Classe C di una funzione

Sia ${\displaystyle A}$  un sottoinsieme aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$  e ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ . Una funzione di variabile reale ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ si dice di classe ${\displaystyle C^{k}}$  se in ogni punto di ${\displaystyle A}$  esistono tutte le derivate parziali di ${\displaystyle f}$  fino al ${\displaystyle k}$ -esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe ${\displaystyle C^{k}}$  da ${\displaystyle A}$  in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  si indica generalmente con ${\displaystyle C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ ; inoltre, è consuetudine porre anche ${\displaystyle C^{k}(A):=C^{k}(A,\mathbb {R} )}$ . Se ${\displaystyle k>0}$ , si ha perciò che ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$  se e solo se

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{r}}}\in C^{k-1}(A)\qquad \forall r=1,\ldots ,m,\quad \forall i=1,\ldots ,n,}$ 

dove ${\displaystyle f_{i}}$  indica la proiezione di ${\displaystyle f}$  sulla ${\displaystyle i}$ -esima componente: formalmente, se per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$  poniamo

${\displaystyle \qquad {\begin{array}{ccccc}\pi _{i}&:&\mathbb {R} ^{n}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})&\mapsto &a_{i}\end{array}}}$ ,

si ha ${\displaystyle f_{i}:=\pi _{i}\circ f}$ .

Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di ${\displaystyle f}$  di ordine ${\displaystyle 0}$  è ${\displaystyle f}$  stessa, segue direttamente dalla definizione che ${\displaystyle f\in C^{0}(A,\mathbb {R} ^{n})}$  se e solo se ${\displaystyle f}$  è continua. Chiaramente, per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$  risulta ${\displaystyle C^{k+1}(A,\mathbb {R} ^{n})\subseteq C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ .

Una funzione ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$  si dice poi di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ (o liscia) se in ogni punto di ${\displaystyle A}$  esistono tutte le derivate parziali di ${\displaystyle f}$  di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole, ${\displaystyle f}$  è liscia se e solo se ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$  per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ . L'insieme delle funzioni lisce da ${\displaystyle A}$  in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  si indica generalmente con ${\displaystyle C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})}$ . Evidentemente si ha ${\displaystyle C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ .

Una funzione liscia ${\displaystyle f\in C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})}$  si dice di classe ${\displaystyle C^{\omega }}$  (o analitica) se per ogni ${\displaystyle x_{0}\in A}$  esiste un intorno ${\displaystyle U(x_{0})\subseteq A}$  di ${\displaystyle x_{0}}$  in ${\displaystyle A}$  tale che ${\displaystyle f(x)=T_{f,x_{0}}(x)}$  per ogni ${\displaystyle x\in U(x_{0})}$ , ove ${\displaystyle T_{f,x_{0}}}$  denota lo sviluppo di Taylor di ${\displaystyle f}$  centrato in ${\displaystyle x_{0}}$ . L'insieme delle funzioni analitiche da ${\displaystyle A}$  in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  si indica con ${\displaystyle C^{\omega }(A,\mathbb {R} ^{n})}$ .

È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme ${\displaystyle A}$  su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad ${\displaystyle A}$  (oppure ${\displaystyle A}$  viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se ${\displaystyle A}$  non è un aperto, l'affermazione ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$  deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che ${\displaystyle f}$  è di classe ${\displaystyle C^{k}}$ , ovvero ${\displaystyle f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ , se e solo se esiste un aperto ${\displaystyle \Omega }$  contenente ${\displaystyle A}$  e una funzione ${\displaystyle {\tilde {f}}\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$  che estende ${\displaystyle f}$ , cioè tale che ${\displaystyle {\tilde {f}}_{|A}=f}$ .

Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se ${\displaystyle \Omega }$  è un insieme compatto in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  (${\displaystyle d}$  naturale), lo spazio ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$  delle funzioni definite in ${\displaystyle \Omega }$  a valori reali (o complessi) di classe ${\displaystyle k}$  è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine ${\displaystyle k}$ )

${\displaystyle \|f\|_{C^{k}(\Omega )}={\begin{cases}\max _{\Omega }|f|&{\text{ se }}k=0\\\|f\|_{C^{0}(\Omega )}+\sum _{|\alpha |=1}^{k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }f\|_{C^{0}(\Omega )}&{\text{ se }}k>0\end{cases}}}$ 

risulta essere uno spazio di Banach; ${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }f}$  è la derivata ${\displaystyle \alpha }$ -esima di ${\displaystyle f}$  espressa nella notazione multi-indice.

• L'esponenziale ${\displaystyle {\textrm {exp}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;{\textrm {exp}}(x):=e^{x}}$  è una funzione di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ , in quanto ha ogni derivata uguale a sé stessa: ${\displaystyle D^{k}({\textrm {exp}})={\textrm {exp}}}$  per ogni ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ; più precisamente, ${\displaystyle {\textrm {exp}}}$  è una funzione analitica.
• L'identità ${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {R} }}$  è di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ , in quanto ha derivata prima costante uguale a ${\displaystyle 1}$  e ogni derivata successiva costante uguale a ${\displaystyle 0}$ . Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da ${\displaystyle \mathbb {R} }$  in sé.
• La tangente è una funzione di classe ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left(\pi /2+\pi \mathbb {Z} \right))}$ , cioè in tutto il suo insieme di definizione.
• La funzione ${\displaystyle |x|}$  è di classe ${\displaystyle C^{0}}$ ; essa appartiene a ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left\{0\right\})}$ , in quanto in ${\displaystyle 0}$  non è derivabile.
• La funzione ${\displaystyle |x|^{p}}$  è di classe ${\displaystyle C^{k}}$  se ${\displaystyle k<p\leq k+1}$ .

• Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
• S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

• Derivata
• Derivata parziale
• Funzione analitica
• Funzione continua
• Funzione differenziabile
• Funzione liscia

• (EN) Rowland, Todd. C^k Function. From MathWorld
• (EN) Rowland, Todd. C^infinity Function. From MathWorld

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica