Tömeg

Jóllehet a tehetetlen, a passzív gravitáló és az aktív gravitáló tömeg jelentésüket tekintve különbözőek, nem mutattak ki közöttük különbséget. A tehetetlen és a passzív gravitáló tömeg közötti ekvivalencia (egyenértékűség) egyik következménye a Galileo Galilei által kimutatott tény, hogy a különböző tömegű testek egyforma gyorsan esnek le, ha eltekintünk a légellenállástól. Ezek ekvivalenciáját mutatta ki nagy pontossággal Eötvös Loránd. Az általános relativitáselmélet, a gravitáció jelenleg ismert legpontosabb elmélete azon a feltevésen nyugszik, hogy a tehetetlen és passzív gravitációs tömeg teljesen ekvivalens, ezt nevezik gyenge ekvivalenciaelvnek. A klasszikus mechanika területén az aktív és a passzív gravitáló tömeg ekvivalenciája Newton harmadik törvényének következménye, de a gravitáció és a mechanika relativisztikus megfogalmazásakor ezt egy új axiómának kellett kimondania. Emiatt a standard relativitáselmélet szintén felteszi a kettő ekvivalenciáját; ezt az ekvivalenciát néha erős ekvivalenciaelvnek nevezik.

Ha külön kezelnénk az m_i tehetetlen tömeget, az m_p passzív gravitáló tömeget és az m_a aktív gravitáló tömeget, akkor Newton törvénye az általános tömegvonzásról és a Newton-féle mozgásegyenlet a következő összefüggést szolgáltatná:

${\displaystyle m_{i2}a_{2}={\frac {Gm_{a1}m_{p2}}{r^{2}}}.}$ 

Newton harmadik törvénye a kölcsönhatásról azt mutatja, hogy az aktív és passzív gravitáló tömegek arányosak egymással, ezért egyenlőnek definiálhatók.

Az SI-mértékegységrendszerben a tömeg egysége a kilogramm (kg). Sok más egység is használatban van a világon, mint a tonna, uncia, atomi tömegegység (ATE), Planck-tömeg, naptömeg és az eV/c².

Az eV/c² egység (kb. 1,783 × 10⁻³⁶ kg) az elektronvolton alapul, amely energiaegység. Az energia és a nyugalmi tömeg közötti relativisztikus E = mc² kapcsolat miatt lehetséges azonban bármely energiaegységet tömegegységgé konvertálni. Sokszor a c² tényező is elmarad, ez precízen is megtehető a ${\displaystyle \hbar =c=1}$  egységrendszer használatával.

Mivel a gravitációs gyorsulás a Föld felszínén közelítőleg állandó, a súly egységeit is gyakran használják a gyakorlati életben – helytelenül – a tömeg mértékegységeiként. Az SI bevezetése előtt (Magyarországon 1980-ban) használatos volt a kilopond (kp) mint súlyegység, amely egy 1 kg tömegű tárgy súlyát jelölte.

A tehetetlen tömeg egy objektum gyorsítással szembeni ellenállásának mértéke. Newton második törvénye értelmében egy m tehetetlen tömegű testre ható F erő esetén:

${\displaystyle F={\frac {d}{dt}}(mv)}$ 

ahol v a test sebessége. Most tegyük fel, hogy a test tömege állandó. Ez a feltételezés, amit a klasszikus fizikában tömegmegmaradásként ismerünk, két gondolaton nyugszik:

1. a tömeg a testben levő anyag mennyiségének mértéke
2. anyag nem hozható létre és nem tüntethető el, csak felosztható vagy újraegyesíthető

Ezek nagyon észszerű feltételezések, bár a helyzet a speciális relativitáselméletben bonyolultabbá válik. Egy másik kérdés, hogy még a klasszikus mechanikában is néha hasznos egy test tömegét úgy kezelni, mint ami az időben változik. Például egy rakéta tömege csökken, ahogy a rakéta működik. Ez azonban csak egy közelítés, ami elhanyagolja a rendszerbe belépő vagy onnan távozó anyagot. A rakéta esetében ez az anyag a távozó elégett hajtóanyag; ha mérnénk a rakéta és a hajtóanyag együttes tömegét, azt találnánk, hogy az megmarad.

Ha egy test tömege állandó, akkor Newton második törvénye így írható:

${\displaystyle F=m{\frac {dv}{dt}}=ma}$ 

ahol a a test gyorsulása. Ez az egyenlet illusztrálja, mit jelent a test tehetetlensége. Ha nagyobb tömegű testet gyorsítunk ugyanazzal az erővel, kisebb lesz a gyorsulása, mint egy kisebb tömegű testé, azaz mondhatjuk, a nagyobb tömegű testnek nagyobb az "ellenállása" a mozgás megváltoztatásával szemben.

