Costante di Brun

La costante di Brun (più formalmente costante di Brun per i numeri primi gemelli) è una costante matematica, corrispondente al limite di una serie, la cui convergenza è una conseguenza del teorema di Brun, elaborato da Viggo Brun nel 1919.

Costante di Brun
Simbolo	${\displaystyle B_{2}}$
Valore	1,902160583104... (congetturato) (sequenza A065421 dell'OEIS)
Origine del nome	Viggo Brun
Campo	numeri reali
Il grafico mostra in rosso le somme parziali ${\displaystyle \sum _{\stackrel {p,p+2{\text{ primi gemelli}},}{p\leq k}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}\right)}$ per k fino a 105. La linea blu corrisponde all'approssimazione della costante ottenuta prendendo k=1016.

Egli ha mostrato che la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli (coppie di numeri primi che differiscono di 2) converge a una costante, chiamata col suo nome.

È indicata solitamente con B₂:

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi è divergente. Questo significa che anche se ci fossero infiniti primi gemelli (come ipotizzato dalla celebre congettura) questi sarebbero "una frazione infinitesima dei numeri primi".

Calcolando i numeri primi gemelli fino a 10¹⁴ (e scoprendo nel frattempo il Pentium FDIV bug), Thomas R. Nicely ha stimato euristicamente un valore di 1,902160578 per la costante di Brun. La migliore stima al giorno d'oggi è stata fornita da Pascal Sebah e Patrick Demichel nel 2002 che, usando tutti i numeri primi gemelli fino a 10¹⁶, hanno fornito l'approssimazione

B₂ ≈ 1,902160583104.

Esiste anche una costante di Brun per i numeri primi quadrupli. Una quadrupla di primi è una coppia di coppie di numeri primi gemelli, separati da una distanza di 4 (la minore distanza possibile). Le prime quadruple sono (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La costante di Brun per i numeri primi quadrupli, indicata con B₄, è la somma dei reciproci di tutti i numeri primi quadrupli:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

e ha il valore:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Questa costante non deve essere confusa con la costante di Brun per i numeri primi cugini, cioè coppie di numeri primi della forma (p, p + 4), anch'essa scritta come B₄.