Evoluzione di Schramm-Loewner

Se D è un dominio complesso aperto, semplicemente connesso, non equivalente a C, e γ è una curva semplice in D che parte dalla frontiera (una funzione continua con γ(0) sulla frontiera di D e γ((0,∞)) un sottoinsieme di D), allora per ogni t ≥ 0, il complemento D_t di γ([0, t]) è semplicemente connesso e quindi conformemente isomorfo a D per il teorema della mappa di Riemann. Se ƒ_t è un adeguato isomorfismo normalizzato da D a D_t, allora soddisferà un'equazione differenziale trovata da Loewner nel 1923 nel suo lavoro sulla congettura di Bieberbach^[2]. A volte è più conveniente usa la funzione inversa g_t di ƒ_t, che è una mappa conforme da D_t a D.

Nell'equazione di Loewner, z è appartenente al dominio D, t ≥ 0 e i valori al contorno al tempo t = 0 sono ƒ₀(z) = z o g₀(z) = z. L'equazione dipende da una funzione di driving ζ(t) che assume valori sulla frontiera di D. Se D è il disco unitario e la curva γ è parametrizzata dalla "capacità", allora l'equazione di Loewner è

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}\qquad }$  o ${\displaystyle \qquad {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$ 

Se D è il semipiano superiore l'equazione di Loewner differisce da questa per il cambio di variabile ed è

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}\qquad }$  o ${\displaystyle \qquad {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$ 

La funzione di dricing ζ e la curva γ sono legate da

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t)\qquad }$  o ${\displaystyle \qquad \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t)),}$ 

dove ƒ_t e g_t sono estesi per continuità.

Sia D il semipiano superiore e si consideri un SLE₀, quindi la funzione di driving ζ è un moto browniano con diffusività zero. La funzione ζ è quindi identicamente zero quasi sicuramente e

${\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}$ 

${\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}$ 

${\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}$ 

${\displaystyle D_{t}}$  è il semipiano superiore con il segmento da 0 a ${\displaystyle 2i{\sqrt {t}}}$  rimosso.

L'evoluzione di Schramm-Loewner è la curva casuale γ data dall'equazione di Loewner come nella sezione precedente, per la funzione di driving

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t),}$ 

dove B(t) è il moto browniano sulla frontiera di D, scalato di qualche κ reale. In altre parole, l'evoluzione di Schramm-Loewner è una misura di probabilità su curve del piano, data come immagine della misura di Wiener sotto questa mappa.

In generale la curva γ non deve essere semplice, e il dominio D_t non è il complemento di γ([0,t]) in D, ma è invece la componente illimitata del complemento.

Esistono due versioni della SLE, che utilizzano due famiglie di curve, ciascuna dipendente da un parametro reale non negativo κ:

• SLE_κ cordale, che è legata alle curve che connettono due punti sulla frontiera di un dominio (di solito il semipiano superiore, con i punti 0 e infinito).
• SLE_κ radiale, che si riferisce alle curve che uniscono un punto sulla frontiera di un dominio a un punto all'interno (spesso curve che uniscono 1 e 0 nel disco unitario).

SLE dipende da una scelta del moto browniano sulla frontiera del dominio, e ci sono diverse variazioni a seconda del tipo di moto browniano utilizzato: ad esempio potrebbe iniziare da un punto fisso, o iniziare da un punto uniformemente distribuito sul cerchio unitario, o potrebbe avere una deriva incorporata e così via. Il parametro κ controlla il tasso di diffusione del moto browniano e il comportamento della SLE dipende in modo critico dal suo valore.

I due domini più comunemente usati nell'evoluzione di Schramm-Loewner sono il semipiano superiore e il disco unitario. Sebbene l'equazione differenziale di Loewner in questi due casi appaia diversa, sono equivalenti per cambiamenti di variabili poiché il disco unitario e il semipiano superiore sono conformemente equivalenti. Tuttavia un'equivalenza conforme tra di loro non preserva i moti browniani sulle loro frontiere usati per guidare l'evoluzione di Schramm-Loewner (ossia non preserva le funzioni di driving).

• Per 0 ≤ κ < 4 la curva γ(t) è semplice (con probabilità 1).
• Per 4 < κ < 8 la curva γ(t) si auto-interseca e ogni punto è contenuto in un loop ma la curva non riempie lo spazio (con probabilità 1).
• Per κ ≥ 8 la curva γ(t) riempie lo spazio (con probabilità 1).
• κ = 2 corrisponde al loop-erased random walk o, equivalentemente, ai rami dell'albero ricoprente uniforme.
• Per κ = 8/3, SLE _κ ha la proprietà di restrizione e si ipotizza che sia il limite di scala delle passeggiate aleatorie autoevitanti. Una versione di esso è la frontiera esterna del moto browniano.
• κ = 3 è il limite delle interfacce per il modello di Ising.
• κ = 4 corrisponde al percorso dell'esploratore armonico e alle curve di livello del campo libero gaussiano.
• Per κ = 6, SLE _κ ha la proprietà di località. Ciò sorge nel limite di scala della percolazione critica sul reticolo triangolare e si congettura anche su altri reticoli.
• κ = 8 corrisponde al percorso che separa l'albero ricoprente uniforme dal suo albero duale.

Quando SLE corrisponde a una qualche teoria di campo conforme, il parametro κ è correlato alla carica centrale c della teoria di campo conforme da

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$ 

Ogni valore di c < 1 corrisponde a due valori di κ, un valore κ compreso tra 0 e 4 e un valore "duale" 16/κ maggiore di 4.

Beffara nel 2008 mostrò che la dimensione di Hausdorff dei cammini (con probabilità 1) è uguale a min(2, 1 + κ/8).

La probabilità per una SLE_κ cordale γ di trovarsi a sinistra di un certo punto ${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$  fissato fu calcolata da Schramm^[3]

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right),}$ 

dove ${\displaystyle \Gamma }$  è la funzione Gamma e ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$  è la funzione ipergeometrica. Questo è stato derivato utilizzando la proprietà di martingala di

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$ 

e il lemma di Itô per ottenere la seguente equazione alle derivate parziali per ${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$ 

Per κ = 4, il membro di destra è ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$ , che è stato utilizzato nella costruzione dell'esploratore armonico,^[4] e per κ = 6, otteniamo la formula di Cardy, che è stata utilizzata da Smirnov per dimostrare l'invarianza conforme nella percolazione.^[5]

Lawler, Schramm e Werner usarono SLE₆ per dimostrare la congettura di Mandelbrot (1982) che la frontiera di un moto Browniano nel piano abbia dimensione frattale 4/3.

Stanislav Smirnov dimostrò che la percolazione critica sul reticolo triangolare è correlata al SLE₆.^[6] In combinazione con il lavoro precedente di Harry Kesten,^[7] questo ha portato alla determinazione di molti degli esponenti critici della percolazione.^[8] Questa svolta, a sua volta, ha consentito un'ulteriore analisi di molti aspetti di questo modello.^[9][10]

Lawler, Schramm e Werner hanno dimostrato che il loop-erased random walk converge alla SLE₂.^[11] Ciò ha consentito la derivazione di molte proprietà quantitative del loop-erased random walk (alcune delle quali derivate in precedenza da Richard Kenyon).^[12] È stato dimostrato che la curva di Peano casuale correlata che delinea l'albero ricoprente uniforme converge a SLE₈.

Rohde e Schramm mostrarono che κ è correlato alla dimensione frattale di una curva dalla seguente relazione

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$ 

Nel 2006, sfruttando la SLE, furono trovati indizi di invarianza conforme in simulazioni numeriche di turbolenza bidimensionale.^[13]

• Vincent Beffara, The dimension of the SLE curves, in The Annals of Probability, vol. 36, n. 4, 2008, pp. 1421–1452, DOI:10.1214/07-AOP364, arXiv:math/0211322.
• John Cardy, SLE for theoretical physicists, in Annals of Physics, vol. 318, n. 1, 2005, pp. 81–118, Bibcode:2005AnPhy.318...81C, DOI:10.1016/j.aop.2005.04.001, arXiv:cond-mat/0503313.
• Wouter Kager e Bernard Nienhuis, A Guide to Stochastic Loewner Evolution and its Applications, in J. Stat. Phys., vol. 115, n. 5/6, 2004, pp. 1149–1229, Bibcode:2004JSP...115.1149K, DOI:10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be, arXiv:math-ph/0312056.
• Gregory F. Lawler, An introduction to the stochastic Loewner evolution, in Vadim A. Kaimanovich (a cura di), Random walks and geometry, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, pp. 261–293, ISBN 978-3-11-017237-9 (archiviato dall'url originale il 18 settembre 2009).
• Gregory F. Lawler, Conformally invariant processes in the plane, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 114, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2005, ISBN 978-0-8218-3677-4.
• Gregory F. Lawler, Stochastic Loewner Evolution (ps).
• Gregory F. Lawler, Conformal invariance and 2D statistical physics, in Bull. Amer. Math. Soc., vol. 46, 2009, pp. 35–54, DOI:10.1090/S0273-0979-08-01229-9.
• Gregory F. Lawler, Oded Schramm e Wendelin Werner, The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3, in Mathematical Research Letters, vol. 8, n. 4, 2001, pp. 401–411, DOI:10.4310/mrl.2001.v8.n4.a1, arXiv:math/0010165. URL consultato il 7 gennaio 2021 (archiviato dall'url originale l'8 settembre 2019).
• C. Loewner, Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I (PDF), in Math. Ann., vol. 89, 1–2, 1923, pp. 103–121, DOI:10.1007/BF01448091, JFM 49.0714.01.
• Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982, ISBN 978-0-7167-1186-5.
• J. R. Norris, Introduction to Schramm–Loewner evolutions (PDF), 2010.
• Christian Pommerenke, Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht, 1975. (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
• Oded Schramm, Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees, in Israel Journal of Mathematics, vol. 118, 2000, pp. 221–288, DOI:10.1007/BF02803524, arXiv:math.PR/9904022. Schramm's original paper, introducing SLE
• Oded Schramm, Conformally invariant scaling limits: an overview and a collection of problems, in International Congress of Mathematicians. Vol. I, Eur. Math. Soc., Zürich, 2007, pp. 513–543, Bibcode:2006math......2151S, DOI:10.4171/022-1/20, ISBN 978-3-03719-022-7, arXiv:math/0602151.
• Wendelin Werner, Random planar curves and Schramm–Loewner evolutions, in Lectures on probability theory and statistics, Lecture Notes in Math., vol. 1840, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2004, pp. 107–195, DOI:10.1007/b96719, ISBN 978-3-540-21316-1, arXiv:math.PR/0303354.
• Wendelin Werner, Conformal restriction and related questions, in Probability Surveys, vol. 2, 2005, pp. 145–190, DOI:10.1214/154957805100000113.

• Lawler, Schramm e Werner, Tutorial: SLE, Lawrence Hall of Science, University of California, Berkeley, 2001. (video di lezioni MSRI)
• Oded Schramm, Conformally Invariant Scaling Limits and SLE, 2001. (Slides from a talk.)

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