Many rituals in traditional societies consist of successive gestures performed in reference to ce... more Many rituals in traditional societies consist of successive gestures performed in reference to certain objects, places or moments of high symbolic value, such as the points of the compass, in order to maintain or even recreate their value. When the mode of reference is a one-to-one correspondence (bijection) with the objects, places or moments in question, we will call it a quantum; and since it is a matter of reproducing a symbolic "virtue", i.e. a quality and not a quantity, we believe it is essential not to confuse quantum with number. We will give examples of quanta drawn from ethnographic literature, with particular reference to certain contemporary Mexican rituals. We will specify how the quantum differs from the number, and then we will put forward a hypothesis on how this concept may have first appeared in traditional thought.
Beaucoup de rituels propres aux sociétés traditionnelles consistent en gestes successifs accompli... more Beaucoup de rituels propres aux sociétés traditionnelles consistent en gestes successifs accomplis en référence à certains objets, lieux ou moments de haute valeur symbolique, comme par exemple les points cardinaux, dans le but de maintenir ou même de recréer cette valeur. Lorsque le mode de référence est une correspondance un à un (bijection) avec les objets, lieux ou moments en question, nous l'appellerons un quantum ; et puisqu'il s'agit par cette correspondance de reproduire une "vertu" symbolique, un pouvoir, une qualité et non une quantité, nous croyons indispensable de ne pas confondre quantum et nombre. Nous donnerons des exemples de quanta puisés dans la littérature ethnographique, avec une mention particulière pour certains rituels mexicains contemporains. Nous préciserons en quoi le quantum se différencie du nombre, puis nous avancerons une hypothèse sur la façon dont ce concept a pu apparaître dans la pensée traditionnelle.
Certaines courbes etudiees par Leibniz etaient deja connues avant le calcul differentiel, et beau... more Certaines courbes etudiees par Leibniz etaient deja connues avant le calcul differentiel, et beaucoup de leurs proprietes avaient deja ete etablies par des moyens purement geometriques ou par des methodes pre-differentielles. C’est le cas de la cycloide, par exemple ; le calcul differentiel pouvait alors s'enorgueillir d'avoir considerablement simplifie des preuves de proprietes deja etablies. La chainette au contraire est une courbe decouverte grâce au nouveau calcul, qui peut donc se vanter de faire reellement progresser l'art d'inventer, auquel Leibniz tenait tant. Celui-ci utilise aussi le lien entre la chainette et les logarithmes, lien qui permet de "construire" ceux-ci avec un simple fil suspendu.
Une occasion manquée L'intuition de la dialectique dans l'intuitionnisme de Brouwer 1 Olivier Kel... more Une occasion manquée L'intuition de la dialectique dans l'intuitionnisme de Brouwer 1 Olivier Keller (Article paru dans Quadrature, Magazine de mathématiques pures et appliquées, N° 119, janvier 2021) Présentation Au cours des débats provoqués par la crise des fondements qui secoue le monde des mathématiciens depuis le début du XX e siècle, le mathématicien hollandais Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) s'est rendu célèbre comme chef de file du courant dit « intuitionniste », avec comme adversaire principal David Hilbert (1862-1943), chef de file du courant dit « formaliste ». Il ne s'agit pas dans cet article de revenir sur ce débat déjà maintes fois décrit et commenté, mais d'attirer l'attention sur un aspect trop méconnu de la profonde originalité de Brouwer, à savoir son intuition de l'unité des contraires en mathématiques.
