Invarijantnost

Invarijantnost, općenito, je nepromjenljivost. U matematici i fizici invarijantnost je svojstvo pojedinih veličina, matematičkih objekata, funkcija, sustava i tako dalje da se ne mijenjaju pri nekim transformacijama ili pretvorbama (na primjer pri transformaciji koordinata).^[1]

Invarijanta, u fizici, je općenito svojstvo nepromjenljivosti ili simetrije u odnosu na neke promjene fizikalnih uvjeta, odnosno zahvate na fizikalnome sustavu. Invarijantnost prirodnih zakona uočena je najprije kao neovisnost o izboru prostorno-vremenskoga koordinatnoga sustava (x, y, z, t) u kojem se opisuje prirodna pojava. Invarijantnost (simetrija) na pomak ishodišta pretpostavlja da rezultat nekoga pokusa ne smije ovisiti o dijelu svemira u kojem se taj pokus izvodi. Slična se invarijantnost odnosi na prostorne rotacije (orijentaciju laboratorija prema udaljenim zvijezdama). Takvoj homogenosti i izotropnosti prostora dodaje se i zahtjev homogenosti vremena, to jest rezultat pokusa ne smije ovisiti o povijesnom trenutku u kojem se pokus izvodi. Te prostorno-vremenske simetrije imaju za posljedicu zakone očuvanja impulsa, impulsa vrtnje (zakretnoga momenta) i energije.

Korak je dalje zahtjev posebne teorije relativnosti da prirodni zakoni jednako glase u svim inercijskim sustavima. To povlači takozvanu kovarijantnost fizikalnih zakona, koju opća teorija relativnosti poopćuje i na neinercijske sustave. Očuvani naboji (primjerice električni naboj) vezani su uz takozvane globalne simetrije na transformaciju faza, dok lokalna (prostorno-vremenski ovisna) realizacija takvih simetrija, poznata pod nazivom baždarnih (engl. gauge) simetrija, ima vodeću ulogu u fizici elementarnih čestica pri formulaciji temeljnih međudjelovanja (interakcija).

Podrobniji članak o temi: Lorentzove transformacije

Lorentzove transformacije (po H. A. Lorentzu) su algebarske linearne relacije koje povezuju koordinate (x, y, z, t) nekoga fizičkog događaja u mirnome sustavu S (x, y, z, t) s pripadajućim koordinatama (x', y', z', t' ) u sustavu S' (x', y', z', t' ) koji se prema sustavu S giba uzduž osi x stalnom brzinom v. One se danas izvode, dokazuju i tumače iz dva postulata Einsteinove posebne teorije relativnosti (1905.):

1. postulata o konstantnosti brzine svjetlosti c u svim inercijskim sustavima bez obzira na brzinu sustava, izvora ili detektora svjetlosti, te
2. postulata kovarijantnosti da prirodni zakoni moraju imati isti oblik u svim inercijskim sustavima.

Polazeći od toga da svjetlosni signali (fotoni) putuju brzinom c u oba sustava i da se pravocrtna gibanja iz jednoga, kao takva, vide i u drugom sustavu i obratno (x = c∙t i x' = c∙t' ), kao i od načela relativnosti (zamjene uloge sustava S i S' i koordinata u njima), dobivaju se uz odgovarajući algebarski formalizam Lorentzove transformacije u obliku:

${\displaystyle t'=\gamma \cdot (t-{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x)}$

${\displaystyle x'=\gamma \cdot (x-v\cdot t)}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

gdje se γ uobičajeno naziva Lorentzovim faktorom i vrijedi:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Obratne (inverzne) transformacije dobivaju se zamjenom v s –v u već napisanim odnosima, na primjer:

${\displaystyle t=\gamma \cdot (t'+{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x')}$

${\displaystyle x=\gamma \cdot (x'+v\cdot t')}$

${\displaystyle y=y'}$

${\displaystyle z=z'}$

Jedna je od temeljnih simetrija u fizici invarijantnost fizičkih zakona na Lorentzove transformacije (relativistička invarijantnost): jednadžbe fizike u svakom teoretskom pokušaju trebaju imati isti oblik u svim inercijskim sustavima. U modernoj fizici elementarnih čestica, invarijantnost se općenito postiže zapisom veličina i jednadžbi u 4-vektorskoj formulaciji, po uzoru na 4 koordinate prostor–vremena u posebnoj teoriji relativnosti.