De mit is jelent "ugyanaz az erő"? Ehhez Newton harmadik törvényét hívhatjuk segítségül, miközben két egymással kölcsönható testet tekintünk, amik minden más külső hatástól mentesek. A B test által A-ra ható erőt jelöljük F_AB-vel, az A által B-re hatót pedig F_BA-val. Ahogy láttuk, Newton második törvénye szerint:

${\displaystyle F_{AB}=m_{A}a_{A}\,}$  és ${\displaystyle F_{BA}=m_{B}a_{B}\,}$ 

ahol a_A és a_B A ill. B gyorsulása. Ekkor Newton harmadik törvénye szerint:

${\displaystyle F_{AB}=-F_{BA}\,}$ 

Ezt az előző egyenletbe helyettesítve:

${\displaystyle m_{A}=-{\frac {a_{B}}{a_{A}}}\,m_{B}}$ 

Tulajdonképpen ez az, ahogy mérhetjük egy objektum tehetetlen tömegét. Választunk egy referenciaobjektumot, és definiáljuk a tömegét (m_B) mondjuk 1 kilogrammnak. Utána az Univerzum minden objektumának tömegét megmérhetjük úgy, hogy ütköztetjük a referenciobjektummal és mérjük mindkettőjük gyorsulását.

A gravitációs tömeg a gravitációs mező hatása alapján mért tömeg. Tegyük fel, hogy egy A és B objektum egymástól |r_AB| távolságra helyezkedik el. A gravitációs törvény szerint, ha a két test gravitációs tömege M_A ill. M_B, akkor mindkét objektum gravitációs erőt fejt ki a másikra:

${\displaystyle |F|={GM_{A}M_{B} \over |r_{AB}|^{2}}}$ 

ahol G a gravitációs állandó. Ezt az állítást átfogalmazhatjuk a következő módon: ha g egy referenciatömeg gyorsulása adott helyen egy gravitációs mezőben, akkor egy M tömegre ható gravitációs erő:

${\displaystyle F=Mg\,}$ 

Ez az alapja a súlyméréssel történő tömegmeghatározásnak. Rugós mérlegen a rugó elmozdulása a súly hatására arányos F-fel (ld. a Hooke-törvényt), g-t pedig kalibrálással vesszük figyelembe, hogy az M tömeget olvashassuk le. A kétserpenyős mérleggel viszont közvetlenül mérhetjük a tömeget a leggyakrabban "súlyoknak" hívott referenciatömegek segítségével.

Bővebben: Ekvivalenciaelv

A tehetetlenségi és gravitációs tömeg ekvivalenciáját gyenge ekvivalenciaelvnek vagy Galilei-féle ekvivalenciaelvnek nevezzük. Ezen elv legfontosabb következménye a szabadon eső testekre vonatkozik. Tegyük fel, hogy egy test tehetetlen tömege m és gravitációs tömege M. Ha az egyetlen ható erő a gravitációs mezőből származik, akkor Newton második törvénye és a gravitációs törvény együtt a következő gyorsulást adja:

${\displaystyle a={\frac {M}{m}}g=Kg}$ 

Eszerint a gravitációs és tehetetlen tömeg aránya akkor és csak akkor egyenlő egy K állandóval, ha minden test ugyanolyan gyorsan esik adott gravitációs mezőben. Ezt a jelenséget nevezzük a szabadesés egyetemességének. A K konstans egynek választható az egységek alkalmas megválasztásával.

A szabadesés egyetemességét kísérletileg először Galileo Galilei demonstrálta. A hagyomány szerint a Pisai ferde torony tetejéről tárgyakat ejtett le, ez azonban valószínűtlen. Valójában labdákat gurított le lejtős síkfelületeken. Később egyre pontosabb kísérleteket végeztek, az egyik legnevezetesebb, sokáig "csúcstartó" Eötvös Loránd kísérlete volt a torziós ingával 1889-ben. Egészen máig nem találtak eltérést az egyetemességtől.

Megjegyzendő, hogy az egyetemesség akkor igaz, ha a gravitáció az egyetlen ható erő, minden más erő, különösen a súrlódás és a légellenállás elhanyagolható kell legyen. A szokásos földi körülmények között egy kalapácsot és egy madártollat leejtve a madártoll sokkal később fog földet érni a légellenállás miatt, ami miatt a toll ilyenkor nincs szabadesésben, a légellenállás kb. ugyanolyan erős esetében, mint a gravitáció. De ha vákuumban végezzük a kísérletet, akkor a toll és a kalapács ugyanolyan gyorsan esik a talaj felé. Ezt 1971-ben a Holdon az Apollo–15 parancsnoka, David Scott demonstrálta.

Az ekvivalenciaelv egy erősebb változata az Einstein-féle ekvivalenciaelv vagy erős ekvivalenciaelv, ami az általános relativitáselmélet központi gondolata. Kimondja, hogy lehetetlen megkülönböztetni az egyenletes gyorsítást az egyenletes gravitációs mezőtől. Így felteszi, hogy a tehetetlen és a gravitációs tömeg alapvetően ugyanaz a dolog. Az általános relativitáselmélet minden jóslata, mint például a téridő görbültsége, ebből az alapvető elvből származtatható.

Bővebben: Tömeg-energia ekvivalencia

A speciális relativitáselmélet a klasszikus fizika szükséges kiterjesztése. Különösen azért, mert sikeresen leírja a fénysebességhez közeli sebességgel mozgó testek mechanikáját, ahol a klasszikus fizika csődöt mond.

A relativisztikus mechanikában az m tömegű, E energiájú és p impulzusú részecskére a következő összefüggés igaz:

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p^{2}}$ .

ahol c a fénysebesség. Ezt néha tömeg-energia-impulzus összefüggésnek is hívják. Rögtön észrevehetjük, hogy ez az összefüggés kezelni tudja a tömeg nélküli (m=0) objektumokat is:

${\displaystyle E=pc}$ 

A klasszikus mechanikában a tömeg nélküli objektumok kezelhetetlenek, mert erőhatásra Newton második törvénye szerint végtelen gyorsulásuk lenne, ami egy értelmetlen dolog. A relativitáselméletben a tömeg nélküli részecskék mindig fénysebességgel haladnak. Példa rájuk maga a fény a fotonok alakjában.

Tekintsük most a nem nulla tömegű objektumot. Most m egyszerű fizikai jelentéssel bír, ez az objektum tehetetlen tömege az objektum nyugalmi rendszerében, abban a vonatkoztatási rendszerben, ahol a sebessége nulla. Közbevetőleg jegyezzük meg, hogy tömeg nélküli objektumoknak nincs nyugalmi rendszerük.

A nyugalmi rendszerben a sebesség, és így a p impulzus is nulla. A tömeg-energia-impulzus összefüggés ekkor a nevezetes összefüggésre redukálódik:

${\displaystyle E=mc^{2}\,}$ 

ami tehát a nyugalmi tömeg és a nyugalmi energia közötti kapcsolat. Ezt ki szokták néha terjeszteni általában az energia és a tömeg közötti kapcsolatra bármely rendszerben, és akkor az ún. "mozgási tömeget" éppen ez a kifejezés definiálja. A fizikusok általában viszont ezt nem teszik, ez a kifejezés ugyanis nem kovariáns. Az energia egy négyesvektor nulladik komponense, a "mozgási tömeg" pedig se nem Lorentz-tenzor, se nem ilyennek a komponense, márpedig egy "jó" egyenlet két oldalának ugyanolyan transzformációs tulajdonságokkal kell rendelkeznie. A "mozgási tömeg" nem fizikai mennyiség.

Vizsgáljuk meg, hogyan viselkedik egy objektum, ha nincs nyugalomban. Rendezzük át a tömeg-energia-impulzus összefüggést:

${\displaystyle E=mc^{2}{\sqrt {1+\left({p \over mc}\right)^{2}}}}$ 

Ha a p impulzus sokkal kisebb, mint mc, akkor a négyzetgyököt Taylor-sorba fejthetjük:

${\displaystyle E=mc^{2}+{p^{2} \over 2m}+\cdots }$ 

ahol az első tag a nyugalmi energia, a második tag pedig a mozgási energia klasszikus mechanikai kifejezése, a ki nem írt többi tag pedig a relativisztikus korrekció a mozgási energiához.

Egy makroszkopikus objektumra az ${\displaystyle mc^{2}}$  nyugalmi energia magában foglalja a hőenergiát is, ami az objektumot összetevő atomok és molekulák véletlenszerű mozgásához kapcsolódik. Ez a hozzájárulás általában sokkal kisebb, mint a nyugalmi energia, de gyakran nagyobb, mint a mozgási energia. Például ha két test ütközés után összeragad, akkor a mozgási energiájuk nem marad meg, hanem nagyrészt hővé alakul, úgyhogy tömegük kis mértékben megnövekszik. Ugyanakkor az anyagcsere, tűz és más exoterm folyamatok tömeget hővé alakítanak, bár a tömegváltozás gyakran elhanyagolható.