Aurions nous une prédisposition innée à la numération, une sorte de « sens du nombre » ? C’est ce... more Aurions nous une prédisposition innée à la numération, une sorte de « sens du nombre » ? C’est ce que pense toute une école, qui traque cette prédisposition dans le cerveau lui-même, et qui s’appuie par ailleurs sur le résultat de certaines expériences avec les très jeunes enfants. De plus, le sens du nombre ne serait pas propre à l’espèce humaine, mais nous le partagerions avec nos cousins chimpanzés et quelques autres animaux, sur la foi d’expériences de laboratoire. La littérature sur ces sujets est vaste, les expériences menées depuis les années 60 du 20e siècle sont nombreuses, et il n’est pas dans notre intention de tenter ici une présentation globale . Nous souhaitons seulement montrer brièvement, un petit nombre d’exemples typiques à l’appui, que la recherche dans ce domaine se méprend quand elle croit avoir affaire au nombre
L’étude des mathématiques de la préhistoire ne peut être fondée uniquement sur les documents arch... more L’étude des mathématiques de la préhistoire ne peut être fondée uniquement sur les documents archéologiques bruts, sous peine de stérilité; elle a tout intérêt à les mettre en situation grâce au comparatisme ethnographique, selon lequel les sociétés primitives actuelles ou récemment disparues nous renseignent sur nos ancêtres de la préhistoire. D’abord utilisée spontanément par quelques historiens des mathématiques, cette méthode est de nos jours rejetée en principe par le courant récent des ethnomathématiciens. Il s’agit de montrer par quelques exemples que la méthode est pourtant féconde, d’une part parce qu’elle ruine les constructions fantastiques dont raffolent certains mathématiciens, et d’autre part parce qu’elle ouvre un vaste champ de recherches pratiquement inexploré. The study of the mathematics of prehistory cannot be founded on bare archeological data alone; it may be useful to set the archeological documents in context, with the help of comparative ethnography, according to which our own contemporaray or near-contemporary primitive societies can help us understand our prehistoric ancestors. Although once used spontaneously by several historians of mathematics, this approach has been rejected on principle by the recent school of ethnomathematicians. This paper sets out to show, by means of a certain number of examples, that the method can nonetheless yield rewards: on the one hand because it demolishes the fantastic theories so fondly constructed by certain mathematicians, and on the other because it opens up a vast field of research which has so far been vitually unexplored. Beim Studium der Mathematik der Vorgeschichte tritt das grundsätzliche Problem der Forchungsquellen auf. Wenn man sich damit benügt, nur die archäologischen Quellen als Forschungsmaterialen anzusehen, dann sind zwei extrem verschiedene Einstellungen zu dem Thema durchaus vorstellbar: entweder fehlt dem Forscher das Interpretationsvermögen, oder er wird die Materialen deuten wollen, auch wenn das nur mit Hilfe einer ungebändigten Fantasie geschehen mag. Es gibt aber auch einen Weg, der darin besteht, die vergleichende Methode der Ethnographie anzuwenden. Die Forschungen über die noch in der Welt lebenden oder vor kurzem verschwundenen primitiven Gesellschaften liefern uns interessante Informationsmaterialien über unsere Vorfahren aus der vorgeschichtlichen Periode. Nach der hier erwähnte Methode haben zunächst einige Mathematikhistoriker gearbeitet, sie haben jedoch diesem Thema nur einige Zeilen oder Seiten gewidmet. Anhand einiger Beispiele soll hier gezeigt werden, wie vielversprechend die ethnographische Methode sein kann. Sie ermöglicht es unter anderem, die Quellenmaterialien aus der Vorgeschichte gut einschätzen und sie in ihre wirkliche Umwelt einzusetzen. Gleichzeitig wird hier versucht, einen kritischen Einblick in die Fachliteratur zu diesem Thema zu geben. Im heute noch kaum erforschten Bereich der vorgeschichtlichen Mathematik eröffnet sich somit ein weites Untersuchungsfeld.
La géométrie a une histoire, ce qui est bien admis, et sans doute une préhistoire, ce qui l'est b... more La géométrie a une histoire, ce qui est bien admis, et sans doute une préhistoire, ce qui l'est beaucoup moins. C'est que la géométrie d'avant Euclide (vers-300) et d'avant les grands textes de l'antiquité (Egypte, Mésopotamie, Inde védique, Chime), loin d'être immédiatement donnée, explicite et unifiée, apparaît au contraire sous forme d'embryons au sein des multiples activités humaines. Dans la création d'outils lithiques, puis dans les rituels à base de graphisme symbolique, se forme une série de réflexes mentaux, ou d' “évidences”, que l'on retrouve comme fondements implicites des premiers écrits à caractère géométrique : les trois dimensions de l'espace, le plan comme lieu principal d'étude, les figures de base (ligne droite, rectangle, cercle) et leurs éléments (points et lignes), et les comparaisons de grandeurs. Nous proposons ici une description de cette gestation, à travers une analyse des étapes marquantes de l'outillage paléolithique, puis du graphisme symbolique tel qu'il se manifeste dans l'art pariétal et chez les peuples traditionnels.Elements for a Prehistory of Geometry. Geometry has a history, that much is obvious, but what is certainly less obvious is that it also has a prehistory. Geometry before Euclid (c. 300 BC) and before the great classical texts (from Egypt, Mesopotamia, Vedic India and China), far from being a clear-cut and self-contained science, should be seen as scattered fragments arising out of diverse human activities. In the creation of stone tools, or in rituals based on symbolic drawings, a series of mental reflexes were formed, self evident truths, which are the implicit foundations of the first geometric texts : the three dimensions of space, the plane as the main workplace, the basic figures (straight line, rectangle, circle) and their elements (points and lines), and comparison of magnitudes. What we offer here is a description of these fragmentary beginnings, through an analysis of the key stages first in paleolithic toolmaking, then in symbolic drawing as expressed in rock and cave art, and among traditional peoples.
