Spazio di de Sitter

In matematica e fisica, uno spazio di de Sitter è l'analogo, nello spaziotempo di Minkowski, di una sfera nell'ordinario spazio euclideo. Uno spazio di de Sitter n-dimensionale, denotato dS_n, è la varietà lorentziana analoga ad una n-sfera (con la sua metrica Riemanniana canonica); esso è massimamente simmetrico, ha una curvatura scalare costante e positiva ed è semplicemente connesso per n ≥3. Lo spazio de Sitter, così come lo spazio anti de Sitter prende il nome da Willem de Sitter (1872–1934), professore di astronomia alla Università di Leida e direttore dell'Osservatorio di Leida. Willem de Sitter e Albert Einstein lavorarono insieme negli anni 20 del 900 a Leida sulla struttura spazio-temporale dell'universo.

Nel linguaggio della relatività generale, lo spazio di de Sitter è una soluzione di vuoto massimamente simmetrica delle equazioni di campo di Einstein, avente una costante cosmologica positiva (repulsiva) ${\displaystyle \Lambda }$ (corrispondente ad una densità di energia del vuoto positiva e pressione negativa). Nel caso n = 4 (3 dimensioni spaziali più tempo), esso è il modello cosmologico dell'universo fisico, detto universo di de Sitter.

Lo spazio di de Sitter fu formulato indipendentemente e contemporaneamente da Willem de Sitter^[1][2] e Tullio Levi-Civita^[3].

Lo spazio di de Sitter può essere definito come una sottovarietà di uno spazio di Minkowski aumentato di una dimensione. Si consideri lo spazio di Minkowski R^1,n con la metrica standard:

${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.}$

Lo spazio di de Sitter dS_n è la sottovarietà descritta da un iperboloide a una falda

${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2},}$

dove ${\displaystyle \alpha }$ è una costante positiva.

La metrica standard

${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}}$

dello spazio ambiente R^1,n induce sulla sottovarietà di de Sitter una forma bilineare non degenere che ha ancora segnatura lorentziana. Lo spazio di de Sitter è dunque una varietà pseudo-riemanniana.

Lo spazio di De Sitter può anche essere definito come il quoziente topologico O(1,n)/O(1,n−1) di due gruppi pseudo ortogonali, e questo mostra che esso è una varietà pseudo-Riemanniana simmetrica.

Dal punto di vista topologico, lo spazio di de Sitter è il prodotto R × Sⁿ⁻¹ (per cui se n ≥ 3 allora lo spazio di de Sitter risulta semplicemente connesso).

Il gruppo di isometrie dello spazio de Sitter è il gruppo di Lorentz O(1,n). La metrica ha quindi n(n + 1)/2 vettori di Killing indipendenti ed è al massimamente simmetrica. Ogni spazio massimamente simmetrico ha curvatura costante. Il tensore di curvatura di Riemann per de Sitter è dato da

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })}$

Lo spazio di de Sitter è una varietà di Einstein poiché il tensore di Ricci è proporzionale alla metrica:

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Ciò significa che lo spazio di de Sitter è una soluzione del vuoto delle equazioni di campo di Einstein, avente una costante cosmologica positiva data da:

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.}$

La curvatura scalare dello spazio di de Sitter è data da:

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

Per il caso n = 4, abbiamo Λ = 3/α² e R = 4Λ = 12/α².

Si possono introdurre delle coordinate statiche ${\displaystyle (t,r,\ldots )}$ per lo spazio de Sitter come segue:

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n,}$

dove le coordinate ${\displaystyle z_{i}}$ realizzano l'immersione canonica della (n−2)-sfera in Rⁿ⁻¹. In queste coordinate la metrica de Sitter prende la forma:

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.}$

È interessante notare che è presente un orizzonte cosmologico per ${\displaystyle r=\alpha }$.

Posto

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i},\qquad 2\leq i\leq n}$

dove ${\displaystyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$. Allora in coordinate metriche ${\displaystyle (t,y_{i})}$:

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2t/\alpha }dy^{2}}$

dove ${\displaystyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ è la metrica piatta ${\displaystyle y_{i}}$.

Posto

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha z_{i}\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n}$

dove ${\displaystyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ descrive ${\displaystyle S^{n-2}}$ con la metrica standard ${\displaystyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$. Allora la metrica de Sitter si legge:

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

dove

${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-2}^{2}}$

è la metrica di uno spazio Euclideo iperbolico.

Posto

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )z_{i},\qquad 1\leq i\leq n}$

dove ${\displaystyle z_{i}}$s descrive ${\displaystyle S^{n-1}}$. La metrica si legge:

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )d\Omega _{n-1}^{2}.}$

Cambiando la variabile tempo al tempo conformazionale tramite ${\displaystyle \tan(\eta /2)=\tanh(t/2\alpha )}$ si ottiene una metrica equivalente a universo statico di Einstein:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}).}$

Questo serve per trovare il diagramma di Penrose dello spazio de Sitter.

Posto

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha ),}$

${\displaystyle x_{2}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\cosh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha z_{i}\sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n}$

dove ${\displaystyle z_{i}}$s descrive ${\displaystyle S^{n-3}}$. La metrica si legge:

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

dove

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-2}^{2}}$

è la metrica di uno spazio ${\displaystyle n-1}$ dimensionale de Sitter con raggio di curvatura ${\displaystyle \alpha }$ in coordinate aperte. La metrica iperbolica è data da:

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Questa è la continuazione analitica del taglio di coordinate aperto sotto ${\displaystyle (t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})}$ anche commutando ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle x_{2}}$ perché cambiano la loro natura spazio temporale.

• (EN) Qing Ming Cheng Cheng, De Sitter space, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Heidelberg-New York, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• (EN) Katsumi Nomizu, The Lorentz–Poincaré metric on the upper half-space and its extension, in Hokkaido Mathematical Journal, vol. 11, n. 3, 1982, pp. 253–261.
• (EN) H. S. M. Coxeter, A geometrical background for de Sitter's world, in American Mathematical Monthly, vol. 50, n. 4, Mathematical Association of America, 1943, pp. 217–228, DOI:10.2307/2303924, JSTOR 2303924.
• Bang-Yen Chen, Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, 2011, ISBN 978-981-4329-63-7.

• Buco nero
• Buco nero di Planck
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