Ferromagnetismo

  Lo stesso argomento in dettaglio: Ciclo di isteresi.

 

I materiali ferromagnetici sono caratterizzati da un particolare andamento ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (\mathbf {H} )}$  del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica. La relazione che li lega è scalare in un materiale isotropo, dal momento che in tal caso i campi assumono la medesima direzione (ma non necessariamente lo stesso verso). La rappresentazione grafica di tale funzione è detta ciclo di isteresi.^[1]

A partire dal momento in cui i campi sono nulli, e dunque è nulla la magnetizzazione del materiale, il campo magnetico aumenta seguendo la curva ${\displaystyle OH_{m}}$ , detta curva di prima magnetizzazione, fino al valore massimo di ${\displaystyle H_{m}}$  in cui ${\displaystyle \mathbf {B} }$  aumenta proporzionalmente a ${\displaystyle \mu _{0}\mathbf {H} }$ . In tali condizioni ${\displaystyle \mathbf {M} }$  raggiunge il suo valore massimo, detto valore di saturazione.

Diminuendo la corrente, diminuisce di conseguenza ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , senza tuttavia ripercorrere la stessa curva, ma la curva ${\displaystyle H_{m}B_{r}}$ . Per ${\displaystyle \mathbf {H} =0}$  risulta quindi che il campo magnetico non ritorna ad avere un valore nullo, ma acquista un'intensità pari a ${\displaystyle |\mathbf {B} |=B_{r}>0}$ . Tale valore è detto magnetizzazione residua:

${\displaystyle M_{r}={\frac {B_{r}}{\mu _{0}}}}$ 

Il materiale mantiene quindi una proprietà magnetica anche senza la presenza di un campo magnetico esterno.

Invertendo la corrente, inoltre, ${\displaystyle \mathbf {H} }$  e ${\displaystyle \mathbf {M} }$  diventano negativi, e quando il campo magnetico è nullo si ha ${\displaystyle |\mathbf {H} |=-H_{c}}$ . Tale valore è detto campo coercitivo.

Infine, diminuendo ulteriormente ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , anche ${\displaystyle \mathbf {B} }$  diventa negativo fino al valore ${\displaystyle -H_{m}}$  in cui di nuovo i campi sono proporzionali e la magnetizzazione arriva al minimo assoluto. Ricominciando ad aumentare ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , si ha il ciclo chiuso.

La permeabilità magnetica in un dato punto della curva:

${\displaystyle \mu ={\frac {|\mathbf {B} |}{|\mathbf {H} |}}}$ 

è pertanto determinabile a partire dalla relazione fra i campi, specificando a quale curva del ciclo di isteresi appartiene. Tale grandezza dipende quindi dalla "storia" del materiale, e perde sostanzialmente di significato nella caratterizzazione del materiale. Ogni materiale ferromagnetico segue il ciclo di isteresi: per cicli che via via sono più stretti il ciclo di isteresi si restringe via via fino a ritornare a zero. Questo significa che è possibile "smagnetizzare" il materiale ferromagnetico e riportarlo alla condizione iniziale in cui ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} =\mathbf {M} =0}$ .^[1]

Materiali ferromagnetici cristallini e corrispondenti temperature di Curie in kelvin[3]
Materiale	temp. Curie (K)
Co	1388
Fe	1043
FeOFe2O3*	858
NiOFe2O3*	858
CuOFe2O3*	728
MgOFe2O3*	713
MnBi	630
Ni	627
MnSb	587
MnOFe2O3*	573
Y3Fe5O12*	560
CrO2	386
MnAs	318
Gd	292
Dy	88
EuO	69

Il metodo descritto dal ciclo di isteresi è quello di misurare il campo di induzione magnetica ${\displaystyle \mathbf {B} }$  in funzione del campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {H} }$ .^[4] Si consideri un anello di materiale ferromagnetico di sezione ${\displaystyle A}$  e raggio ${\displaystyle R}$  costanti, avvolto da ${\displaystyle N}$  spire percorse da corrente continua ${\displaystyle I}$ . In questa situazione i campi sono circolari entro l'anello e sono trascurabili al di fuori di esso. In questo modo si calcola il valore di ${\displaystyle \mathbf {H} }$  tramite il teorema di Ampere:^[5]