Au fondement du nombre, il y a le concept contradictoire de l'un-multiple. L'ethnographie et les ... more Au fondement du nombre, il y a le concept contradictoire de l'un-multiple. L'ethnographie et les anciennes mythologies orientales montrent clairement, en filigrane du merveilleux mythique-rituel, la modélisation du monde et de sa genèse par la démultiplication de l'un. La variété qualitative du monde créé exige ensuite d'imaginer des démultiplications déterminées, d'où la possibilité du nombre et des occasions pour lui de se constituer. L'ouvrage montre comment le nombre se constitue en pratique dans les sociétés sans écriture, en Égypte et en Mésopotamie, puis comment il est théorisé dans les Éléments d'Euclide, et se termine par un essai d'interprétation de diverses formes de numérologie, pythagorisme compris.
Many rituals in traditional societies consist of successive gestures performed in reference to ce... more Many rituals in traditional societies consist of successive gestures performed in reference to certain objects, places or moments of high symbolic value, such as the points of the compass, in order to maintain or even recreate their value. When the mode of reference is a one-to-one correspondence (bijection) with the objects, places or moments in question, we will call it a quantum; and since it is a matter of reproducing a symbolic "virtue", i.e. a quality and not a quantity, we believe it is essential not to confuse quantum with number. We will give examples of quanta drawn from ethnographic literature, with particular reference to certain contemporary Mexican rituals. We will specify how the quantum differs from the number, and then we will put forward a hypothesis on how this concept may have first appeared in traditional thought.
Beaucoup de rituels propres aux sociétés traditionnelles consistent en gestes successifs accompli... more Beaucoup de rituels propres aux sociétés traditionnelles consistent en gestes successifs accomplis en référence à certains objets, lieux ou moments de haute valeur symbolique, comme par exemple les points cardinaux, dans le but de maintenir ou même de recréer cette valeur. Lorsque le mode de référence est une correspondance un à un (bijection) avec les objets, lieux ou moments en question, nous l'appellerons un quantum ; et puisqu'il s'agit par cette correspondance de reproduire une "vertu" symbolique, un pouvoir, une qualité et non une quantité, nous croyons indispensable de ne pas confondre quantum et nombre. Nous donnerons des exemples de quanta puisés dans la littérature ethnographique, avec une mention particulière pour certains rituels mexicains contemporains. Nous préciserons en quoi le quantum se différencie du nombre, puis nous avancerons une hypothèse sur la façon dont ce concept a pu apparaître dans la pensée traditionnelle.
Certaines courbes etudiees par Leibniz etaient deja connues avant le calcul differentiel, et beau... more Certaines courbes etudiees par Leibniz etaient deja connues avant le calcul differentiel, et beaucoup de leurs proprietes avaient deja ete etablies par des moyens purement geometriques ou par des methodes pre-differentielles. C’est le cas de la cycloide, par exemple ; le calcul differentiel pouvait alors s'enorgueillir d'avoir considerablement simplifie des preuves de proprietes deja etablies. La chainette au contraire est une courbe decouverte grâce au nouveau calcul, qui peut donc se vanter de faire reellement progresser l'art d'inventer, auquel Leibniz tenait tant. Celui-ci utilise aussi le lien entre la chainette et les logarithmes, lien qui permet de "construire" ceux-ci avec un simple fil suspendu.
Une occasion manquée L'intuition de la dialectique dans l'intuitionnisme de Brouwer 1 Olivier Kel... more Une occasion manquée L'intuition de la dialectique dans l'intuitionnisme de Brouwer 1 Olivier Keller (Article paru dans Quadrature, Magazine de mathématiques pures et appliquées, N° 119, janvier 2021) Présentation Au cours des débats provoqués par la crise des fondements qui secoue le monde des mathématiciens depuis le début du XX e siècle, le mathématicien hollandais Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) s'est rendu célèbre comme chef de file du courant dit « intuitionniste », avec comme adversaire principal David Hilbert (1862-1943), chef de file du courant dit « formaliste ». Il ne s'agit pas dans cet article de revenir sur ce débat déjà maintes fois décrit et commenté, mais d'attirer l'attention sur un aspect trop méconnu de la profonde originalité de Brouwer, à savoir son intuition de l'unité des contraires en mathématiques.
