Orbita geosincrona

Per ricavare il raggio dell'orbita geosincrona si impone l'uguaglianza della velocità angolare della particella di prova lungo la sua orbita, supposta circolare, e della velocità angolare di rotazione della Terra. La condizione di stabilità dell'orbita impone che la forza centrifuga eguagli la forza di attrazione gravitazionale terrestre. Essendo ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$  si ottiene:

${\displaystyle m\omega _{\oplus }^{2}r_{\text{geos.}}={\frac {GmM_{\oplus }}{r_{\text{geos.}}^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}r_{\text{geos.}}={\frac {GM_{\oplus }}{r_{\text{geos.}}^{2}}}}$ 

dove ${\displaystyle T=86\,164\,s}$  è il periodo di rotazione siderea terrestre.

Esplicitando si ottiene il raggio dell'orbita geosincrona:

${\displaystyle r_{\text{geos.}}={\sqrt[{3}]{\frac {GMT^{2}}{4\pi ^{2}}}}=42\,165\,{\text{km}}.}$ 

La velocità orbitale di un satellite in quest'orbita è dunque:

${\displaystyle v_{orb}={\frac {2\pi r_{orb}}{T}}=3\,075\,{\text{m/s}}.}$ 

Quest'orbita è effettivamente possibile perché si trova infatti all'interno della sfera d'influenza gravitazionale terrestre il cui raggio è il raggio di Hill dato dalla formula

${\displaystyle r_{\text{Hill}}=a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{T}}{3M_{S}}}}=1\,496\,535\,{\text{km}}.}$ 

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