Akar kuadrat dari 2

Tablet tanah liat Babilonia YBC 7289 (c. 1800-1600 SM) memberikan perkiraan √2 dalam empat angka sexagesimal, 1 24 51 10, yang akurat untuk sekitar enam angka desimal,^[1] dan yang paling dekat mungkin tiga tempat representasi sexagesimal dari √2:

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}$ 

Anggaran awal yang hampir lain untuk nomor ini diberi dalam teks matematika India kuno, Sulbasutra (kk. 800-200 SM) seperti berikut: Tambahkan panjang [sisi] dengan sepertiganya dan sepertiga ini dengan seperempatnya kurang sepertiga-puluh-empat bagi seperempat itu^[2] Itu adalah,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686}$ 

Anggaran India purba ini merupakan urutan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan bilangan Pell, yang boleh diterbitkan dari kembangan pecahan lanjutan untuk ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 

Temuan dari nomor tak rasio sering berkontribusi Hippasus of Metapontum Pythagoras, yang memperkenalkan bukti ketidaknisbahan (hampir ke geometri) untuk akar kuadrat. Menurut legenda, Pythagoras percaya pada kemutlakan nomor-nomor dan tidak dapat menerima nomor tak rasio. Dia tidak bisa memalsukannya melalui logika, tetapi keyakinannya tidak dapat menerima keberadaan nomor tak rasio, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas. [1] Legenda lain menyatakan yang dilemaskan Hippasus oleh pengikut Pythagoras [2], atau diusir dari golongan itu. [3]

Banyak algoritme yang membuat estimasi akar kuadrat dari 2, baik dalam pernyataan rasio bilangan bulat atau dalam bentuk desimal. Algoritme paling umum untuk kasus ini, apakah menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin penghitung, adalah metode Babylon^[3] untuk perhitungan kendali 2 yang merupakan salah satu dari metode menghitung sumber listrik. Hal itu adalah seperti berikut:

Pertama, ambil setiap tebakan, ${\displaystyle F_{0}}$ ; tebakan itu tidak penting karena dugaan itu hanya mempengaruhi berapa banyak iterasi yang diperlukan untuk mencapai perkiraan pendekatan untuk akurasi tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tebakan itu, lelarkannya melalui perhitungan rekursif tersebut:

${\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\frac {2}{F_{n}}}}{2}}.}$ 

Lebih banyak iterasi dalam algoritme ini (yaitu banyak perhitungan dilakukan dan "n" lebih besar), lebih elok anggaran akar kuadrat dari 2 yang dapat dicapai.

Nilai √2 dihitung sampai 137,438,953,444 tempat desimal oleh tim Yasumasa Kanada pada 1997.

Pada Februari 2006, catatan perhitungan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo menghitung sampai 200,000,000,000 tempat desimal dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6GHz PC yang memiliki 16GB memori.

Dalam banyak-banyak konstanta dengan ekspansi desimal tidak berulang, hanya pi telah dihitung lebih akurat. [4]

Satu pembuktian nomor tak rasio adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ini juga pembuktian melalui kontradiksi, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahwa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahwa pernyataan asli itu adalah benar.

1. Anggap yang √2 adalah nomor rasio, berarti ada bilangan bulat a dan bilangan bulat b yang menunjukkan a / b = √2.
2. Kemudian √2 dapat ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (fraksi yang dapat disederhanakan sebanyak mungkin) a / b yaitu a dan b adalah bilangan bulat kelipatan dan (a / b)² = 2.
3. Kemudian a² / b² = 2 dan a² = 2 b².
4. Maka a² adalah genap karena bersamaan dengan 2 b² yaitu genap juga.
5. Kemudian a harus genap (karena bilangan bulat ganjil kuadrat adalah ganjil).
6. Karena a adalah genap, wujudnya bilangan bulat k yang memenuhi: a = 2k.
7. Dengan mengganti (6) ke dalam persamaan akhir (3): 2b² = (2k)² adalah sama dengan 2b² = 4k² yang juga sama dengan b² = 2k².
8. Disebabkan 2k² genap karena b² juga genap yang membawa maksud b adalah genap karena interger ganjil mempunyai kuasa yang ganjil.
9. Dengan (5) dan (8) a dan b adalah genap keduanya, yang bertentangan dengan a / b yang tak terturunkan seperti dinyatakan dalam (2).

"quod erat demonstrandum"

Mengingat adanya kontradiksi, anggapan (1) yaitu √2 nomor rasio adalah salah. Maka, bertentangan dengan pernyataan itu adalah dibuktikan benar: √2 tidak rasio.

Pembuktian ini dapat digunakan untuk setiap kendali bilangan asli untuk menunjukkan apakah nomor itu nomor asli atau nomor tidak rasio.

Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorema pemfaktoran unik:

1. Anggap yang √2 adalah nomor rasio, yang berarti wujudnya interger a dan bilangan bulat b sehingga a / b = √2.
2. Kemudian √2 dapat ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (fraksi yang dapat disederhanakan sebanyak mungkin) a / b yaitu a dan b adalah bilangan bulat kelipatan dan (a / b)² = 2.
3. Lalu, a² / b² = 2 dan a² = 2 b².
4. Dengan teorema anjak unik, kedua a dan b memiliki anjak perdana yang unik, yaitu a = 2^xk dan b = 2^ym bagi bilangan bulat tak negatif x, y, dan bilangan bulat ganjil tak negatif m and k.
5. Maka, a² = 2^2xk² dan b² = 2^2ym².
6. Masukkan kembali ke dalam (3) akan memperoleh 2^2xk² = 2 • 2^2ym² = 2^2y+1m².
7. Ini menyatakan yang anjak perdana dengan kekuatan genap 2 (2x) adalah sama dengan nomor berkuasa aneh 2 (2y + 1). Ini bertentangan dengan teorema anjak unik. Maka, pernyataan asli adalah salah.

 

Satu lagi pembuktian melalui kontradiksi menunjukkan yang √2 adalah nomor tak rasio adalah tidak berapa diketahui.^[4] Ia juga contoh pembuktian penurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan konstruksi kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorema ini dengan metode yang sama yang digunakan anggota geometri Yunani kuno.

Biarkan ABC segitiga sama kaki tegak dengan panjang miring m dan kaki n. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, m / n = √2. Katakan m dan n adalah bilangan bulat. Biarkan m:n menjadi rasio yang diberikan melalui sebutan terendah.

Lukis lengkungan BD dan CE berpusat A. Hubungkan DE. Kemudian AB = AD, AC = AE serta sudut BAC dan sudut DAE adalah sama. Maka segitiga ABC dan ADE adalah kongruen melalui SAS.

Mengingat sudut EBF adalah sudut tegak dan sudut BEF setengah sudut tegak, BEF juga segitiga sama kaki tegak. Maka BE = m - n menandai BF = m - n. Melalui simetri, DF = m - n, dan FDC juga segitiga sama kaki tegak. Juga FC = n - (m - n) = 2n - m.

Mengingat kita memiliki segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang miring 2n - m dan kaki m - n. Nilai ini adalah bilangan bulat yang lebih kecil dari m dan n dan dalam rasio yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahwa m:n adalah sebutan terkecil. Maka m dan n tidak mungkin bilangan bulat, maka √2 adalah bukan rasio.

separuh √2, sekitar 0.707106781186548, merupakan kuantitas lazim dalam geometri dan trigonometri, karena kenyataan yang vektor unit membuat sudut 45° dengan sumbu pada bidang yang memiliki koordinat

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right).}$ 

Nomor ini bertepatan dengan

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).}$ 

Satu sifat menarik bagi akar kuadrat dari dua ialah:

${\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1.}$ 

Ini merupakan hasil dari sifat rasio perak.

√2 juga dapat dinyatakan dalam hal salinan satuan imajiner i hanya menggunakan akar kuadrat dan operasi aritmetika:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}}$  dan ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}$ 

Pengenalan cos(p/4) = sin(p/4) = √2/2, bersama perwakilan hasil perkalian tak terhingga bagi sinus dan kosinus menyebabkan hasil perkalian seperti

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$ 

dan

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$ 

atau setara dengan

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$ 

Nomor tersebut dapat dinyatakan dengan mengambil deret Taylor untuk fungsi trigonometri. Misalnya, seri untuk cos(p/4) adalah:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$ 

Seri Taylor untuk √(1+x) dengan x = 1 memberikan

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .}$ 

Konvergensi seri ini bisa dicepatkan dengan konversi Euler, menghasilkan

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$ 

Tidak diketahui apakah √2 dapat diwakilikan dengan rumus BBP-type. Rumus BBP-type digunakan untuk π√2 dan √2 ln (1 + √2). [5]Diarsipkan 2013-05-23 di Wayback Machine.

Akar kuadrat dari dua memiliki perwakilan pecahan lanjutan seperti berikut:

${\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\cdots }}}}}}.}$ 

1. ^ Fowler and Robson, p. 368.
   Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Diarsipkan 2012-08-13 di Wayback Machine.
   High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
2. ^ Henderson.
3. ^ Meskipun istilah "metode Babylon" lazim digunakan dalam penggunaan modern, tidak ada bukti langsung menunjukkan orang Babylon menghitung perkiraan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  dilihat pada YBC 7289. Fowler dan Robson menawarkan konjektur rinci.
   Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
4. ^ Apostol (2000), p. 841

• Apostol, Tom M. (2000). "Irrationality of The Square Root of Two—A Geometric Proof". The American Mathematical Monthly. 107 (9): 841–842.  Parameter |month= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Flannery, David (2005). The Square Root of Two. Springer. ISBN 0-387-20220-X. 
• Fowler, David (1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context" (PDF). Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2006-09-03.  Parameter |month= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan)
• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra

• (Inggris) The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
• (Inggris) Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• (Inggris) √2.net Diarsipkan 2021-06-30 di Wayback Machine., enthusiast site with realtime computation