Cauchy–Riemann-egyenletek

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A matematikai analízisben Cauchy–Riemann-egyenleteknek az $${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{matrix}}}$$ egyenleteket nevezzük, ahol u(x,y) és v(x,y) nyílt halmazon értelmezett, R-be képező parciálisan differenciálható kétváltozós valós függvények.

A C–R-egyenletek jelentőségére Riemann mutatott rá, amikor igazolta, hogy egy f = u + iv komplex függvény akkor és csak akkor differenciálható komplex módon egy z = x + i y pontban, ha

1. f totálisan differenciálható az (x,y) pontban mint kétváltozós függvény és

2. az u, v komponensfüggvények teljesítik a C–R-egyenleteket az (x,y) pontban.

Az f:C ${\displaystyle \rightarrow }$ C holomorf függvény esetén f = f₁ + if₂ komplex differenciálhatósága a z = x + i y pontban a

${\displaystyle f'(z)=\lim _{w\rightarrow 0}{\frac {f(z+w)-f(z)}{w}}\in \mathbf {C} }$

komplex határérték létezését (a komplex derivált létezését) jelenti. Az f = f₁ + i f₂ komplex függvény felfogható f=(f₁,f₂ ): R² ${\displaystyle \rightarrow }$ R² függvényeknek is. A kérdés, hogy az f kétváltozós függvény

${\displaystyle Df(x,y)={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}(x,y)}{\partial x}}&{\cfrac {\partial f_{1}(x,y)}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial f_{2}(x,y)}{\partial x}}&{\cfrac {\partial f_{2}(x,y)}{\partial y}}\end{pmatrix}}}$

Jacobi-mátrixának (deriválttenzorának) létezése milyen kapcsolatban van az f ' (z) komplex derivált létezésével.

Df(x,y) egy, a valós test feletti R² ${\displaystyle \rightarrow }$ R² lineáris leképezés. Egy ilyen, valós test feletti, A lineáris operátor pontosan akkor komplex test feletti lineáris operátor, ha minden (x,y) vektorra ${\displaystyle {\textbf {A}}{\Big (}i\cdot (x,y){\Big )}=i\cdot {\textbf {A}}{\Big (}(x,y){\Big )}}$ . Lineáris leképezés révén ezt a feltételt elegendő a két szokásos bázisvektorra felírni: (1,0) ∈ R²-re és (0,1) ∈ R²-re. Már csak azt kell felhasználnunk, hogy az i-vel való szorzás R²-ben megfelel az ${\displaystyle {\textbf {M}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$ mátrixszal való szorzásnak. Tehát a fenti feltétel ekvivalens az ${\displaystyle {\textbf {A}}{\textbf {M}}={\textbf {M}}{\textbf {A}}}$ egyenlőséggel. A Jacobi-mátrixra alkalmazva ezt az egyenlőséget pont a C–R-egyenleteket kapjuk.

Az eredményhez a komplex derivált definíciójából is eljuthatunk, ha mindkét tengely irányából közelítve adjuk meg a derivált értékét. Legyen

f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

és komplex differenciálható z-ben. Ekkor

${\displaystyle f'(z)\,}$	${\displaystyle =\lim _{w\rightarrow 0}{f(z+w)-f(z) \over w}}$
	${\displaystyle =\lim _{w\rightarrow 0}{u(x+w,y)+iv(x+w,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over w}}$
	${\displaystyle =\lim _{w\rightarrow 0}{[u(x+w,y)-u(x,y)]+i[v(x+w,y)-v(x,y)] \over w}}$
	${\displaystyle =\lim _{w\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+w,y)-u(x,y)}{w}}+i{\frac {v(x+w,y)-v(x,y)}{w}}\right]}.}$

Kifejeztük tehát a deriváltat a parciális deriváltakkal:

${\displaystyle f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.}$

Hasonlóképpen:

${\displaystyle f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}$

A két irányból kapott értékeknek meg kell egyezniük, így

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}$

Két komplex szám pedig akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és imaginárius részeik rendre egyenlők:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$