A szubatomi részecskék átalakulási folyamatai esetén sokkal jelentősebb tömegváltozások lehetségesek. A tömeg nem marad meg. A legegyszerűbb példa az elektron-pozitron annihiláció, amiben egy – tömeges – elektron és egy – tömeges – pozitron megsemmisül, hogy helyettük két – tömeg nélküli – foton jöjjön létre. Más példák többek között a magfúzió és a maghasadás. Az energia mindig megmarad a speciális relativitáselméletben is; ami történik, az az, hogy a nyugalmi energia mozgási energiává alakul. Az energia ilyen "felszabadíthatósága" a speciális relativitáselmélet egyik fontos jóslata.

Bővebben: Invariáns tömeg

A kis távolságok miatt jelentőssé váló kvantummechanikai effektusok miatt a tömeg is új vonást, változékonyságot mutat azonos típusú részecskék esetén is. Végtelen élettartamú, azaz stabil részecskék esetén – ilyen például a proton és az elektron – a tömeg határozott értékű abban az értelemben, hogy például akárhány protont is vizsgálunk meg, tömegükre mindig ugyanazt az értéket kapjuk, a mérési hibahatáron belül. Nagyon sok mérés átlagát véve azonban a hiba tetszőlegesen kis értékre leszorítható. Azt mondjuk, hogy a stabil részecskék tömegszélessége nulla.

Véges élettartamú részecskék esetén azonban más a helyzet. Ezek tömegét megmérve azt találjuk, hogy nagyon pontos mérés esetén is, a mérési hibahatáron túl a tömegértékek nem egy éles határozott értéket, hanem egy Breit-Wigner-eloszlást adnak. Az eloszlás összhangban van az energiára vonatkozó határozatlansági relációval, és a speciális relativitáselmélet azon eredményével, miszerint a tömeg az energia egy formája. Minél hosszabb ugyanis az élettartama egy részecskének, annál nagyobb idő telhet el két energiamérés, azaz tömegmérés között, s annál kisebb így az elvi – azaz nem a mérőberendezéstől függő – hibája a mérésnek.

Tömegmérést legegyszerűbben például a bomlástermékek energia- és impulzusmérésével hajthatunk végre. Bomoljon az M tömegű, p impulzusú és E energiájú részecske az egyszerűség kedvéért két m₁ és m₂ tömegű részecskére, amelyek impulzusa legyen rendre p₁ és p₂, energiája pedig E₁ és E₂. Az energia- és impulzusmegmaradás miatt:

${\displaystyle E=E_{1}+E_{2},\quad \mathbf {p} =\mathbf {p_{1}} +\mathbf {p_{2}} }$ 

A bomló részecske tömegét tehát így kaphatjuk meg:

${\displaystyle M^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=(E_{1}+E_{2})^{2}-(\mathbf {p_{1}} +\mathbf {p_{2}} )^{2}}$ 

amit a két bomlástermék effektív tömegének nevezünk és ami tehát a bomló részecske tömege. Nagyon fontos megjegyezni, hogy ez az összefüggés, azaz az energiamegmaradás mindig teljesül, akármilyen M értéket is vesz fel a bomló részecske tömege a Breit-Wigner-eloszlásban.

Az energiamegmaradás az ún. virtuális részecskék keletkezésekor és bomlásakor is mindig teljesül, ezek viszont keletkezhetnek a nominális tömegüktől – a fent említett Breit-Wigner eloszlás várható értékétől – nagyon távol eső tömeggel is, csak minél nagyobb az eltérés, annál kisebb az illető folyamat valószínűsége (amit szintén Breit-Wigner eloszlás ír le). Ez valódi szélességgel rendelkező, azaz nem stabil részecskék esetén érthető, szinte természetes, de nem csak ők lehetnek virtuális részecskék, hanem stabil részecskék is. És így például a virtuális fotonnak is lehet tömege, sőt virtuális részecske tömege lehet képzetes is, azaz az energiája lehet kisebb az impulzusánál.

• https://www.arcanum.com/hu/online-kiadvanyok/Lexikonok-a-magyar-nyelv-ertelmezo-szotara-1BE8B/t-4D5B8/tomeg-4FFFC/

• R.V. Eötvös et al, Ann. Phys. (Leipzig) 68 11 (1922)

• Higgs-bozon