Aurions nous une prédisposition innée à la numération, une sorte de « sens du nombre » ? C’est ce... more Aurions nous une prédisposition innée à la numération, une sorte de « sens du nombre » ? C’est ce que pense toute une école, qui traque cette prédisposition dans le cerveau lui-même, et qui s’appuie par ailleurs sur le résultat de certaines expériences avec les très jeunes enfants. De plus, le sens du nombre ne serait pas propre à l’espèce humaine, mais nous le partagerions avec nos cousins chimpanzés et quelques autres animaux, sur la foi d’expériences de laboratoire. La littérature sur ces sujets est vaste, les expériences menées depuis les années 60 du 20e siècle sont nombreuses, et il n’est pas dans notre intention de tenter ici une présentation globale . Nous souhaitons seulement montrer brièvement, un petit nombre d’exemples typiques à l’appui, que la recherche dans ce domaine se méprend quand elle croit avoir affaire au nombre
L’étude des mathématiques de la préhistoire ne peut être fondée uniquement sur les documents arch... more L’étude des mathématiques de la préhistoire ne peut être fondée uniquement sur les documents archéologiques bruts, sous peine de stérilité; elle a tout intérêt à les mettre en situation grâce au comparatisme ethnographique, selon lequel les sociétés primitives actuelles ou récemment disparues nous renseignent sur nos ancêtres de la préhistoire. D’abord utilisée spontanément par quelques historiens des mathématiques, cette méthode est de nos jours rejetée en principe par le courant récent des ethnomathématiciens. Il s’agit de montrer par quelques exemples que la méthode est pourtant féconde, d’une part parce qu’elle ruine les constructions fantastiques dont raffolent certains mathématiciens, et d’autre part parce qu’elle ouvre un vaste champ de recherches pratiquement inexploré. The study of the mathematics of prehistory cannot be founded on bare archeological data alone; it may be useful to set the archeological documents in context, with the help of comparative ethnography, according to which our own contemporaray or near-contemporary primitive societies can help us understand our prehistoric ancestors. Although once used spontaneously by several historians of mathematics, this approach has been rejected on principle by the recent school of ethnomathematicians. This paper sets out to show, by means of a certain number of examples, that the method can nonetheless yield rewards: on the one hand because it demolishes the fantastic theories so fondly constructed by certain mathematicians, and on the other because it opens up a vast field of research which has so far been vitually unexplored. Beim Studium der Mathematik der Vorgeschichte tritt das grundsätzliche Problem der Forchungsquellen auf. Wenn man sich damit benügt, nur die archäologischen Quellen als Forschungsmaterialen anzusehen, dann sind zwei extrem verschiedene Einstellungen zu dem Thema durchaus vorstellbar: entweder fehlt dem Forscher das Interpretationsvermögen, oder er wird die Materialen deuten wollen, auch wenn das nur mit Hilfe einer ungebändigten Fantasie geschehen mag. Es gibt aber auch einen Weg, der darin besteht, die vergleichende Methode der Ethnographie anzuwenden. Die Forschungen über die noch in der Welt lebenden oder vor kurzem verschwundenen primitiven Gesellschaften liefern uns interessante Informationsmaterialien über unsere Vorfahren aus der vorgeschichtlichen Periode. Nach der hier erwähnte Methode haben zunächst einige Mathematikhistoriker gearbeitet, sie haben jedoch diesem Thema nur einige Zeilen oder Seiten gewidmet. Anhand einiger Beispiele soll hier gezeigt werden, wie vielversprechend die ethnographische Methode sein kann. Sie ermöglicht es unter anderem, die Quellenmaterialien aus der Vorgeschichte gut einschätzen und sie in ihre wirkliche Umwelt einzusetzen. Gleichzeitig wird hier versucht, einen kritischen Einblick in die Fachliteratur zu diesem Thema zu geben. Im heute noch kaum erforschten Bereich der vorgeschichtlichen Mathematik eröffnet sich somit ein weites Untersuchungsfeld.
