
La formula può essere usata per dimostrare che
-
Ecco come si procede:
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adesso applicando la formula:
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equivalente a
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Esempio di radicale cubico doppio
modifica
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