Calcolo infinitesimale

Il calcolo infinitesimale è la branca fondante dell'analisi matematica che studia il "comportamento locale" di una funzione tramite le nozioni di continuità e limite, usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica, e della scienza in generale. Solitamente si applica alle funzioni di variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale.

Il calcolo infinitesimale poggia sull'algebra, la geometria analitica e la trigonometria. Tra le nozioni che vi appartengono e di cui si avvale vanno ricordate quelle di successione e serie, spazio metrico, funzione di variabile reale, funzione analitica. Sue branche o prodotti sono la teoria dell'integrazione e la teoria della misura, le funzioni speciali (a partire da esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche), l'analisi armonica.

Fornisce la base concettuale e metodologica per lo sviluppo del modello di un qualsiasi sistema continuo riguardante per esempio fenomeni e processi fisici, astronomici, tecnologici, economici e statistici. La conoscenza del calcolo infinitesimale costituisce quindi un bagaglio culturale di primaria importanza e, sul piano storico, il suo sviluppo può a buon diritto considerarsi uno dei processi fondamentali per la storia del pensiero scientifico e, più in generale, per la storia della filosofia occidentale. È significativo a questo proposito osservare che nella lingua inglese, in cui più si è sviluppato in partenza, il calcolo infinitesimale viene chiamato per antonomasia calculus.

Il calcolo infinitesimale è stato inizialmente sviluppato nel mondo scientifico greco ed ellenistico del IV e del III secolo a.C. per opera di Eudosso (metodo di esaustione), di Euclide e Anassagora fino al raggiungimento di risultati di piena maturità con Archimede.

Con il successivo progressivo decadimento della scienza nell'area mediterranea, occorre attendere l'opera dei matematici indiani Aryabhata (476-550), Bhāskara (1114-1185), Madhava (1350-1425) e della scuola del Kerala per avere innovazioni come il teorema noto come teorema di Rolle, il passaggio al limite per una variabile tendente all'infinito e la manipolazione di alcune serie.

Per uno sviluppo sistematico del calcolo infinitesimale occorre attendere il periodo del recupero europeo dello spirito scientifico ellenistico nel secolo XVI (Tartaglia) e soprattutto nel secolo XVII. Dopo gli avanzamenti dovuti a Cavalieri, Barrow, Cartesio, Fermat, Huygens e Wallis, negli anni dal 1670 al 1710, ad opera principalmente di Pietro Mengoli, Newton e Leibniz furono posti i fondamenti del calcolo infinitesimale moderno e fu raggiunta la piena consapevolezza della sua portata per lo sviluppo di metodi e modelli per lo studio quantitativo degli oggetti dell'indagine scientifica. Nel secolo XVIII si assiste all'ampliamento dei metodi e delle applicazioni, con i Bernoulli, Eulero, Lagrange, Laplace, pur nella mancanza di fondamenti rigorosi. Una prima revisione critica dei fondamenti fu sviluppata da Cauchy intorno al 1821 sulla base della nozione di limite introdotta da d'Alembert nel 1765. In Giappone fu invece Kōwa Seki che per primo sviluppò i metodi fondamentali del calcolo integrale.

Per opera dello stesso Cauchy, e di matematici come Poisson, Liouville, Fourier gli obiettivi dell'analisi infinitesimale si ampliano a comprendere l'analisi complessa, le equazioni alle derivate parziali e l'analisi armonica. Intorno al 1850 Riemann introduce la teoria dell'integrale che porta il suo nome.

Intorno al 1860 Dedekind precisa la nozione di numero reale (altro recupero di una nozione ellenistica, ben chiara negli Elementi di Euclide). Questa consente che, intorno al 1870, sia precisata la definizione delle basi del calcolo infinitesimale per opera di Weierstrass e di vari altri matematici (Eduard Heine, Georg Cantor, Charles Méray, Camille Jordan...). Da allora le idee e le tecniche di calcolo infinitesimale - diventate analisi matematica o “analisi standard”, evitando di fare riferimento al concetto oscuro di infinitesimo - sono bagaglio essenziale per chi si dedica alla scienza e alla tecnologia.

All'inizio del XX secolo sono sviluppate teorie che forniscono basi (o “fondamenti”) più generali, astratte ed efficaci per lo studio dei problemi infinitesimali. Basti ricordare la teoria assiomatica degli insiemi (scuola di Hilbert), la teoria della misura (Lebesgue), la nozione di spazio di Hilbert, la nozione di spazio normato e quindi la definizione dell'analisi funzionale principalmente per opera di Banach. Infine Robinson tentò di rifondare l'analisi sugli infinitesimi, recuperando su basi logiche più rigorose la semplicità del metodo di Leibniz introducendo l'analisi non standard.

• G. Andres, Storia d'omni matematica, Pedone, Palermo, 1840
• W. W. Rouse Ball, A short account of the history of mathematics, Macmillan, Londra., 1919
• Florian Cajori, A history of the conceptions of limits and fluxions in Great Britain, from Newton to Woodhouse, Open Court, Chicago, 1919
• Enrico Giusti, Piccola storia del calcolo infinitesimale dall'antichità al Novecento, Ist. Editoriali e Poligrafici, 2007, ISBN 88-8147-456-5
• Giorgio T. Bagni, Il metodo di esaustione nella storia dell'analisi infinitesimale, Periodico di Matematiche 7, p. 15, 1997.
• Gustavo Bessière, Il calcolo differenziale e integrale, reso facile ed attraente, Hoepli, Milano, ISBN 88-203-1011-2
• W.W. Sawyer, Che cos'è il calcolo infinitesimale, Zanichelli, Bologna, 1976
• René Guénon, Les Principes du calcul infinitésimal, Gallimard, 1946 ; tr. it. di Pietro Gori, I princìpi del calcolo infinitesimale, Milano, Adelphi, 2011

• Analisi matematica
• Analisi non standard

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• calcolo infinitesimale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) John L. Berggren, calculus, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Calcolo infinitesimale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Calcolo infinitesimale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

V · D · M Aree della matematica
Logica matematica	Teoria degli insiemi · Teoria dei modelli · Teoria della dimostrazione
Algebra	Teoria dei gruppi · Teoria degli anelli · Teoria dei campi · Algebra computazionale
Teoria dei numeri	Aritmetica · Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri
Matematica discreta	Combinatoria · Teoria degli ordini · Teoria dei giochi
Geometria	Geometria differenziale · Geometria discreta · Topologia · Geometria combinatoria · Geometria algebrica · Teorema di Pitot
Analisi matematica	Calcolo infinitesimale · Analisi complessa · Analisi non standard · Analisi armonica · Analisi funzionale · Teoria della misura · Equazioni differenziali · Teoria degli operatori
Teoria della probabilità e Statistica	Processi stocastici
Fisica matematica	Meccanica classica · Sistemi dinamici · Meccanica statistica · Meccanica quantistica · Meccanica dei fluidi
Analisi numerica e Ricerca operativa	Teoria dell'approssimazione · Integrazione numerica · Ottimizzazione
Matematiche complementari	Storia della matematica · Didattica della matematica · Matematica ricreativa
Altro	Biologia matematica · Matematica finanziaria · Crittografia

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