La géométrie a une histoire, ce qui est bien admis, et sans doute une préhistoire, ce qui l'est b... more La géométrie a une histoire, ce qui est bien admis, et sans doute une préhistoire, ce qui l'est beaucoup moins. C'est que la géométrie d'avant Euclide (vers-300) et d'avant les grands textes de l'antiquité (Egypte, Mésopotamie, Inde védique, Chime), loin d'être immédiatement donnée, explicite et unifiée, apparaît au contraire sous forme d'embryons au sein des multiples activités humaines. Dans la création d'outils lithiques, puis dans les rituels à base de graphisme symbolique, se forme une série de réflexes mentaux, ou d' “évidences”, que l'on retrouve comme fondements implicites des premiers écrits à caractère géométrique : les trois dimensions de l'espace, le plan comme lieu principal d'étude, les figures de base (ligne droite, rectangle, cercle) et leurs éléments (points et lignes), et les comparaisons de grandeurs. Nous proposons ici une description de cette gestation, à travers une analyse des étapes marquantes de l'outillage paléolithique, puis du graphisme symbolique tel qu'il se manifeste dans l'art pariétal et chez les peuples traditionnels.Elements for a Prehistory of Geometry. Geometry has a history, that much is obvious, but what is certainly less obvious is that it also has a prehistory. Geometry before Euclid (c. 300 BC) and before the great classical texts (from Egypt, Mesopotamia, Vedic India and China), far from being a clear-cut and self-contained science, should be seen as scattered fragments arising out of diverse human activities. In the creation of stone tools, or in rituals based on symbolic drawings, a series of mental reflexes were formed, self evident truths, which are the implicit foundations of the first geometric texts : the three dimensions of space, the plane as the main workplace, the basic figures (straight line, rectangle, circle) and their elements (points and lines), and comparison of magnitudes. What we offer here is a description of these fragmentary beginnings, through an analysis of the key stages first in paleolithic toolmaking, then in symbolic drawing as expressed in rock and cave art, and among traditional peoples.
Au fondement du nombre, il y a le concept contradictoire de l'un-multiple. L'ethnographie et les ... more Au fondement du nombre, il y a le concept contradictoire de l'un-multiple. L'ethnographie et les anciennes mythologies orientales montrent clairement, en filigrane du merveilleux mythique-rituel, la modélisation du monde et de sa genèse par la démultiplication de l'un. La variété qualitative du monde créé exige ensuite d'imaginer des démultiplications déterminées, d'où la possibilité du nombre et des occasions pour lui de se constituer. L'ouvrage montre comment le nombre se constitue en pratique dans les sociétés sans écriture, en Égypte et en Mésopotamie, puis comment il est théorisé dans les Éléments d'Euclide, et se termine par un essai d'interprétation de diverses formes de numérologie, pythagorisme compris.
Sont abordés ici les nouveautés apparues au Néolithique, puis les textes mathématiques "pré-eucli... more Sont abordés ici les nouveautés apparues au Néolithique, puis les textes mathématiques "pré-euclidiens" de l'Inde védique, d'Egypte, de Mésopotamie et de Chine antique. Il s'agit de la version intégrale de l'ouvrage publié chez Vuibert en 2006, avec une table des matières cliquable.
Le lecteur intéressé constatera que la préface d'Evelyne Barbin —que je remercie une fois de plus pour son travail minutieux et stimulant— est autant une présentation qu'une critique de certains termes employés et de certaines de mes façons de voir. C'est bien, que le lecteur se fasse son opinion !
Je tiens seulement à préciser que mon travail n'a strictement rien à voir avec "une archéologie au sens qu'en a donné Michel Foucault" et que je récuse absolument toute filiation avec ce penseur. Je regrette d'avoir laissé passer cela à l'impression, et je le réfuterai en détail dès que j'en aurai l'occasion.
Le lecteur trouvera ici l'intégralité de l'ouvrage publié en 2004 Chez Vuibert. La table des mati... more Le lecteur trouvera ici l'intégralité de l'ouvrage publié en 2004 Chez Vuibert. La table des matières est cliquable.
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Le lecteur intéressé constatera que la préface d'Evelyne Barbin —que je remercie une fois de plus pour son travail minutieux et stimulant— est autant une présentation qu'une critique de certains termes employés et de certaines de mes façons de voir. C'est bien, que le lecteur se fasse son opinion !
Je tiens seulement à préciser que mon travail n'a strictement rien à voir avec "une archéologie au sens qu'en a donné Michel Foucault" et que je récuse absolument toute filiation avec ce penseur. Je regrette d'avoir laissé passer cela à l'impression, et je le réfuterai en détail dès que j'en aurai l'occasion.