Algebra di divisione

Sia ${\displaystyle D}$  un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento ${\displaystyle a}$  ed ogni altro elemento non-nullo b di ${\displaystyle D}$  esiste esattamente un elemento ${\displaystyle x}$  di ${\displaystyle D}$  tale che ${\displaystyle a=bx}$ , ed esattamente un elemento ${\displaystyle y}$  di ${\displaystyle D}$  tale che ${\displaystyle a=yb}$ , allora ${\displaystyle D}$  è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni ${\displaystyle a}$  dell'algebra esiste un ${\displaystyle x}$  tale che ${\displaystyle ax=xa=1}$ , ove ${\displaystyle 1}$  è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

I quaternioni ${\displaystyle \mathbb {H} }$  sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

• Divisione (matematica)
• Anello di divisione

• algebra di divisione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Algebra di divisione, su MathWorld, Wolfram Research.  

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