${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =N\ I}$ 

e, poiché l'anello è assimilabile ad una circonferenza, l'integrale risulta:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}$ 

da cui:

${\displaystyle H={\frac {N\ I}{2\pi R}}}$ 

Nota la permeabilità magnetica relativa del materiale ${\displaystyle \mu _{r}}$ , è possibile calcolare il campo di induzione magnetica:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}\ H=\mu \ H}$ 

Questo sistema è quello che si usa in pratica per misurare i due campi, al variare dell'intensità di corrente, dal momento che:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}$ 

Una volta misurati ${\displaystyle \mathbf {H} }$  e ${\displaystyle \mathbf {B} }$  si può trovare il valore corrispondente di ${\displaystyle \mathbf {M} }$ :^[4]

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {M} }{\mu _{0}}}}$ 

Attraverso tale procedura è possibile ricavare sperimentalmente la curva di magnetizzazione, ovvero l'andamento del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica, e dunque il ciclo di isteresi.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Legge Curie-Weiss.

Pierre Curie fu il primo a scoprire che esiste una temperatura critica per ogni materiale ferromagnetico al di sopra della quale il materiale si comporta come paramagnetico. La suscettività magnetica segue la legge di Curie-Weiss:

${\displaystyle \chi _{m}={\frac {C\ \rho }{T-T_{c}}}}$ 

dove ${\displaystyle C}$  è una costante caratteristica del materiale, ${\displaystyle \rho }$  è la densità e ${\displaystyle T_{c}}$  la temperatura di Curie in kelvin.

Il ferromagnetismo rappresenta uno dei principali problemi aperti della fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due modelli teorici che riescono a descriverlo: il modello di Ising e il modello di Weiss, basati entrambi sull'Hamiltoniana di Heisenberg, che tuttavia utilizzano grosse approssimazioni.

L'Hamiltoniana per una coppia di elettroni appartenenti ad atomi vicini è:

${\displaystyle H=H_{1}+H_{2}+V_{12}\ }$ 

dove ${\displaystyle H_{1}}$  e ${\displaystyle H_{2}}$  sono le hamiltoniane dei singoli elettroni, e ${\displaystyle V_{12}}$  l'interazione fra i due.
Per il Principio di Pauli, la funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica, e quindi vi sono due possibilità:

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{S}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{A}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$ 

oppure

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{A}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{S}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$ 

dove il pedice ${\displaystyle A}$  o ${\displaystyle S}$  sta ad indicare una funzione antisimmetrica/simmetrica, ${\displaystyle \psi }$  indica le funzioni d'onda spaziali e ${\displaystyle \chi }$  indica le funzioni d'onda di spin.

Le funzioni d'onda di spin per una coppia di elettroni sono:

${\displaystyle \chi _{S}:\left\{{\begin{matrix}|++\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=1]\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]\\|--\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=-1]\\\end{matrix}}\right.}$ 

${\displaystyle \chi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle -|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]}$ 

Le funzioni d'onda spaziali sono:

${\displaystyle \psi _{S}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})+\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$ 

${\displaystyle \psi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$ 

Effettuando il calcolo perturbativo su queste funzioni d'onda si ottiene:

${\displaystyle E=\left\{{\begin{matrix}E_{0}+J\quad \rightarrow \quad \varphi _{1}=\psi _{S}\chi _{A}\\E_{0}-J\quad \rightarrow \quad \varphi _{2}=\psi _{A}\chi _{S}\\\end{matrix}}\right.}$ 

Dove ${\displaystyle J}$  è l'integrale di scambio. L'hamiltoniana separa quindi gli stati con spin diverso, e per questo motivo Werner Karl Heisenberg trovò un operatore che distinguesse gli stati con spin diverso e che potesse quindi descrivere la precedente interazione. Tale operatore è:

${\displaystyle \mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {3}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{1}\\{\frac {1}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{2}\\\end{matrix}}\right.}$ 

Da cui l'Hamiltoniana di Heisenberg:

${\displaystyle H_{Heisenberg}=-2J\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}}$ 

Il modello di Weiss propone di generalizzare la hamiltoniana di Heisenberg per un sistema con più elettroni utilizzando una approssimazione di campo medio: un elettrone risente di un'interazione dovuta alla media del campo generato dagli altri elettroni.

L'hamiltoniana del sistema diventa quindi:

${\displaystyle H_{magn}=g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} )\mathbf {s} (\mathbf {r} ')=s(\mathbf {r} )\cdot \langle g_{0}\mu _{B}\mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} ')\rangle =}$ 

${\displaystyle =s(\mathbf {r} )g_{0}\mu _{B}\left(\mathbf {B} -{\frac {1}{g_{0}\mu _{B}}}\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {\langle } s(\mathbf {r} ')\rangle \right)}$ 

dove si è posto ${\displaystyle g_{0},\mu _{B}}$  rispettivamente il fattore giromagnetico e il magnetone di Bohr.

Sostituendo il momento magnetico:

${\displaystyle \mathbf {m} =-g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} }$ 

ed il vettore magnetizzazione:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {N}{V}}\langle \mathbf {m} \rangle }$ 

si ha:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )\left(\mathbf {B} +\sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}{\frac {V}{N}}\mathbf {M} \right)}$ 

Quindi, in definitiva:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )(\mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} )}$ 

Si nota l'analogia con il paramagnetismo di Langevin, in cui si fa lo stesso studio a patto di sostituire il campo magnetico con un campo magnetico efficace dato da:

${\displaystyle \mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} }$ 

Esiste quindi una temperatura critica di Curie:

${\displaystyle T_{C}={\frac {J_{0}s(s+1)}{3k}}}$ 

al di sotto della quale si manifestano gli effetti del ferromagnetismo. Le quantità ${\displaystyle s}$  e ${\displaystyle k}$  sono l'autovalore dello spin e la costante di Boltzmann, mentre ${\displaystyle J_{0}}$  è dato da:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}}$ 

• Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• Jerry D. Wilson, Antony J. Buffa, Fisica 3, Milano, Principato, 2000, ISBN 88-416-5803-7
• Paride Nobel, Fenomeni fisici, Napoli, Editrice Ferraro, 1994 ISBN 88-7271-126-6
• K. H. J. Buschow, Encyclopedia of materials : science and technology, Elsevier, 2001, ISBN 0-08-043152-6.
• Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, sixth, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-87474-4.
• Ramon Pallàs-Areny e John G Webster, Sensors and Signal Conditioning, 2nd, John Wiley & Sons, 2001, pp. 262–263, ISBN 978-0-471-33232-9.
• Nicola A. Spaldin, Magnetic materials : fundamentals and applications, 2nd, Cambridge, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-88669-7.
• Harald Ibach e Hans Lüth, Solid-state physics : an introduction to principles of materials science, 4th extensively updated and enlarged, Berlin, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-93803-3.
• Robert A Levy, Principles of Solid State Physics, Academic Press, 1968, ISBN 978-0-12-445750-8.
• H.Y Fan, Elements of Solid State Physics, Wiley-Interscience, 1987, ISBN 978-0-471-85987-1.
• Adrianus J Dekker, Solid State Physics, Macmillan, 1958, ISBN 978-0-333-10623-5.
• N Cusack, The Electrical and Magnetic Properties of Solids, Longmans, Green, 1958.
• J.R. Hook, H.E. Hall, Solid state physics, 2nd, Chichester, Wiley, 1994, ISBN 0-471-92805-4.
• André Guinier ; Rémi Jullien, The solid state from superconductors to superalloys, Pbk., Oxford, Oxford Univ. Press, 1989, ISBN 0-19-855554-7.
• K. Mendelssohn, The quest for absolute zero : the meaning of low temperature physics, with S.I. units., 2nd, London, Taylor and Francis, 1977, ISBN 0-85066-119-6.
• H.P. Myers, Introductory solid state physics., 2nd ed., London, Taylor & Francis, 1997, ISBN 0-7484-0660-3.
• Charles Kittel, Introduction to solid state physics, 7. ed., New York [u.a.], Wiley, 1996, ISBN 0-471-11181-3.
• John Palmer, Planar Ising correlations, [Online-Ausg.]., Boston, Birkhäuser, 2007, ISBN 978-0-8176-4620-2.
• Dalía S Bertoldi, Bringa, Eduardo M; Miranda, E N, Analytical solution of the mean field Ising model for finite systems, in Journal of Physics: Condensed Matter, vol. 24, n. 22, 6 giugno 2012, p. 226004, Bibcode:2012JPCM...24v6004B, DOI:10.1088/0953-8984/24/22/226004. URL consultato il 12 febbraio 2013.
• Robert Brout, Phase Transitions, New York, Amsterdam, W.A.Benjamin.INC, 1965.
• C. Rau, Jin, C.; Robert, M., Ferromagnetic order at Tb surfaces above the bulk Curie temperature, in Journal of Applied Physics, vol. 63, n. 8, 1º gennaio 1988, p. 3667, Bibcode:1988JAP....63.3667R, DOI:10.1063/1.340679. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• R. Skomski, Sellmyer, D. J., Curie temperature of multiphase nanostructures, in Journal of Applied Physics, vol. 87, n. 9, 1º gennaio 2000, p. 4756, Bibcode:2000JAP....87.4756S, DOI:10.1063/1.373149. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• Victor Lopez-Dominguez, Hernàndez, Joan Manel; Tejada, Javier; Ziolo, Ronald F., Colossal Reduction in Curie Temperature Due to Finite-Size Effects in CoFe O Nanoparticles, in Chemistry of Materials, vol. 25, n. 1, 8 gennaio 2013, pp. 6-11, DOI:10.1021/cm301927z. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• S. K. Bose, Kudrnovský, J.; Drchal, V.; Turek, I., Pressure dependence of Curie temperature and resistivity in complex Heusler alloys, in Physical Review B, vol. 84, n. 17, 29 novembre 2011, Bibcode:2011PhRvB..84q4422B, DOI:10.1103/PhysRevB.84.174422, arXiv:1010.3025. URL consultato il 20 gennaio 2013.
• John G. Webster, The measurement, instrumentation, and sensors handbook, [Online-Ausg.], Boca Raton, Fla., CRC Press published in cooperation with IEEE Press, 1999, ISBN 0-8493-8347-1.
• Attay Kovetz, The principles of electromagnetic theory., 1st published., Cambridge [England], Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-39997-1.
• Rolf E. Hummel, Electronic properties of materials, 3. ed., New York [u.a.], Springer, 2001, ISBN 0-387-95144-X.
• K.J. Pascoe, Properties of materials for electrical engineers., New York, N.Y., J. Wiley and Sons, 1973, ISBN 0-471-66911-3.
• Paulsen, Jason A. Lo, Chester C H; Snyder, John E.; Ring, A. P.; Jones, L. L.; Jiles, David C. Jones, Study of the Curie temperature of cobalt ferrite based composites for stress sensor applications, 39 , Issue: 5, settembre 2003, pp. 3316-3318.
• Hae Jin Hwang, Nagai, Toru; Ohji, Tatsuki; Sando, Mutsuo; Toriyama, Motohiro; Niihara, Koichi, Curie Temperature Anomaly in Lead Zirconate Titanate/Silver Composites, in Journal of the American Ceramic Society, vol. 81, n. 3, 21 gennaio 2005, pp. 709-712, DOI:10.1111/j.1151-2916.1998.tb02394.x. URL consultato il 12 marzo 2013.
• Aymeric Sadoc, Mercey, Bernard; Simon, Charles; Grebille, Dominique; Prellier, Wilfrid; Lepetit, Marie-Bernadette, Large Increase of the Curie Temperature by Orbital Ordering Control, in Physical Review Letters, vol. 104, n. 4, 16 novembre 2009, Bibcode:2010PhRvL.104d6804S, DOI:10.1103/PhysRevLett.104.046804, arXiv:0910.3393. URL consultato il 19 febbraio 2013.
• Pierre Curie - Biography, su Nobelprize.org, From Nobel Lectures, Physics 1901-1921, Elsevier Publishing Company, Amsterdam, 1967, The Nobel Foundation 1903. URL consultato il 14 marzo 2013.

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• ferromagnetismo, su sapere.it, De Agostini.  
• (EN) ferromagnetism / ferromagnetic domain, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• R. Raimondi Un'introduzione al magnetismo (Roma 3)
• (EN) IUPAC Gold Book, "magnetic transition", su goldbook.iupac.org.
• (EN) Ferromagnetism Hyperphysics (Georgia State University)
• (EN) David Bowler Ferromagnetism (University College of London)
• (EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "Ferromagnetic Materials", su doitpoms.ac.uk.

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