Gauss-egész

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az ${\displaystyle i^{2}=-1}$  egyenlőséget: ${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i}$ . E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$ -vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste ${\displaystyle {\mathbf {Q} }(i)=\{a+bi:a,b\in {\mathbf {Q} }\}}$ . A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$ 

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása ${\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}}$ . Minden ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$  ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$ -beli prímszám ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$ -ben is prím. Ha viszont ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$  prímszám, akkor p felbomlik, mint ${\displaystyle p=(a+bi)(a-bi)}$ , ahol ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$  (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az ${\displaystyle a+bi}$ , ${\displaystyle a-bi}$  Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: ${\displaystyle x\equiv y{\pmod {z}}}$  akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor ha ${\displaystyle \pi }$  prímelem, akkor a mod ${\displaystyle \pi }$  maradékosztályok száma ${\displaystyle N(\pi )}$ .

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$  euklideszi gyűrű: ha ${\displaystyle a,b\in {\mathbf {Z} }[i]}$ , ${\displaystyle b\neq 0}$ , akkor létezik ${\displaystyle q}$  és ${\displaystyle r}$ , hogy ${\displaystyle a=bq+r}$  és ${\displaystyle N(r)<N(b)}$ . Innen adódik, hogy ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$ -ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon ${\displaystyle \pi }$  nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ${\displaystyle \pi =xy}$  esetén x vagy y asszociáltja ${\displaystyle \pi }$ -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon ${\displaystyle \pi }$  nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ${\displaystyle \pi \mid xy}$  esetén ${\displaystyle \pi \mid x}$  vagy ${\displaystyle \pi \mid y}$  teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható ${\displaystyle x=\pi _{1}\cdots \pi _{r}}$  alakban, ahol ${\displaystyle \pi _{1},\dots ,\pi _{r}}$  prímelemek, továbbá, ha ${\displaystyle x=\rho _{1}\cdots \rho _{s}}$  egy másik felírás, akkor ${\displaystyle s=r}$  és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re ${\displaystyle \rho _{j}}$  asszociáltja ${\displaystyle \pi _{j}}$ -nek.

• algebrai számelmélet
• Eisenstein-egész